Теоретическая механика. Статика

 
 
 
 
 
С. В. Слепова, Н. Р. Саврасова 
 
 
 
 
 
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА 
 
СТАТИКА 
 
 
Учебное пособие 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Москва    Вологда 
«Инфра-Инженерия» 
2024 
 

УДК 531.2 
ББК 22.21 
С47 
 
 
 
 
Рецензенты: 
кандидат технических наук, заведующий кафедрой «Прикладная механика» 
Южно-Уральского аграрного университета Гутров Михаил Александрович; 
кандидат педагогических наук, доцент кафедры общетехнических  
дисциплин Военного учебно-научного центра Военно-воздушных сил  
«Военно-воздушная академия имени профессора Н. Е. Жуковского  
и Ю. А. Гагарина» Асадулина Елена Юрьевна 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Слепова, С. В. 
С47   
Теоретическая механика. Статика : учебное пособие / С. В. Слепова, 
Н. Р. Саврасова. – Москва ; Вологда : Инфра-Инженерия, 2024. – 196 с. : 
ил., табл. 
ISBN 978-5-9729-2007-5 
 
Даны основные понятия, определения и аксиомы статики. Приведены основные 
положения учения о трении. Рассмотрены методы статического анализа системы тел. 
Включены задания для самостоятельной работы. 
Для студентов вузов всех форм обучения по курсу «Теоретическая механика». 
 
УДК 531.2 
ББК 22.21 
 
 
 
 
 
ISBN 978-5-9729-2007-5 
© Слепова С. В., Саврасова Н. Р., 2024 
 
© Издательство «Инфра-Инженерия», 2024 
 
© Оформление. Издательство «Инфра-Инженерия», 2024 
 

ВВЕДЕНИЕ 
В теоретической механике изучаются механическое движение и механическое взаимодействие материальных тел. Теоретическую механику разделяют на 
кинематику и кинетику. В кинематике изучается движение тел с геометрической 
точки зрения без учета причин, вызывающих это движение. Кинетика посвящена 
изучению движения и равновесия материальных тел в зависимости от действующих на них сил. Статика является частью кинетики. 
Статика – учение о силах и методах их эквивалентного преобразования, а 
также об условиях равновесия систем сил, приложенных к твердому телу. 
Таким образом, в статике рассматриваются две задачи: 
1. Основная задача статики заключается в эквивалентном преобразовании 
систем сил с целью их упрощения или сравнения. 
2. Важнейшая прикладная задача статики – установление необходимых и 
достаточных условий равновесия систем сил, приложенных к твердым телам. 
Учение о силах необходимо при изучении динамики механической системы. 
Задача о равновесии твердого тела может рассматриваться как частный случай задачи динамики. Кроме того, она имеет самостоятельное прикладное значение. На основе условий равновесия твердых тел проводится статический анализ 
конструкций и сооружений на этапе их проектирования: устанавливаются зависимости между всеми силами, приложенными к телу. С помощью этих условий 
определяются реакции внешних и внутренних связей, необходимые для последующего расчета прочности конструкции. 
Статика, как и любой раздел теоретической механики, строится аксиоматическим методом: вначале вводятся определения и аксиомы, на основе которых 
доказываются теоремы путем строгих логических рассуждений и математических преобразований. Теоремы используются для сравнения систем сил, приведения сложных систем сил к более простому виду, исследования равновесия систем сил, действующих на материальные тела. 
 
 
 
3 

1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ, ОПРЕДЕЛЕНИЯ 
И АКСИОМЫ СТАТИКИ 
Для изучаемых тел принимаются модели: абсолютно твердое тело и материальная точка. 
Абсолютно твердое тело (АТТ или ТТ) – неизменяемое тело, расстояния 
между двумя любыми точками которого остаются постоянными в течение всего 
времени наблюдения. 
Материальная точка – тело, размеры которого в рассматриваемых конкретных условиях можно не учитывать. Материальная точка обладает массой и способностью взаимодействовать с другими телами. 
Для описания механического движения и равновесия твердых тел необходимо задать систему отсчета, которая включает тело отсчета, систему координат и прибор времени. 
Инерциальная система отсчета – система отсчета, в которой справедливы 
законы Ньютона. 
Сила – мера механического взаимодействия двух тел, определяющая интенсивность и направление этого взаимодействия. Сила характеризуется величиной, 
направлением в пространстве и точкой приложения. Линией действия силы 
называется прямая, вдоль которой направлен вектор силы F
G
. Источником силы, 
приложенной к наблюдаемому ТТ, является некоторое другое тело – необязательно твердое, может быть жидкое или газообразное. 
Моментом силы относительно центра О называется векторное произведение радиуса-вектора r
G  точки приложения силы относительно этого центра на 
вектор силы F
G
: 
 
