Теория вероятностей и математическая статистика на базе Maple. Лабораторный практикум

 
 
ǧ. ǧ. ǾǬǷǴȆDZ, ǭ. ǧ. ǾǬǷǴȆDZ 
 
 
 
 
 
 
ǹǬǵǷǯȆǩǬǷǵȆǹǴǵǸǹǬǰ
ǯdzǧǹǬdzǧǹǯǾǬǸDZǧȆǸǹǧǹǯǸǹǯDZǧ
ǴǧǨǧǮǬ0$3/(
 
DzǧǨǵǷǧǹǵǷǴȂǰ ǶǷǧDZǹǯDZǺdz 
 
 
ǺȞȌȈȔȕȌ ȖȕȘȕȈȏȌ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Москва    Вологда 
«Инфра-Инженерия» 
2024 
1 
 

УДК 519.2 
ББК 22.17 
Ч-49 
 
 
Р е ц е н з е н т ы :  
кафедра физических и математических основ информатики БГАС; 
кандидат физико-математических наук, доцент кафедры физики и математики 
Института информационных технологий БГУИР А. А. Ермолицкий 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Черняк, А. А. 
Ч-49  
Теория вероятностей и математическая статистика на базе Maple. Лабораторный практикум : учебное пособие / А. А. Черняк, Ж. А. Черняк. - 
Москва ; Вологда : Инфра-Инженерия, 2024. - 100 с. : ил., табл. 
ISBN 978-5-9729-2051-8 
 
Содержит лабораторные работы по теории вероятностей. Из лабораторных работ 
полностью изъяты абстрактные примеры, рассчитанные исключительно на закрепление технических навыков оперирования основными формулами и потому более подходящие для традиционных практических занятий. Вместо этого рассматриваются 
близкие к реальности задачи, решение которых невозможно без компьютерного моделирования. Посредством компьютерного моделирования осуществляется эмпирическое обоснование ключевых определений и понятий теории вероятностей. Обеспечивается более глубокое усвоение ряда вероятностно-статистических понятий, их пропедевтика на базе компьютерного моделирования. 
Для студентов учреждений ВО и СПО, изучающих дисциплину «Теория вероятностей и математическая статистика». 
 
УДК 519.2 
ББК 22.17 
 
 
 
ISBN 978-5-9729-2051-8 
” Черняк А. А., Черняк Ж. А., 2024 
 
” Издательство «Инфра-Инженерия», 2024 
 
” Оформление. Издательство «Инфра-Инженерия», 2024 
2 
 

 
 
ǸǵǫǬǷǭǧǴǯǬ
 
 
ǩȉȌȋȌȔȏȌ ............................................................................................................................... 4 
 
DzȇȈȕȗȇșȕȗȔȇȦȗȇȈȕșȇǸșȇșȏȘșȏȞȌȘȑȇȦ ȏ ȊȌȕȓȌșȗȏȞȌȘȑȇȦ 
ȉȌȗȕȦșȔȕȘșȏ 
........................................................................................................................... 6 
 
DzȇȈȕȗȇșȕȗȔȇȦȗȇȈȕșȇǶȒȕșȔȕȘșȏ ȔȌȖȗȌȗȢȉȔȢȜ ȘȒȚȞȇȐȔȢȜ 
ȉȌȒȏȞȏȔ ȏ ȚȘȒȕȉȔȢȌ ȉȌȗȕȦșȔȕȘșȏ ............................................................................ 
18 
 
DzȇȈȕȗȇșȕȗȔȇȦȗȇȈȕșȇǵȘȔȕȉȔȢȌ ȎȇȑȕȔȢ ȗȇȘȖȗȌȋȌȒȌȔȏȦ .................... 
33 
 
DzȇȈȕȗȇșȕȗȔȇȦȗȇȈȕșȇdzȇșȌȓȇșȏȞȌȘȑȕȌ ȕȍȏȋȇȔȏȌ ȏ ȋȏȘȖȌȗȘȏȦ 
....... 
42 
 
DzȇȈȕȗȇșȕȗȔȇȦȗȇȈȕșȇǻȚȔȑȝȏȏ ȘȒȚȞȇȐȔȢȜ ȉȌȒȏȞȏȔ 
............................... 
52 
 
