Математика. ЕГЭ. Методы решения стереометрических задач

 
 
 
 
 
 
 
 
Математика  
 
ЕГЭ 
 
МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СТЕРЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ 
 
 
Учебное пособие 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Москва    Вологда 
«Инфра-Инженерия» 
2024

УДК 372.851 
ББК 74.262.21 
М34 
 
 
 
Авторы: 
Королев А. А., Изотова В. Ф., Ересько П. В., Варламова Е. В. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
М34   
Математика. ЕГЭ. Методы решения стереометрических задач : 
учебное пособие / [Королев А. А. и др.]. - Москва ; Вологда : Инфра-Инженерия, 2024. - 120 с. : ил. 
ISBN 978-5-9729-2004-4 
 
Рассмотрены различные способы решения стереометрических задач. Для этого из 
их многообразия выделены классы задач, объединенные общей идеей и стандартной 
техникой решения. Объясняется, в чем именно состоит идея задач того или иного 
класса, и какова методика их решения. Материал пособия можно использовать для работы в профильных классах и в классах с углубленным изучением математики, а также 
как методический материал для построения элективного курса для 10-11 классов.  
Для учащихся старших классов и учителей математики. 
 
УДК 372.851 
ББК 74.262.21 
 
 
 
 
ISBN 978-5-9729-2004-4 
” Издательство «Инфра-Инженерия», 2024 
 
” Оформление. Издательство «Инфра-Инженерия», 2024 
” ФГБОУ ВО «Саратовская государственная юридическая 
академия», 2024 
 
 

ВВЕДЕНИЕ 
 
Данное учебное пособие является дополнительным материалом к школьным учебникам. Оно разбито на три части. В первой части приведен краткий 
справочник, в котором содержатся все необходимые сведения для решения стереометрических задач из второй части ЕГЭ. В нем не содержатся такие элементарные сведения, как объем пирамиды или конуса и тому подобное. Но в нем 
содержатся сведения о взаимоотношении плоскостей и прямых друг с другом,  
а также некоторые необходимые сведения для решения задач на эти взаимоотношения. 
В пособии указаны некоторые сведения, которые не проходят в средней 
школе, но которые помогут упростить решения некоторых задач. В частности, 
определители второго и третьего порядка, векторное произведение векторов. 
Кроме того, включены сведения о трехгранном угле, которому уделяется недостаточно внимания в школе, но его три теоремы также существенно могут упростить решения некоторых задач. 
Во второй части сборника представлены 17 решенных задач. Причем они 
решены как векторно-координатным способом, так и обычным геометрическим 
способом. Разработчиками ЕГЭ очень сильно приветствуется именно геометрических способ решения задач. Но многие задачи очень легко решаются именно 
координатно-векторным способом. Поэтому в сборнике приведены решения задач двумя способами, которые помогут вам освоить оба метода. Сами задачи 
взяты из различных сборников к подготовке ЕГЭ других авторов. 
В третьей части сборника приведены задачи для самостоятельного решения. 
Книга адресована школьникам, готовящимся сдавать ЕГЭ из второй части 
по профильной математике, а также учителям. 
Особую благодарность хотел бы выразить Корнеевой Алифтине Олеговне, 
которая подсказала автору некоторые методы решения задач. 
 
А. А. Королев 
 
3

КРАТКИЙ СПРАВОЧНИК 
 
По умолчанию будем обозначать геометрические точки прописными латинскими буквами, например A, B , и т. д. Координаты этих точек обозначим через 


a
a
a
z
y
x
,
,
, 

b
b
b
z
y
x
,
,
 и т. д., где нижний индекс указывает на точку, к которой 
эти координаты относятся.  
 