( )
O
m
F
r
F
=
×
JG
JG
JG
G
. 
(1) 
Направлен вектор 
(
)
O
m
F
JG
JG
 перпендикулярно плоскости, построенной на векторах r
G  и F
G
, в ту сторону, откуда кратчайший поворот вектора r
G  к вектору F
G
 
виден против хода часовой стрелки (рис. 1). 
Модуль вектора 
(
)
O
m
F
JG
JG
 есть: 
 
(
)
sin Į
O
m
F
r
F
=
⋅
JG
JG
G
, 
(2) 
где α – угол между векторами r
G  и F
G
. Здесь величина: 
 
sin Į
r
h
=
G
 
(3) 
есть расстояние от центра О до линии действия силы, тогда (2) можно записать 
в виде: 
 
(
)
O
m
F
F
h
=
⋅
JG
JG
. 
(4) 
Величина h называется плечом силы F
G
 относительно центра О (рис. 1). 
4 

m  F
( )
 
О
F
F
r
α
О
M
h
π
О
 
 
Рис. 1 
 
Вектор момента силы относительно центра О можно определить геометрическим способом, согласно которому требуется: 
1) построить плоскость π на векторах r
G  и F
G
; 
2) провести в этой плоскости перпендикуляр из точки О до линии действия 
силы F
G
 и измерить отрезок 
'
OO
h
=  – плечо силы; 
3) вычислить модуль 
( )
O
m
F
J
G
 по формуле (4); 
4) направить вектор 
( )
O
m
F
J
G
J
G
 перпендикулярно плоскости π в сторону, откуда 
кратчайший поворот вектора r
G  к F
G
 виден против хода часовой стрелки. 
Алгебраический способ определения момента силы относительно центра 
применяют в случае, когда векторы r
G  и F
G
 заданы своими проекциями на оси 
одной и той же декартовой системы координат. Пусть заданы проекции x, y, z 
вектора r
G  и проекции 
,
,
x
y
z
F F F   вектора силы F
G
 на оси системы координат 
Oxyz с ортами , ,
i
j k
G
G G
 и началом в центре О, относительно которого определяется 
момент. Тогда можно записать: 
G
G
G
JG
JG
JG
G
i
j
k
m
F
r
F
x
y
z
O
=
×
=
=
 
(
)
 
(5) 
F
F
F
x
y
z
G
G
G
(
)
(
)
(
) ,
y F
z F
i
z F
x F
j
x F
y F
k
=
−
+
−
+
−
z
y
x
z
y
x
где выражения в скобках есть проекции 
( )
Ox
m
F
J
G
, 
( )
Oy
m
F
J
G
, 
( )
Oz
m
F
J
G
 вектора 
( )
O
m
F
J
G
J
G
 
на оси Ox, Оy, Оz: 
(
)
(
)
Ox
z
y
m
F
y F
z F
=
−
JG
, 
(
)
(
)
Oy
x
z
m
F
z F
x F
=
−
JG
, 
(
)
(
)
Oz
y
x
m
F
x F
y F
=
−
JG
. 
Следовательно, 
 
(
)
(
) +
(
) +
(
)
O
Ox
Oy
Oz
m
F
m
F i
m
F
j m
F k
=
JG
JG
JG
JG
JG G
G
G
. 
(6) 
 
5 

Моментом силы относительно оси называется проекция на эту ось вектора 
момента силы относительно любого центра, взятого на этой оси: 
 
( )
( )
(
)
O
e
m F
m
F
e
r
F
e
=
⋅
=
×
⋅
JG
JG
JG
JG
G
G
G , 
(7) 
где e
G  – орт оси l, 
O – точка на оси l. 
При геометрическом способе определения момента силы относительно оси 
следует: 
1) построить плоскость π, перпендикулярную оси l, и найти точку O пересечения оси и плоскости;  
2) определить направленную проекцию 
ʌ
F
G
 силы F
G
 на плоскость π; 
3) вычислить модуль момента проекции 
ʌ
F
JG
 относительно точки O: 
 
ʌ
( )
e
m F
F
h
=
⋅
JG
; 
(8) 
4) определить знак момента: это «+», если проекция 
ʌ
F
G
 стремится повернуть 
плоскость π вокруг оси l против хода часовой стрелки; «–» – если по часовой 
стрелке (рис. 2). 
 
