Применение теории поля в электростатике и электромагнетизме

 
 
 
 
 
 
Е. Г. БОРОДИНА 
 
 
 
 
ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ПОЛЯ 
В ЭЛЕКТРОСТАТИКЕ 
И ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМЕ 
 
Учебное пособие 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Москва    Вологда 
«Инфра-Инженерия» 
2024  
1 
 

УДК 537 
ББК 22.33 
Б83 
 
 
 
 
Рецензенты: 
вед. научн. сотр. Физико-технического института им. А. Ф. Иоффе  
д-р физ.-мат. наук, проф. А. Н. Старухин;  
доц. каф. О4 БГТУ «Военмех», канд. физ.-мат. наук А. Г. Арешкин 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Бородина, Е. Г. 
Б83  
Применение теории поля в электростатике и электромагнетизме : учебное пособие / Е. Г. Бородина. – Москва ; Вологда : Инфра-Инженерия, 
2024. – 124 с. : ил. 
ISBN 978-5-9729-2024-2 
 
Изложены основные вопросы курса физики по теме «Применение теории поля 
в электростатике и электромагнетизме». Включены разделы математической физики. 
Подробно рассмотрены вопросы векторного анализа. Анализируются физические следствия из теорем Гаусса – Остроградского и Стокса, необходимые для решения принципиальных проблем в теории безвихревых и соленоидальных векторных полей. 
Представлены уравнения Максвелла, фундаментальные физические следствия из них, 
скалярный и векторный потенциалы электромагнитного поля, уравнения Пуассона и 
Лапласа. Включены примеры решения задач по некоторым разделам курса.  
Для студентов технических вузов при подготовке к лабораторным работам и к экзамену по физике. Пособие поможет в систематизации и обобщении знаний по курсу 
«Применение теории поля в электростатике и электромагнетизме».  
 
УДК 537 
ББК 22.33 
 
 
ISBN 978-5-9729-2024-2 
” Бородина Е. Г., 2024 
 
” Издательство «Инфра-Инженерия», 2024 
 
” Оформление. Издательство «Инфра-Инженерия», 2024 
 
2 
 

Оглавление 
 
Введение ...................................................................................................................... 5 
 
Глава 1. СКАЛЯРНОЕ И ВЕКТОРНОЕ ПОЛЕ 
.................................................. 8 
1.1. Основные понятия и определения 
................................................................... 8 
1.2. Поверхности уровня скалярного поля .......................................................... 13 
1.3. Градиент скалярного поля 
.............................................................................. 14 
1.4. Векторные линии поля 
.................................................................................... 20 
 
Глава 2. ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ В ТЕОРИИ ПОЛЯ ..................................... 22 
2.1. Поток векторного поля ................................................................................... 22 
2.2. Дивергенция векторного поля ....................................................................... 24 
2.3. Дивергенция векторного поля в декартовых координатах 
......................... 25 
2.4. Линейный интеграл в векторном поле. Циркуляция векторного поля ..... 27 
2.5. Ротор («вихрь») векторного поля .................................................................. 29 
2.6. Ротор векторного поля в декартовых координатах ..................................... 31 
2.7. Векторный дифференциальный оператор Гамильтона 
............................... 33 
2.8. Оператор Лапласа (лапласиан).  Условие безвихревого                                 
и соленоидального поля 
......................................................................................... 34 
2.9. Теорема Гаусса – Остроградского 
................................................................. 37 
2.10. Теорема Стокса 
.............................................................................................. 38 
2.11. Физические следствия из теоремы Гаусса – Остроградского .................. 40 
2.11.1. Свойство соленоидального поля ........................................................... 40 
2.11.2. Векторные трубки ................................................................................... 40 
2.12. Физические следствия из теоремы Стокса ................................................. 42 
2.12.1. Циркуляция векторного поля по замкнутому контуру ....................... 42 
2.12.2. Безвихревые и потенциальные поля ..................................................... 43 
2.12.3. Консервативные и диссипативные силы .............................................. 47 
 
3 
 

Глава 3. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ В ЭЛЕКТРОСТАТИКЕ ................. 50 
3.1. Эквипотенциальные поверхности (поверхности уровня) поля 
точечного электрического заряда ......................................................................... 50 
3.2. Градиент потенциала электростатического поля 
......................................... 51 
3.3. Векторные линии электрического поля точечного заряда ......................... 54 
3.4. Циркуляция и ротор электростатического поля .......................................... 55 
3.5. Закон сохранения электрического заряда. Уравнение непрерывности 
..... 57 
3.6. Теорема Гаусса (Закон Гаусса). Уравнения Пуассона и Лапласа .............. 59 
 