1. Расстояние между двумя точками пространства A и B : 





2
2
2
a
b
a
b
a
b
z
z
y
y
x
x





 
U
. 
2. Если точка E  делит отрезок AB  в отношении 
l
k
EB
AE
:
:
 
, то координаты точки E  можно найти из соотношений: 
e
b
a
 
e
b
a
.
e
b
a
k
l
x
x
x
k
l
k
l
k
l
y
y
y
k
l
k
l
k
l
z
z
z
k
l
k
l
-
 

°


°
°
 

®


°
°
 

°


¯
В частности, координаты середины отрезка (
l
k  ) равны средним арифметическим координат его концов. 
3. Если прямая проходит через точки A и B , то ее уравнение имеет вид: 
a
a
a
z
z
z
z
y
y
y
y
x
x
x
x


 


 


. 
a
b
a
b
a
b
4. Иногда придется иметь дело с определителями второго и третьего порядка: 
a
a
a
3
2
1
a
a
 и 
,  
3
2
1
2
1
b
b
2
1
c
c
c
b
b
b
3
2
1
которые вычисляется по правилам: 
2
1
b
a
b
a
b
b
a
a
˜

˜
 
, 
1
2
2
1
2
1
a
a
a





 
. 
3
2
1
2
3
1
3
1
2
1
2
3
2
1
3
1
3
2
3
2
1
3
2
1
c
b
a
c
b
a
c
b
a
c
b
a
c
b
a
c
b
a
c
c
c
b
b
b
3
2
1
Иногда удобнее выразить определитель третьего порядка через определители второго порядка: 
a
a
a
3
2
1


 
. 
3
2
1
3
2
1
b
b
a
c
c
c
c
b
b
a
c
c
3
1
2
3
2
1
1
3
3
1
2
1
b
b
a
c
c
c
b
b
b
3
2
1
 
4

При решении стереометрических задач векторно-координатным способом 
приходится пользоваться понятием вектора. Далее приведены сведения о векторах, которые помогут при решении таких задач. Как правило, почти все стереометрические задачи можно свести к действию над векторами. 
Например, чтобы доказать, что прямые параллельны, можно доказать, что 
вектора, лежащие на этих прямых параллельны, а если хотим доказать, что плоскости перпендикулярны, то достаточно доказать, что нормальные вектора, проведенные к этим плоскостям перпендикулярны и т. д. 
5.  Пусть даны две точки в пространстве A и B . Тогда вектор AB
JJJ
G
 будет 
иметь координаты: 
(
,
,
)
b
a
b
a
b
a
AB x
x
y
y
z
z



JJJ
G
. 
6. Длина вектора 
1
2
3
(
,
,
)
a a a a
G
 равна: 
2
3
2
2
2
1
a
a
a
a


 
. В частности (п. 5), 
если известны координаты концов вектора, то его длина: 






2
2
2
b
a
b
a
b
a
AB
x
x
y
y
z
z
 





JJJ
G
. 
7. Для того, чтобы вектора были параллельны, необходимо и достаточно 
чтобы их координаты были пропорциональны. Т. е.  если вектора 
1
2
3
(
,
,
)
a a a a
G
  
и 
1
2
3
( ,
,
)
b b b b
G
 параллельны, то их координаты связаны соотношением: 
3
2
1
. 
k
b
a
b
a
b
a
 
 
 
1
2
3
И наоборот, если верно это соотношение, то вектора параллельны. 
8. Скалярным произведением векторов  
1
2
3
(
,
,
)
a a a a
G
 и 
1
2
3
( ,
,
)
b b b b
G
 называется число: 
1 1
2 2
3 3
a b
a b
a b
a b
˜  


G G
. 
9. Угол между векторами 
1
2
3
( ,
,
)
a a a a
G
 и 
1
2
3
( ,
,
)
b b b b
G
 можно найти из выражения: 
G G
G
G
. 
a b
a
a
a
b
b
b
D
˜


 
 
˜


˜


1 1
2 2
3 3
2
2
2
2
2
2
1
2
3
1
2
3
cos
a b
a b
a b
a b
Вверху данного выражения стоит скалярное произведение векторов, а внизу 
произведение их длин. 
10. В частности, если вектора перпендикулярны, т. е. 
90
D  
q, то 
0
cos
 