F
l
О
π
h
e
F
π
О
 
 
Рис. 2 
 
Алгебраический способ определения момента силы относительно оси следует применять тогда, когда заданы проекции векторов r
G , F
G
 на оси одной и той 
же системы координат. Пусть заданы проекции x, y, z, 
,
,
x
y
z
F F F  векторов r
G , F
G
 
на оси системы координат Oxyz, а также заданы направляющие косинусы: 
,
,
ex
ey
ez
C
i e
C
j e
C
k e
=
⋅
=
⋅
=
⋅
G
G
G
G
G
G  
оси l с координатными осями Ox, Оy, Оz. Тогда в силу определения (7) имеем: 
C
C
C
i
j
k
ex
ey
ez
m F
r
F
e
x
y
z
e
x
y
z
=
×
⋅
=
⋅
=
G
G
G
JG
JG
G
G
G
 
(9) 
 
( )
(
)
e
F
F
F
F
F
F
x
y
z
x
y
z
6 

Из определения (7) следует, что момент силы относительно оси при ненулевых векторах r
G , F
G
 равен нулю в том случае, если векторы r
G , F
G
, e
G  компланарны (лежат в одной плоскости), следовательно, если: 1) линия действия си- 
лы F
G
 параллельна оси l или 2) линия действия силы F
G
 пересекает ось l. 
Системой сил называется множество сил, объединенных по некоторому 
G
. 
n
k
F
признаку. Обозначают систему сил {
}
1
2
,
, ...,
n
F F
F
G
G
G
  или { }1
Главным вектором системы сил называется сумма векторов сил системы: 
n
 
1
k
k
U
F
=
= ¦
JG
JG . 
(10) 
Главным моментом системы сил относительно центра О называется векторная сумма моментов сил, входящих в систему, относительно этого центра: 
 
1
1
(
)
(
)
n
n
O
k
k
O
k
k
k
L
m
F
r
F
=
=
=
=
×
¦
¦
J
G
JG
JG
JG
G
. 
(11) 
Главный момент относительно центра изображают вектором, приложенным 
в этом центре. 
Парой сил называется система из двух приложенных к твердому телу параллельных сил, имеющих равные модули и противоположные направления. 
Пара сил представляет неупрощаемый элемент статики; она является самостоятельным силовым объектом наряду с самой силой. Пара сил стремится привести во вращательное движение твердое тело, к которому она приложена. 
Пусть силы F
G
 и 
'
F
G
 образуют пару. Плоскость действия пары – плоскость, 
в которой расположены векторы сил F
G
, 
'
F
G
. Направление действия пары – 
направление поворота, который пара стремится сообщить твердому телу вокруг 
оси, перпендикулярной плоскости действия (по часовой стрелке или против). 
Плечо пары – кратчайшее расстояние между линиями действия сил пары (рис. 3). 
 
О
M
A
α
h
F
F
B
π
 
 
Рис. 3 
 
Из определения следует равенство 
'
F
F
= −
G
G
. Следовательно, главный вектор 
пары сил равен нулю: 
'
0
R
F
F
=
+
=
G
G
G
. 
7 

Найдем главный момент пары относительно произвольной точки О: 
( )
(
')
'
O
O
O
L
m
F
m
F
OA F
OB
F
=
+
=
×
+
×
J
G
J
G
JG
J
G
JG
JJJ
G
JG
JJJ
G
JG
. 
Так как 
'
F
F
= −
G
G
, то: 
(
)
O
L
OA F
OB
F
OA
OB
F
=
×
−
×
=
−
×
J
G
JJJ
G
JG
JJJ
G
JG
JJJ
G
JJJ
G
JG
. 
OA
OB
AB
−
=
JJJ
G
JJJ
G
JJJ
G
, как видно из рис. 3, следовательно, получаем: 
O
L
BA
F
=
×
J
G
JJJ
G
JG
. 
Следовательно, главный момент пары не зависит от положения центра, относительно которого вычисляются моменты сил, составляющих пару. 
Моментом пары называется векторное произведение BA F
×
JJJ
G
J
G
. Обозначается 
момент пары символом 
(
, 
')
M F
F
JJ
G JG JG
 или, короче, M
G
, причем: 
 