Глава 4. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ В ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМЕ ....... 68 
4.1. Векторные линии магнитного поля бесконечно длинного                            
прямолинейного проводника с током .................................................................. 68 
4.2. Циркуляция и ротор магнитного поля .......................................................... 70 
4.3. Уравнения Максвелла 
..................................................................................... 79 
4.4. Скалярный и векторный потенциалы электромагнитного поля. 
Скалярное и векторное уравнения Пуассона и Лапласа .................................... 87 
 
Глава 5. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ........................................................... 93 
 
ПРИЛОЖЕНИЯ 
..................................................................................................... 107 
Приложение 1. Магнитное поле Земли 
.............................................................. 107 
Приложение 2. Дельта-функция Дирака 
............................................................ 113 
Приложение 3. Тригонометрические функции мнимого аргумента.               
Гиперболические функции 
.................................................................................. 116 
 
Библиографический список ................................................................................ 121 
 
 
 
4 
 

 
«Трудно отделаться от ощущения, что эти математические формулы существуют независимо от нас и обладают своим собственным разумом, что они умнее нас, умнее 
тех, кто открыл их, и что мы извлекаем из них больше, чем 
было в них первоначально заложено»  
                                           Г. Герц 
                                       
                       
Введение 
 
Достижения физики XIX–XX веков со всей остротой подняли фундаментальные вопросы, касающиеся природы и сущности окружающего нас реального 
мира. Первое из этих достижений – открытие электромагнетизма – обогатило 
и расширило представления человека о Вселенной. Подобно планете Нептун, 
это физическое явление вряд ли могло быть открыто без помощи математики. 
Но в отличие от планеты Нептун открытый «объект» был невесом, невидим, 
неосязаем, не имел ни вкуса, ни запаха. Никто из людей не может ощущать его 
физически. И все же именно эта открытая призрачная «субстанция» оказала 
глубочайшее влияние на жизнь современного человека. 
Явление электромагнетизма позволяет устанавливать связь с любой точкой планеты, расширяет границы человеческого общения до всемирных масштабов, способствует распространению просвещения и т. д. и т. п. Можно смело 
утверждать, что нет стороны человеческой жизни и деятельности, на которой 
не отразились бы достижения теории электромагнетизма. 
Первое научное исследование по магнетизму было выполнено придворным врачом английской королевы Елизаветы У. Гильбертом в 1600 г. В его трактате «О магните, магнитных телах и о большом магните – Земле» были описа- 
ны простые опыты, из которых, в частности, следовало, что Земля представляет собой гигантский магнит. Экспериментально Гильберт (вслед за Пьером 
де Марикуром) установил, что любой магнит имеет два полюса – северный и 
южный. Противоположные полюсы притягиваются друг к другу, в то время как 
одинаковые полюсы взаимно отталкиваются. Кроме того, магниты могут при- 
5 
 

тягивать ненамагниченное железо или сталь, причем чем сильнее магнит, тем 
бyльший кусок железа или стали он может притянуть (см. Приложение 1). 
Гильберт исследовал и другое явление, которое наблюдал еще Фалес 
Милетский в VI в. до н. э., – электризацию янтаря, натертого куском ткани. Более того, оказалось, что электризацию при трении проявляют многие другие вещества, например, алмаз, горный хрусталь, смола, стекло. Причем, наэлек- 
тризованные тела обретают способность притягивать или отталкивать пылин- 
ки и всякие легкие предметы. На основании этих исследований Гильберт пришел к выводу о существовании двух родов электричества.  
И все-таки раскрыть физическую природу электричества и магнетизма 
Гильберту не удалось. Он сознавал глубокое различие между этими явлениями. 
Но объяснить, почему электричество разного рода можно разделить, а отделить 
магнитные полюсы в физических объектах невозможно, Гильберт не смог. 
П р и м е ч а н и е. Вплоть до XIX века некоторые ученые рассматривали элек- 
тричество как одну жидкость, другие считали, что существуют две различные жидкости. 
Так продолжалось до конца XIX века, когда Дж. Дж. Томсон (1856–1940) открыл электрон. 
В начале XX века физики убедились, что именно эта мельчайшая частица вещества являет- 
ся носителем электричества. Тогда и восторжествовала электронная теория, объясняющая 
природу электрических явлений. 
Долгое время считалось, что электричество и магнетизм – явления раз- 
личные и между собой не связанные. Но все изменилось в начале XIX века, 
когда Х. К. Эрстед (1777–1851) впервые обнаружил связь электрических и магнитных явлений, наблюдая отклонение магнитной стрелки вблизи проводника 
с электрическим током. Затем последовали открытия А. М. Ампера (1775–1836), 
которые доказали, что два проводника с током ведут себя как два магнита: притягиваются или отталкиваются в зависимости от направления токов в проводниках. После Ампера – фундаментальные открытия М. Фарадея (1791–1867) 
о возникновении электрического тока в проводнике, находящемся в перемен- 
ном магнитном поле, и, как следствие этого явления, получившего название 
явления электромагнитной индукции, его концепция особой формы материи – 
электромагнитного поля. Наконец, Дж. Максвелл (1831–1879) перевел физичес- 
6 
 