D
, 
а, следовательно, числитель дроби в правой части также равен нулю. Т. е.  равно 
нулю скалярное произведение векторов:  
1 1
2 2
3 3
0
a b
a b
a b
a b
˜  


 
G G
.  
Это свойство понадобится в задачах для доказательства перпендикулярности прямых, плоскостей, а также параллельности прямой и плоскости. 
11. Векторным произведением векторов a b
u
G
G
 называется вектор c
G
, который перпендикулярен векторам a
G
 и b
G
 (направлен так, чтобы кратчайший пово 
5

рот от вектора a
G
 к вектору b
G
 осуществлялся против часовой стрелки, если смотреть с конца вектора c
G
) и его длина равна площади параллелограмма, построенного на векторах a
G
 и b
G
. 
Координаты вектора c
G
 находятся из выражения: 
G
G
G
G
G
G
G
G
 
i
j
k
a
a
a
a
a
a
c
a b
a
a
a
i
j
k
b
b
b
b
b
b
b
b
b
 
u
 
 
˜ 
˜

˜
 
2
3
1
3
1
2
1
2
3
2
3
1
3
1
2
1
2
3
1
2
3
c i
c
j
c
k
 
˜ 
˜ 
˜
G
G
G
, 
l
p
˜

˜
 
 (п. 4). 
где  
m
l
n
p
n
m
А площадь параллелограмма равна длине вектора c
G
. 
Например, пусть даны два вектора (1,3,4)
a
G
 и (4,6, 1)
b

G
. Тогда их векторное 
произведение (п. 4): 
G
G
G
G
G
G
G
G
G
 
i
j
k
c
a b
i
j
k
i
 
u
 
 
˜ 
˜

˜
 
˜ 
 ˜
˜ 





3
4
1
4
1
3
1
3
4
3 ( 1)
4 6
6
1
4
1
4
6
4
6
1




1 ( 1)
4 4
1 6
3 4
27
17
6
j
k
i
j
k

˜ 
 ˜
˜ 
˜  ˜
˜
 


G
G
G
G
G
. 
Т. е.  вектор c
G
 имеет координаты 

6
,
17
,
27


c
. 
Площадь параллелограмма, построенная на векторах a
G
 и b
G
 равна (а, следовательно, и длина вектора c
G ): 




1054
36
289
729
6
17
27
2
2
2
 


 




 
S
. 
12. Уравнение плоскости имеет вид:  
, 
0
 



G
J
E
D
z
y
x
где 
G
J
E
D
,
,
,
 - произвольные числа, и чтобы найти уравнение плоскости, необходимо найти значения этих чисел (
0
,
,
z
J
E
D
 одновременно). 
Кроме того, числа 
J
E
D
,
,
 - это координаты вектора, перпендикулярного  
к плоскости (в дальнейшем будем его называть нормальным вектором плоскости 
и обозначать 
)
,
,
(
J
E
D
n
).  
Таким образом, от уравнения плоскости, мы приходим к вектору. 
Если плоскость проходит через точки A , B , C , то ее уравнение можно записать: 
a
a
a
. 
a
b
a
b
a
b
z
z
y
y
x
x
z
z
y
y
x
x
z
z
y
y
x
x
0
 









a
c
a
c
a
c
 
6

Данный определитель, как и все остальные определители третьего и второго 
порядка считаются по правилам, описанным в п. 4. 
В большинстве случаев мы находим уравнение плоскости именно для того, 
чтобы перейти от нее к вектору нормали, а дальше действовать с помощью этого 
вектора. 
В зависимости от того, что нужно определить, стереометрические задачи 
можно разделить на типы. И далее мы приведем сведения, которые могут быть 
полезны при решении различных типов стереометрических задач. 
13. Угол между скрещивающимися прямыми. 
Угол между двумя пересекающимися прямыми в пространстве - это мера 
меньшего из углов, образованных этими прямыми. 
Пусть одна прямая проходит через точки A  и B , а другая через C  и D . 
Тогда для определения угла между прямыми сделаем следующие шаги: 
а) найдем координаты векторов по правилу из п. 3:  
1
2
3
(
,
,
)
( ,
,
)
b
a
b
a
b
a
AB x
x
y
y
z
z
a a a



