Теория вероятностей и математическая статистика

А. И. Канарейкин 
 
 
 
 
 
 
 
 
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 
И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА 
 
 
Учебник 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Москва    Вологда 
«Инфра-Инженерия» 
2024 

УДК 519.2 
ББК 22.17 
К19 
 
 
Рецензенты: 
доктор физико-математических наук, профессор кафедры физики 
и математики ФГБОУ ВО «Калужский государственный университет 
им. К. Э. Циолковского» Степович Михаил Адольфович; 
кандидат физико-математических наук, доцент кафедры системы 
автоматического управления Калужского филиала МГТУ им. Н. Э. Баумана 
Серегина Елена Владимировна 
 
 
 
 
 
 
 
 
Канарейкин, А. И. 
К19  
 
Теория вероятностей и математическая статистика : 
учебник / А. И. Канарейкин. – Москва ; Вологда : ИнфраИнженерия, 2024. – 136 с. : ил., табл. 
ISBN 978-5-9729-1976-5 
 
Книга предназначена для изучения раздела математики «Теория 
вероятностей и математическая статистика» студентами как дневного 
отделения, так и заочного. В ней рассматриваются основные разделы 
дисциплины, предусмотренные государственным образовательным 
стандартом: «Элементы комбинаторики», «Случайные величины», 
«Случайные события», «Основы математической статистики», «Проверка статистических гипотез», «Алгебра случайных событий». Книга содержит подробный теоретический материал, включающий множество примеров и решенных задач. 
 
УДК 519.2 
ББК 22.17 
 
 
ISBN 978-5-9729-1976-5 ” Канарейкин А. И., 2024 
 
” Издательство «Инфра-Инженерия», 2024 
 
” Оформление. Издательство «Инфра-Инженерия», 2024

ОГЛАВЛЕНИЕ 
ВВЕДЕНИЕ 
................................................................................. 
5 
РАЗДЕЛ 1. АЛГЕБРА СЛУЧАЙНЫХ СОБЫТИЙ ................. 
6 
Лекция № 1. Множества ....................................................... 
6 
РАЗДЕЛ 2. КОМБИНАТОРИКА .............................................. 
14 
Лекция № 2. Основные понятия 
........................................... 
14 
Лекция № 3. Решение комбинаторных задач...................... 
21 
РАЗДЕЛ 3. ВЕРОЯТНОСТЬ 
...................................................... 
29 
Лекция № 4. Понятие о случайном событии. Вероятность 
события 
................................................................................... 
29 
Лекция № 5. Геометрическая вероятность 
.......................... 
52 
Лекция № 6. Формула полной вероятности 
........................ 
56 
Лекция № 7. Формула Байеса 
............................................... 
58 
РАЗДЕЛ 4. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ ................................. 
62 
Лекция № 8. Дискретные случайные величины ................. 
62 
Лекция № 9. Закон распределения случайной величины .. 
63 
Лекция № 10. Дисперсия случайной величины 
.................. 
69 
Лекция № 11. Биномиальное распределение 
...................... 
73 
Лекция № 12. Плотность и функция распределения. 
Непрерывные случайные величины .................................... 
76 
Лекция № 13. Равномерное распределение непрерывной 
случайной величины ............................................................. 
82 
Лекция № 14. Нормальное распределение 
.......................... 
84 
РАЗДЕЛ 5. ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ 
СТАТИСТИКИ ........................................................................... 
92 
Лекция № 15. Основные понятия математической 
статистики .............................................................................. 
92 
Лекция № 16. Графическое представление вариационных 
рядов ....................................................................................... 
96 
Лекция № 17. Показатели вариации .................................... 
98 
Лекция № 18. Оценки разброса 
............................................ 
101 
Лекция № 19. Статистическое оценивание параметров .... 
104 
3 

Лекция № 20. Свойства статистических оценок ................ 
105 
Лекция № 21. Точечные и интервальные оценки 
............... 
107 
Лекция № 22. Проверка статистических гипотез ............... 
108 
Лекция № 23. Выборка. Виды выборок............................... 
115 
ПРИЛОЖЕНИЕ .......................................................................... 
132 
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 
.......................................................... 
135 
 
 
 
 
4 

ВВЕДЕНИЕ 
Основная цель изучения теории вероятностей и математической статистики в средних специальных учебных заведениях 
состоит в том, чтобы дать студентам набор математических знаний и навыков, необходимых для изучения других программных 
дисциплин, использующих в той или иной мере математику, для 
умения выполнять практические расчеты, для формирования и 
развития логического мышления. 
Учебная дисциплина «Теория вероятностей и математическая статистика» входит в математический и общий естественнонаучный цикл и направлена на формирование базового уровня знаний, необходимых для освоения общепрофессиональных 
дисциплин и профессиональных модулей. Включенные в практические работы задачи стимулируют исследовательскую и 
творческую деятельность, развивают познавательные интересы, 
помогают не только глубже понять математику, но и научиться 
применять полученные знания на практике. 
В книге излагаются основные сведения по теории вероятностей и математической статистике, необходимые студентам и 
аспирантам в учебном процессе и научной работе. 
 