DzȇȈȕȗȇșȕȗȔȇȦȗȇȈȕșȇǮȇȑȕȔ ȈȕȒȣȟȏȜ ȞȏȘȌȒ ȏ ȝȌȔșȗȇȒȣȔȇȦ 
ȖȗȌȋȌȒȣȔȇȦ șȌȕȗȌȓȇ 
........................................................................................................ 
66 
 
DzȇȈȕȗȇșȕȗȔȇȦȗȇȈȕșȇǯȔșȌȗȉȇȒȣȔȕȌ ȕȝȌȔȏȉȇȔȏȌ ȖȇȗȇȓȌșȗȕȉ 
ȘȒȚȞȇȐȔȢȜ ȉȌȒȏȞȏȔ 
.......................................................................................................... 
73 
 
DzȇȈȕȗȇșȕȗȔȇȦȗȇȈȕșȇǶȗȕȉȌȗȑȇ ȘșȇșȏȘșȏȞȌȘȑȏȜ ȊȏȖȕșȌȎ 
..................... 
81 
 
DzȏșȌȗȇșȚȗȇ ......................................................................................................................... 
91 
 
3 
 

 
 
ǩǩǬǫǬǴǯǬ
 
 
Повышение эффективности обучения теории вероятностей невозможно без 
использования систем компьютерной математики (СКМ), которые освобождают учебный процесс от трудоемкого расчета различных вероятностностатистических характеристик, ручного построения таблиц и графиков, позволяют преподавателю сконцентрировать основные усилия на постановке задачи, 
выборе метода ее решения и интерпретации результатов. 
Важным элементом современного курса теории вероятностей и математической статистики являются лабораторные работы, ориентированные на использование СКМ, дающие возможность применения компьютерных технологий в учебном процессе.  
В последнее время появились учебные пособия по различным математическим (и не только) дисциплинам с использованием пакета Mathcad [1-6], который на сегодняшний день является одним из обязательных компонентов на всех 
уровнях образовательной системы. Популярность этого пакета объясняется его 
универсальностью и относительной легкостью изучения. В [5], на базе классического учебника [7], была сделана первая попытка использования Mathcad 
 в преподавании теории вероятностей. Однако эту попытку вряд ли можно считать успешной: инструменты программирования в Mathcad, содержащие основные конструкции языков программирования высокого уровня, скорее ориентированы на усвоение пользователями общих принципов алгоритмизации, чем на 
само программирование, без которого невозможно решение нетривиальных вероятностных задач. 
В качестве альтернативы нами разработан лабораторный практикум в интегрированной среде Maple для проведения лабораторных работ по теории вероятностей. Его основные особенности: 
1.  Из лабораторных работ полностью изъяты абстрактные примеры, рассчитанные исключительно на закрепление технических навыков оперирования 
основными формулами и потому более подходящие для традиционных практических занятий. Вместо этого рассматриваются близкие к реальности задачи, 
решение которых невозможно без компьютерного моделирования. 
4 
 

2.  Посредством компьютерного моделирования осуществляется эмпирическое обоснование ключевых определений и понятий теории вероятностей. 
Такой подход позволяет экспериментально обнаружить объективные закономерности и затем облечь их в соответствующую математическую форму. 
3.  Обеспечивается 
более 
глубокое 
усвоение 
ряда 
вероятностно- 
статистических понятий, их пропедевтика на базе компьютерного моделирования. 
4.  Визуализация изучаемых закономерностей посредством их моделирования позволяет предвосхитить практически все важнейшие теоремы теории 
вероятностей. 
 
ǧșȌȖȌȗȣȑȗȇșȑȕȕșȕȓȑȇȑȖȕȒȣȎȕȉȇșȣȘȦȋȇȔȔȕȐȑȔȏȊȕȐ
Все модули для выполнения лабораторных работ на Maple доступны на 
сайте издательства infra-e.ru в качестве электронного приложения. Доступ к 
ним через пароль доступен всем читателям данной книги. Программы написаны в одной из ранних версий Maple без каких-либо специфических излишеств и 
потому без проблем реализуются во всех поздних версиях (если не считать одноразового всплывающего предупреждения о «различии используемых версий 
Maple» при первом запуске).  
Более того, через сайт издательства можно получить доступ к одной  
из ранних версий Maple для установки на личном компьютере. 
Изначально от студентов не требуется особых навыков владения Maple - 
достаточно минимальных представлений о синтаксисе, а команды обращения  
к подпрограммам, содержащимся в электронном приложении, детально  
прописаны в самом пособии для последующего переноса непосредственно  
в Maple-документы.  
Содержание пособия предусматривает также параллельное освоение основного инструментария Maple по мере последовательного выполнения лабораторных работ. Более того, с помощью элементарных навыков программирования, приобретенных ранее при изучении языков высокого уровня, читатели постепенно научатся даже модифицировать и совершенствовать используемые 
модули Maple. 
5 
 