 
JJJ
G
,   
1
2
3
(
,
,
)
( ,
,
)
d
c
d
c
d
c
CD x
x
y
y
z
z
b b b



 
JJJ
G
. 
б) используя выражение (п. 9), найдем угол между векторами AB
JJJ
G
 и CD
JJJ
G
: 
b
a
b
a
b
a


 
D
. 
3
3
2
2
1
1
cos
b
b
b
a
a
a


˜


2
3
2
2
2
1
2
3
2
2
2
1
Следует обратить внимание на то, что в числителе стоит модуль. Он появился в силу того, что угол между прямыми не может быть тупым, по определению, а угол между векторами может.  
 В случае, если решать без использования векторно-координатного способа, 
то здесь есть одна очень полезная теорема: 
Теорема (о расстоянии и угле скрещивающихся прямых). Расстояние 
между скрещивающимися прямыми равно расстоянию от точки, являющейся 
проекцией одной из данных прямых на перпендикулярную ей плоскость, до проекции другой прямой на эту же плоскость. Угол между второй прямой и указанной ее проекцией дополняет до 90q угол между данными скрещивающимися 
прямыми. 
На рис. 1 расстояние QP между скрещивающимися прямыми l  и 1
l  равно  
расстоянию AH  между точкой A  (проекцией 1
l  на перпендикулярную ей плоскость) и прямой 
l  (проекцией прямой l  на эту же плоскость), а угол между прямыми l  и 1
l  обозначен, как угол D . 
Метод трех косинусов 
Пусть даны скрещивающиеся прямые a  и b. 
Пусть 
b  - проекция прямой b на плоскость, которая содержит прямую a . 
Пусть 
b  пересекает прямую a  в точке A (рис. 2). 
 
 
7

      
 
Рис. 1                                                          Рис. 2 
 
Тогда угол между прямыми a  и b:  
m
cos ,
cos
cos
a b
D
E
 
˜
, 
где  m
,
a b - искомый угол между скрещивающимися прямыми,  
E  - угол между прямой b и ее проекцией 
b ,   
D - угол между прямой a  и 
b . 
 
Пример задачи на метод трех косинусов: 
Пусть (рис. 3) K - середина DC, 
2
2
AD  
, 
2
CD
AF
 
 
 прямого параллелепипеда  ABCDFYTS . Найти угол между прямыми BK и DT. 
 
Решение:  
Из треугольника DTC : cos
DC
TDC
DT
‘
 
. 
По теореме Пифагора: 
2
2
2
2
2
2
2
DT
DC
CT
DC
AF
 

 

 

 
. 
Аналогично: 
2
2
2
2
1
2
BK
BC
CK
BC
DC
§
·
 

 

 
¨
¸
©
¹
 
1
1
1
2
2
 

 . 
Таким образом: 
 
 
Рис. 3 
2
cos
2
TDC
‘
 
, 
2
2
2
cos
1
2
KC
BKC
BK
‘
 
 
 
. 
Следовательно, 
2
2
1
cos
cos
cos
60 .
2
2
2
BKC
TDC
D
D
 
‘
˜
‘
 
˜
 
Ÿ
 
q  
 
8

14. Угол между прямой и плоскостью 
Углом между прямой и плоскостью называется угол между прямой и ее проекцией на плоскость. 
Если нам задано уравнение плоскос- 
ти (п. 12): 
0
 



G
J
E
D
z
y
x
, 
то это означает, что нам задан ее вектор 
нормали ( , , )
n D E J
G
, координатами которого 
являются коэффициенты уравнения плоскости при переменных , , .
x y z  
 