кие исследования Фарадея на язык математики и создал единую теорию электромагнитного поля, в которой охватил все известные электрические и магнитные 
явления.  
П р и м е ч а н и е. К работе над теорией электромагнитного поля Максвелл при- 
ступил, ознакомившись с работой М. Фарадея «Экспериментальные исследования по элек- 
тричеству». В 1855 г., в возрасте двадцати трех лет, Максвелл опубликовал свою первую 
научную статью по теории электромагнитного поля, которая называлась «О силовых ли- 
ниях Фарадея». Следует сказать, что ко времени Максвелла существовало две теории элек- 
тричества: теория «силовых линий» Фарадея и теория, разработанная группой француз- 
ских физиков: Кулоном, Ампером, Био, Саваром, Араго и Лапласом. Французские фи- 
зики стояли на позициях так называемого «дальнодействия», мгновенном действии одно- 
го тела на другое на расстоянии без помощи какой-либо промежуточной среды. Фарадей 
же был абсолютно убежден в том, «что материя не может действовать там, где ее нет». 
Поэтому Фарадею понадобилась какая-то материальная среда, заполняющая даже вакуум, 
«пустое» пространство, и через которую от точки к точке передается электрическое и магнитное воздействие. Эту промежуточную среду, передающую воздействие, Фарадей назвал 
«полем», которое пронизано магнитными и электрическими «силовыми линиями». Сами же 
воззрения Фарадея были названы концепцией «близкодействия». К фарадеевской теории 
«поля» Максвелл присоединился без всяких оговорок. 
Важно отметить, что точное и всеобъемлющее описание электромагнетизма Максвеллом является описанием математическим. Электрические токи, 
магнитные эффекты, невидимое разнообразие электромагнитных волн (от радиоволн до рентгеновского и гамма-излучения и гармонических колебаний 
с частотой с двадцатью четырьмя нулями герц) – все это укладывалось в фун- 
даментальную математическую структуру, созданную гением человека. Глубокая теория Максвелла открыла в природе такой порядок и симметрию, что трудно переоценить подлинное величие сформулированных общих принципов электромагнетизма. Удивительная эффективность математики в данном конкретном 
случае проявляется в том, что она помогает открывать физические явления, которые совсем не очевидны, хотя и вполне реальны. Самое удивительное здесь то, 
что природа демонстрирует высочайшую степень соответствия математичес- 
ким формулам и соотношениям.  
7 
 

П р и м е ч а н и е. Эффективность математики в познании реального физического 
мира отмечали еще древние греки и средневековые схоласты. Р. Декарт был первым, кто 
в XVII веке провозгласил особое значение математики как инструмента познания. И. Кеплер тоже видел реальный мир в описывающих его математических соотношениях. По словам Г. Галилея, математические символы – те «письмена, которыми начертана великая 
книга Природы». И. Ньютон и Г. Лейбниц объясняли согласованность между реальным 
и математическим миром (в конечном счете применимость к физическому миру создан- 
ного ими интегрального и дифференциального исчисления) единством природы. 
При описании свойств электромагнитного поля, Дж. Максвелл использо- 
вал математический аппарат векторного исчисления. Возникновение векторного исчисления тесно связано с потребностями механики и физики. Основы векторного исчисления были заложены в первой половине XIX века исследова- 
ниями ирландского математика и физика У. Гамильтона (1805–1865) и немецкого математика Г. Грассмана (Grassmann, 1809–1877) по гиперкомплексным 
числам, обобщающим комплексные числа. До XIX века для задания векторов 
использовали только координатный способ, и операции над векторами сводились к действиям над координатами. 
Гамильтон и Грассман разработали новый математический аппарат, в котором действия проводились непосредственно с векторами. 
П р и м е ч а н и е. Справедливости ради, следует отметить, что идея введения векторного исчисления впервые была высказана Г. Лейбницем (1646–1716) в 1679 г. в одном 
из его писем к Х. Гюйгенсу (1629–1695). А в физике еще в конце XVI – начале XVII в. 
Леонардо да Винчи, Галилео Галилей и другие ученые использовали направленные отрезки 
для изображения сил. И. Кеплер (1571–1630) в своих трактатах «Новая астрономия» (1609) 
и «Гармония Мира» (1619) использовал векторы при формулировке законов движения пла- 
нет. Но систематические начала исчисления направленных отрезков были впервые изложены только в 1799 г. в мемуаре «Опыт об аналитическом представлении направления 
и его применениях, преимущественно к решению плоских и сферических многоугольников» Каспара Весселя (1745–1818), уроженца Норвегии, но считавшегося датским мате- 
матиком. В труде Весселя нет никаких примеров из области механики и физики, а векторное исчисление использовалось в области прикладной геометрии (для геодезии, картографии и землемерия). Далее Лазар Карно (1753–1823), французский математик и политический деятель, в работах 1803 г. продолжил развитие векторного исчисления, заложив ос- 
новные идеи проективной геометрии и топологии. Некоторые введенные Карно термины 
8 
 