'
M
BA F
AB
F
=
×
=
×
JJJ
G
JG
JJJ
G
G
G
. 
(12) 
Определим модуль момента пары: 
sin Į
M
BA
F
=
⋅
JJJ
G
JG
G
, 
где 
sin Į
BA
h
=
JJJ
G
. Тогда: 
 
M
F h
=
⋅. 
(13) 
Вектор момента пары перпендикулярен плоскости пары и направлен так, 
что с конца этого вектора вращательный эффект действия пары представляется 
положительным, т. е. направлен против хода часовой стрелки. Момент пары сил 
представляет собой свободный вектор, линия действия которого не определена. 
Понятие силовой пары введено в механику французским механиком и математиком Луи Пуансо в учебнике «Элементы статики» в 1803 году. 
Две системы сил называются эквивалентными на твердом теле, если при равных начальных условиях их действия на это тело одинаковы. 
Равнодействующей называется одна сила, эквивалентная некоторой системе сил. 
Уравновешенной называется система сил, эквивалентная нулю { }1
0.
n
k
F
G

 
Твердое тело называется свободным, если его положение и движение в пространстве ничем не ограничены. 
Твердое тело называется несвободным, если на его положение и движение 
наложены ограничения. 
Связями называются ограничения на положение и движение твердого тела 
в пространстве. 
Реакциями связей называются силы, с которыми связи действуют на данное 
тело. 
Аксиомы статики – это установленные на основе многочисленных наблюдений и опытов законы, которым подчиняются силы, действующие на одно и то 
8 

же тело, или силы, приложенные к взаимодействующим телам. Некоторые основные законы механики Галилея – Ньютона являются одновременно и аксиомами статики. 
1. Аксиома инерции. Под действием уравновешенной системы сил материальная точка (тело) находится в состоянии покоя или движется прямолинейно  
и равномерно. 
2. Аксиома равновесия двух сил. Две силы, приложенные к абсолютно твердому телу, будут уравновешены тогда и только тогда, когда они равны по модулю, действуют по одной прямой и направлены в противоположные стороны 
(рис. 4). 
 
F
P
P
F
D
D
{
}
0
F, -F ~
 
 
 
{
}
0
P, -P ~
 
 
 
 
 
Рис. 4 
 
3. Аксиома о воздействии уравновешенной системы сил. Действие данной 
системы сил на абсолютно твердое тело не изменится, если к ней присоединить 
или из нее исключить уравновешенную систему сил. 
4. Аксиома параллелограмма сил. Две силы, приложенные к одной точке 
твердого тела, можно заменить одной равнодействующей силой, приложенной  
в той же точке и равной по модулю и направлению диагонали параллелограмма, 
построенного на заданных силах (рис. 5). 
 
 
 
Рис. 5 
 
5. Аксиома равенства действия и противодействия. Силы взаимодействия 
двух материальных точек равны по модулю и направлены по одной прямой  
в противоположные стороны. 
6. Аксиома отвердевания. Если деформируемое твердое тело находится  
в равновесии, то равновесие не нарушится при его затвердевании, т. е. при его 
превращении в абсолютно твердое тело. 
9 

7. Аксиома освобождения от связей. Всякое несвободное тело можно рассматривать как свободное, если действие связей заменить их реакциями, приложенными к данному телу. 
Контрольные вопросы 
1. Дайте определение абсолютно твердого тела. 
2. Какими элементами характеризуется сила как мера механического действия? 
3. Дайте определение момента силы относительно центра. 
4. Как вычислить модуль момента силы относительно центра геометрическим и аналитическим способами? 
5. Что называют плечом силы относительно центра? 
6. Дайте определение алгебраической величины момента силы относительно 
некоторого центра. 
7. Когда момент силы относительно некоторого центра равен нулю? 
8. Дайте определение момента силы относительно оси. 
9. Как вычислить момент силы относительно оси геометрическим и аналитическим способами? 
10. В каких случаях момент силы относительно оси равен нулю? 
11. Что называют главным вектором системы сил? 
12. Что называют главным моментом системы сил относительно произвольного центра? 
13. Дайте определение пары сил. 
14. Как определяется модуль момента пары сил и как направлен вектор момента пары? 
15. Какие системы сил называются эквивалентными на твердом теле? 
16. Дайте определение равнодействующей системы сил. 
17. Какая система сил называется уравновешенной? 
18. Что называют связями? 
19. Сформулируйте аксиомы статики. 
 
 
 
10