 
Рис. 4 
 
Если нам дана прямая l ,  которая проходит через две заданные точки,  то 
угол между прямой и вектором нормали плоскости - это угол M  между векторами AB
JJJ
G
 и n
G
, а угол между прямой и плоскостью - дополнение полученного 
угла до 90ƒ (рис. 4). 
Т. е. если в выражение в п. 9 подставить координаты векторов 
1
2
3
(
,
,
)
AB a a
a
JJJ
G
 
n
AB
и 
( , , )
n D E J
G
, то можно найти угол между этими векторами 
˜
 
M
cos
 .  
n
AB
˜
Но так как 


cos
sin 90
M
M
 
q
, то угол между прямой и плоскостью вычисляется 
из выражения: 
a
a
a
. 


 
a
a
a
3
2
1
sin
J
E
D
J
E
D
M


˜


2
2
2
2
3
2
2
2
1
 
Рис. 5 
Признак параллельности прямой и плоскости: прямая параллельна плоскости, если она параллельна какой-либо прямой на плоскости. 
Например, в пирамиде (рис. 5) 
CD
AB __
. Так как 
)
(SCD
CD
, то 
)
(
__ SCD
AB
. 
Если плоскость (например, (
)
SDC ) (рис. 5), 
параллельная данной прямой (например, AB), пересекает плоскость, в которой эта прямая лежит 
(плоскость (
)
ABC ), то линия пересечения CDпараллельна данной прямой AB. 
Признак перпендикулярности прямой и плоскости: прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум непараллельным прямым на 
плоскости. 
Т. е. часто в задачах, чтобы доказать перпендикулярность прямой плоскости, 
определяются на плоскости две непараллельные прямые, которым исходная прямая перпендикулярна. 
 
 
 
 
9

15. Угол между плоскостями 
Пусть l  - прямая пересечения двух плоскостей (рис. 6).  Пусть к произвольной точке O   
на этой прямой, проведены перпендикуляры 
1
p  
и 
2
p  в плоскостях 1 и 2. 
Тогда под углом между плоскостями понимают величину нетупого угла M , образованного 
прямыми 
1
p  и 
2
p  (рис. 6). Если к плоскости 1 
построить нормальный вектор 1
n
JJ
G
, а к плоскости  2 
 
Рис. 6 
нормальный вектор 
2
n
JJ
G
, то угол между этими 
векторами также будет равен углу M . Т. е. задача 
поиска угла между плоскостями сводится к задаче поиска угла между их нормальными векторами. 
Замечание. Иногда при решении задач требуется найти угол между гранями. В этом случае угол между соответствующими плоскостями может 
быть тупым. 
Если уравнения плоскостей 1 и 2 соответственно имеют вид: 
0
1
1
1
1
 



G
J
E
D
z
y
x
   и  
0
2
2
2
2
 



G
J
E
D
z
y
x
, 
то угол между ними определяется из выражения (п. 9): 
2
1
2
1
2
1
n
n
, 
˜
 
n
n


 
˜
2
1
cos
E
E
E
D
D
D
J
J
E
E
D
D
M


˜


2
1
2
3
2
2
2
1
2
3
2
2
2
1
где   1
n
JJ
G
 и 2
n
JJ
G
 соответствующие нормальные вектора плоскостей 1 и 2. 
Признак параллельности плоскостей:  
1. Плоскости параллельны, если какие-либо две непараллельные прямые одной плоскости параллельны каким-либо двум прямым другой плоскости. 
2. Если две пересекающиеся прямые, лежащие в одной плоскости, параллельны другой плоскости, то такие плоскости параллельны. 
Кроме того, если плоскости параллельны, то параллельны их вектора нормали, т. е. выполняется условие: 
1
1
1
D
E
J
D
E
J
 
 
. Или: 
2
2
2
k
D
D
1
2
k
E
E
,  
1
2
k
J
J
1
2,
 
-
°
 
®
°
 
¯
где  k  - любое число, не равное нулю. 
 
 
10