 
 
DzȇȈȕȗȇșȕȗȔȇȦȗȇȈȕșȇ 
ǸǹǧǹǯǸǹǯǾǬǸDZǧȆ
ǯǪǬǵdzǬǹǷǯǾǬǸDZǧȆǩǬǷǵȆǹǴǵǸǹǯ
 
 
 
ǪȗȇțȏȞȌȘȑȕȌȏȎȕȈȗȇȍȌȔȏȌ
ȗȌȎȚȒȣșȇșȕȉȓȕȋȌȒȏȗȕȉȇȔȏȦ 
 
Для наглядного изображения результатов моделирования используются 
различные графики, в частности, полигон и гистограмма. 
При моделировании дискретной с. в. Х можно строить полигон частот - 
ломанную, отрезки которой соединяют последовательно точки (x1, n1), …, (xk, 
nk), где x1, … xk - значения с. в. Х, расположенные в порядке возрастания, n1,…, 
nk - соответствующие частоты, с которыми эти значения появлялись в ходе моделирования. Если изобразить только вертикальные отрезки с длинами n1, …, 
nk, исходящие соответственно из точек x1, … xk оси абсцисс, то получится костыльный полигон (spike graph). 
Если известен ряд распределения дискретной с. в. Х, то, взяв вместо n1, …, 
nk вероятности, с которыми с. в. Х соответственно принимает значения x1, … xk, 
можно построить полигон вероятностного распределения с. в. Х. 
При моделировании непрерывной с. в. Х можно строить гистограмму частот: на оси абсцисс диапазон возможных значений с. в. Х разбивается на k частичных интервалов одинаковой длины h, затем строится ступенчатая фигура, 
состоящая из k прямоугольников, основаниями которых служат эти частичные 
интервалы, а высоты соответственно равны отношениям 
i
n
h , где ni - частота 
попадания значений с. в. Х в i-й частичный интервал. Из определения гистограммы ясно, что она приблизительно соответствует плотности вероятностного 
распределения непрерывной случайной величины. 
 
6 
 

 
ǮȇȋȇȔȏȌ 1 ǵșȑȗȕȐșȌ țȇȐȒ ǶȕȒȏȊȕȔȢǪȏȘșȕȊȗȇȓȓȢPZV; ȏ ȉȇȓ ȘșȇȔȚș ȋȕȘșȚȖȔȢ 
ȖȗȕȝȌȋȚȗȢ ȋȒȦ ȖȕȘșȗȕȌȔȏȦ ȑȕȘșȢȒȣȔȢȜ ȖȕȒȏȊȕȔȕȉ ȏ ȊȏȘșȕȊȗȇȓȓ. 
 
1.1. Процедура Poligon([[x1, p(x1)], [x2, p(x2)], [x3, 
p(x3)], ..., [xn, p(xn)]], xmin, xmax) строит костыльный полигон на отрезке [xmin; xmax], при этом ряд распределения дискретной с. в. Х 
задается в виде списка, в котором x1, x2, ..., xn - значения с. в. Х, p(x1), 
p(x2), ...., p(xn) - соответствующие вероятности (частоты), с которыми с. в. Х 
принимает эти значения. 
В результате 50 наблюдений над дискретной с. в. Х были получены следующие данные: 
 
ȔȇȈȒȥȋȇȌȓȢȌ ȎȔȇȞȌȔȏȦ 
3 
5 
6 
9 
2 
14 
ȞȏȘȒȕ ȗȇȎ, ȑȕșȕȗȕȌ ȖȗȏȔȏȓȇȒȕȘȣ 
ȘȕȕșȉȌșȘșȉȚȥȠȌȌ ȎȔȇȞȌȔȏȌ 
2 
3 
8 
22 
6 
9 
 
 
Постройте в тетради костыльный полигон частот наблюдаемой с. в. Х. 
Проверьте свой результат с помощью процедуры Poligon. 
 