5 

РАЗДЕЛ 1. АЛГЕБРА СЛУЧАЙНЫХ СОБЫТИЙ 
Лекция № 1. Множества 
Можно сказать, что жизнь человека, да и в целом вся 
окружающая среда состоит из череды некоторых событий. Хотелось бы все эти события не только отслеживать, но и пытаться 
прогнозировать. При этом стоит понимать, что многие события 
или, другими словами, явления – случайные, т. е. они могут 
наступить, а могут не наступить. Например, выиграть в лотерею 
автомобиль – событие случайное. 
Задача любой науки состоит в выявлении и исследовании 
закономерностей, которым подчиняются реальные процессы. 
Найденные закономерности, относящиеся к экономике, имеют 
не только теоретическую ценность, но и широко применяются 
на практике. 
Выше был приведен пример лотереи. Можно задаться вопросом: зачем нужно изучать степень возможности наступления 
выигрыша в лотерее автомобиля? Возможно, обычному обывателю и не стоит ничего изучать, а вот организаторам без этого 
не обойтись. Ведь лотереи проводятся не просто так, а с целью 
извлечения выгоды (прибыли), а значит, заинтересованность 
большая. Важно установить, по какой цене нужно продавать 
билеты лотереи, чтобы получить планируемый доход. 
Таким образом, очевидно, что необходимо уметь исследовать случайные явления и находить их закономерности. Этим 
как раз и занимается теория вероятностей. 
При этом в названии пособия есть еще «математическая 
статистика» – что же это такое и где она применяется? Давайте 
для начала приведем определения, а затем уже поймем принципиальную разницу между теорией вероятностей и математической статистикой. 
 
6 

Теория вероятностей – это наука, изучающая математические модели случайных явлений, т. е. модели экспериментов, 
которые можно повторять, со случайными исходами. 
Математическая формализация модели начинается с построения множества элементарных исходов Ω, т. е. такое множество, которое состоит из взаимоисключающих исходов. 
Результатом эксперимента всегда будет один и только 
один исход. Любое подмножество данного множества Ω будем 
называть случайным исходом. 
Для наглядной иллюстрации данных множеств используют диаграммы Венна. 
 
 
Ω = {ω} – множество элементарных исходов. 
А ؿ Ω [А – случайное событие]. 
Событие А происходит тогда и только тогда, когда результат эксперимента ω ڱ А. 
Множество Ω называется также достоверным событием 
(всегда реализуемым). 
Пустое множество Ø называют невозможным событием (в 
данном опыте никогда не происходит). 
Множество Ω может быть дискретным Ω = {ωi} (все элементы можно пересчитать) или непрерывным (например, интервал на числовой прямой). 
Построение множества Ω (если оно не задано при описании эксперимента) осуществляется на практике, исходя из требования, чтобы все интересующие нас результаты данного экс 
7 

перимента могли быть однозначно описаны на основе построенного множества Ω. 
Замечание: Пусть Ω1, Ω2,…, Ωn – множества элементарных исходов данного эксперимента (в частности может быть, 
что  Ω1 = Ω2 =…= Ωn). 
Если проводится последовательность экспериментов, то 
совместный результат: 
Ω = Ω1 ∙ Ω2 ∙…∙ Ωn (прямое произведение); 
Ω = {(ω1, ω2,…, ωn) │ ω1 ڱ Ω1, ω2 ڱ Ω2,…, ωn ڱ Ωn}. 
Алгебраические операции над событиями 
Поскольку события отождествляется с множеством, то над 
событиями можно совершать все операции, выполняемые над 
множествами. 
1) событие А влечёт за собой В; 
 
2) А = В < = > ቄʏ ؿ ʑ
ʑ ؿ ʏ, А тождественно В; 
 
 
8 

3) А + В – сумма событий (произошло хотя бы одно из 
данных); 
 
4) А ∙ В – произведение событий (совместное осуществление событий); 
 
5) А и В несовместные события, если вместе не реализуются, т. е. А ∙ В = Ø; 
 
6) А – В – разность событий (А происходит, а В не происходит); 
 
 
9 

7) Ā = Ω – А – противоположное событие (Ā происходит 
тогда и только тогда, когда А не происходит). 
 
Таблица 1 
Свойства операций 
№ 
СЛОЖЕНИЕ 
УМНОЖЕНИЕ 
НАЗВАНИЕ 
1 
А + В = В + А 
А ∙ В = В ∙ А 
коммутативность 
2 
(А + В) + С = А + 
+ (В + С) 
(А ∙ В) ∙ С = А ∙ (В ∙ С) ассоциативность 
3 
А + А = А 
А ∙ А = А 
 
5 
А + Ω = Ω + А = Ω 
А ∙ Ω = Ω ∙ А = А 
Свойства Ω 
4 
А + Ø = Ø + А = А 
А ∙ Ø = Ø ∙ А = Ø 
Свойства ׎ 
 
6. Дистрибутивные законы: 
(1) А ∙ (В + С) = АВ + АС; 
(2) А + (В ∙ С) = (А + В) ∙ (А + С). 
Свойства противоположного события: 
1. ʏ
ന = А; 
2. А + Ā = Ω; 
3. А ∙ Ā =׎; 
4. ȳ
ഥ=׎; 
5. ׎
ഥ = Ω; 
6. Формула де Моргана - ʏ ൅ʑ = ʏ
ഥ ∙ʑ
ഥ; ʏ ή ʑ= ʏ
ഥ+ʑ
ഥ. 
 
10