и символы, в частности, обозначение вектора со стрелкой наверху, используются и в со- 
временную эпоху. Немецкий математик А. Мебиус (1790–1868) в сочинении «Барицентрическое исчисление» (1827) систематизировал идеи Карно, рассмотрев детально некоторые 
операции векторного исчисления. 
Современный вид векторному исчислению придал американский физик 
Дж. Гиббс (1839–1903) в своей работе «Элементы векторного анализа» (1881–1884). 
Значительный вклад в развитие векторного исчисления внесли русские ученые. 
В первую очередь М. В. Остроградский, Д. Н. Зейлигер, Т. А. Широков, И. О. Сомов и др. Именно эти ученые показали, что в механике и физике широко используются понятия скалярного и векторного поля. Примером скалярных полей может служить температура неравномерно нагретой пластинки или плотность неоднородного тела. Примерами векторных полей могут служить поле силы тя- 
жести, магнитная и электрическая напряженности электромагнитного поля.  
Для математического задания скалярных и векторных полей используются скалярные и векторные функции точки. Ясно, что температура или плотность тела представляет собой скалярную функцию точки, а напряженность электрического или магнитного поля – векторную функцию точки. Математический 
аппарат теории поля называется векторным анализом. 
Другой замечательной особенностью теории электрического и магнитного поля является возможность использования разработанного математического аппарата в других областях физики. Особенно в гидродинамике и теории гравитации, которые чрезвычайно важны для человека и его деятельности 
в земных условиях. 
Итак, важность изучения темы «Применение теории поля в электростатике и электромагнетизме» бесспорна.  
Для предметного разговора по теме необходимо разобраться в терминологии, определении физических величин, характеризующих поле, и аналитической 
связи между ними. Поэтому рассмотрим сначала основные понятия, использующиеся в теории скалярного и векторного поля, а затем перейдем к изучению важнейших уравнений, описывающих электрические и магнитные поля и явления, 
необходимые для объяснения физической природы электромагнетизма. 
9 
 

Глава 1 
СКАЛЯРНОЕ И ВЕКТОРНОЕ ПОЛЕ 
 
1.1. Основные понятия и определения 
 
Термин «поле» употребляется в физике для обозначения части или всего 
пространства, в котором рассматривается некоторое физическое явление. На- 
пример, температура воздуха в разных точках пространства образует поле температур; атмосферное давление – поле давлений; плотность – поле плотностей; 
магнитная проницаемость – поле магнитных проницаемостей вещества и пр. 
Электрический заряд создает вокруг себя электростатическое поле, 
которое действует с вполне определенной по величине и направлению силой 
на каждый электрический заряд, помещенный в некоторую точку поля (закон 
Кулона, сила Кулона). Электрический ток создает вокруг себя магнитное поле, 
которое действует с определенной силой на любой проводник с током, помещенный в некоторую точку поля (закон Ампера, сила Ампера). 
Можно привести большое число примеров такого рода. Во всех случаях, 
когда речь идет о процессе, характеризующемся скалярной величиной (температура, давление, плотность и т. п.), поле называется скалярным. Если же рас- 
сматриваемый процесс характеризуется векторной величиной (скорость частицы 
текущей жидкости, напряженность электрического или магнитного поля и т. п.) 
или тензорной (например, напряжение в каждой точке упругого тела; проводимость в анизотропном теле и т. п.), то поле называется векторным (в общем 
случае тензорным полем). Вектор всегда можно связать с силой, поэтому векторное поле еще называется силовым полем.  
П р и м е ч а н и е. Векторное поле в общем случае называется тензорным. Тензор 
(от лат. tensus – напряженный, натянутый) – математический термин, появившийся в середине XIX века и активно использующийся в тензорном исчислении. Тензорное исчисление 
является развитием и обобщением векторного исчисления и теории матриц и представляет 
особый математический раздел, изучающий свойства и правила действия над тензорами, 
а также свойства дифференциальных операторов на основе алгебры тензорных полей. Тен10