1.2. Процедура Gistogramma([data],xmin,xmax,k)строит гистограмму на отрезке [xmin ;xmax], здесь k - число частичных интервалов, на которые разбивается отрезок [xmin ;xmax], [data] - список из n случайных 
чисел, генерируемых на промежутке [xmin ;xmax]. 
В результате 100 наблюдений над непрерывной с. в. Х были получены следующие данные: на интервале (5; 10) оказалось 4 значения с. в. Х, на интервале 
(10; 15) - 6 значений, на интервале (15; 20) - 16 значений, на интервале (20; 25) - 
36 значений, на интервале (25; 30) - 24 значения, на интервале (30; 35) -  
10 значений, на интервале (35; 40) - 4 значения. 
 
Постройте в тетради гистограмму частот наблюдаемой с. в. Х. Проверьте свой результат с помощью процедуры Gistogramma. 
7 
 

Для формирования списка data необходимо на каждом интервале (a; b) 
сгенерировать случайным образом заданное (на этом интервале) количество 
чисел 
n. 
Это 
можно 
сделать 
с 
помощью 
встроенной 
процедуры 
uniform[a,b](). Сгенерируем, к примеру, одно случайное действительное 
число на интервале (2; 7)
 
: 
uniform[2,7](); 
3.085731. 
Чтобы сгенерировать n случайных (равномерно распределенных) действительных чисел на интервале (a; b), необходимо n раз последовательно применить процедуру uniform[a,b](). Это можно сделать, например, с помощью 
функции seq. Пример применения этой функции: 
seq(i*2+5,i=2..10); 
  9,11,13,15,17,19,21,23,25 
 
 
dzȕȋȌȒȏȗȕȉȇȔȏȌȉȌȗȕȦșȔȕȘșȔȢȜȕȖȢșȕȉ
ȋȒȦȕȖȗȌȋȌȒȌȔȏȦȘșȇșȏȘșȏȞȌȘȑȕȐ
ȏȊȌȕȓȌșȗȏȞȌȘȑȕȐȉȌȗȕȦșȔȕȘșȌȐ
 
Если повторять некоторый опыт n раз, то частота какого-либо исхода wi, 
равная отношению числа появлений этого исхода к n, будет приближаться к некоторому числу P(wi) между 0 и 1 при nof. Это число называется статистической вероятностью исхода wi. 
Если число исходов некоторого опыта конечно, то множество всех исходов 
W = ^w1, w2, …, wn` называется дискретным пространством исходов. Каждое 
подмножество E  W называется случайным событием, а сами исходы wi - элементарными событиями. 
Случайной величиной Х, возможными значениями которой являются исходы данного опыта, называется дискретной случайной величиной (с. в.), соответствующей данному опыту. 
Вероятностной функцией, заданной на множестве элементарных собы- 
тий пространства исходов W, называется неотрицательная функция P(wi), от- 
8 
 

i
i
P w
=
=
¦
. При этом полагается, что 
вечающая требованию нормировки 
1
(
)
1
n
( )
(
)
i
i
w
E
P E
P w

= ¦
 для любого события E  W. Вероятностная функция называется распределением дискретной случайной величины Х, если P(XE) = P(E)  
для любого события E  W. 
Рассмотрим геометрические вероятности. Пусть имеется на плоскости некоторая область G и в ней содержится другая область g. В область G бросается 
наудачу точка. Возникает вопрос: чему равна вероятность того, что точка попадет в область g. При этом выражению «точка бросается наудачу в область G» 
придается следующий смысл: брошенная точка может попасть в любую точку 
области G, вероятность попасть в какую-либо часть области G пропорциональна 
мере этой части - длине или площади (эту меру обозначим mes) и не зависит  
от ее расположения и формы. Таким образом, согласно этому определению, вероятность попадания в область g равна 
( )
( )
mes g
mes G . 
 
ǮȇȋȇȔȏȌ 2 ǮȔȇȓȌȔȏșȇȦ ȖȌȗȌȖȏȘȑȇ ȓȌȍȋȚ ǶȇȘȑȇȒȌȓ ȏ ǻȌȗȓȇ, ȑȕșȕȗȇȦ ȖȕȒȕȍȏȒȇ 
ȔȇȞȇȒȕ ȘȕȎȋȇȔȏȥ șȌȕȗȏȏ ȉȌȗȕȦșȔȕȘșȏ, ȈȢȒȇ ȏȔȏȝȏȏȗȕȉȇȔȇ ȟȌȉȇȒȣȌ ȋȌ dzȌȗȌ ² țȗȇȔȝȚȎȘȑȏȓ ȇȗȏȘșȕȑȗȇșȕȓ, ȘȒȢȉȟȏȓ ȇȎȇȗșȔȢȓ ȏȊȗȕȑȕȓ ȉ ȗȇȎȒȏȞȔȢȌ ȑȇȗșȕȞȔȢȌ ȏȊȗȢ. ǫȌ 
dzȌȗȌ ȕȈȗȇșȏȒȘȦ ȑ ȓȇșȌȓȇșȏȑȇȓ Ș ȖȗȕȘȣȈȕȐ ȖȕȓȕȞȣ ȌȓȚ ȕȖȗȌȋȌȒȏșȣȘȦ ȉ ȉȢȈȕȗȌ ȞȏȘȒȇ 
m ȉ ȏȊȗȌ, ȑȕșȕȗȇȦ ȎȇȑȒȥȞȇȒȇȘȣ ȉ ȖȕȋȈȗȇȘȢȉȇȔȏȏ ȋȉȚȜ ȏȊȗȇȒȣȔȢȜ ȑȕȘșȌȐ ȏ ȑȕșȕȗȇȦ 
ȋȕȒȍȔȇ ȈȢȒȇ ȖȕȉșȕȗȦșȣȘȦ ȘȕȊȒȇȘȕȉȇȔȔȕȌ ȎȇȗȇȔȌȌ ȞȏȘȒȕ ȗȇȎ m. ǺȘȖȌȟȔȢȓ ȉ ȤșȕȐ ȏȊȗȌ 
ȏȘȜȕȋȕȓ ȘȞȏșȇȒȕȘȣ ȖȕȦȉȒȌȔȏȌ ȋȉȚȜ ȟȌȘșȌȗȕȑ ȜȕșȦ ȈȢ ȉ ȕȋȔȕȓ ȏȎ m ȏȘȖȢșȇȔȏȐ. 
 
 
2.1. Дайте вероятностную интерпретацию этой задачи: определите дискрет- 
ное пространство исходов (элементарных событий) и заданную на нем вероятностную функцию; найдите аналитическое выражение вероятности события  
А = «в результате m испытаний пара шестерок выпадет по крайней мере один 
раз». Решите эту задачу двумя способами в зависимости от данного вами определения пространства исходов. 
 
2.2. Откройте файл Задача деМере.mws; на рабочем листе компьютерного пакета Maple вы найдете процедуру: 
9 
 

deMere:=proc(n,m) 
 
local roll,successes,i,rolls,outcome: 
 
roll:=rand(1..6): 
 
successes:=0: 
 
for i from 1 to n do 
 
 
rolls:=0: 
outcome:=0: 
 
 
while (outcome<>12 and rolls<>m) do 
 
 
 
outcome:=roll():   outcome:=outcome+roll(): 
 
 
 
rolls:=rolls+1:     
          od: 
 
     if outcome=12 then successes:=successes+1 fi: 
 
od: 
 
lprint(`число успешных исходов =`,successes); 
 
lprint(`частота успешных исходов 
=`,evalf(successes/n)); 
  end: 
 
Процедура deMere(n,m) моделирует опыт одновременного подбрасывания двух игральных костей m раз, при этом n - число повторений опыта. Исход 
является успешным, если хотя бы один раз выпадут обе грани 6. Определяется 
и выводится частота успешных исходов. 
Моделирование позволяет лишь приближенно оценить искомую вероятность. При этом точность результата зависит от числа n повторений опыта.  
При изучении центральной предельной теоремы вы узнаете вид этой зависимости. В частности, будет доказано, что с 95-й надежностью ошибка не превысит величины D при 
2
1
n t
D
. 
 
С помощью процедуры deMere определите минимальное значение 
параметра m, при котором вероятность выигрыша шевалье де Мере 
превысила бы 0,5. Предварительно найдите наименьшее значение n, 
при котором с 95-й надежностью можно гарантировать, что результат моделирования отличается от истинного не более, чем на 0,005. 
10