Начертательная геометрия

 
 
 
 
 
И. Ю. Скобелева, И. А. Ширшова, М. Л. Мухина 
 
 
 
 
 
 
НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Допущено учебно-методическим объединением вузов по образованию 
в области автоматизированного машиностроения (УМО АМ) в качестве учебного пособия 
для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлениям подготовки  
бакалавров и магистров «Технология, оборудование и автоматизация машиностроительных 
производств» и дипломированных специалистов «Конструкторско-технологическое  
обеспечение машиностроительных производств» 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Москва    Вологда 
«Инфра-Инженерия» 
2024 

УДК 514.18 
ББК 22.151.1 
C44 
 
 
 
Рецензенты: 
доктор педагогических наук, профессор кафедры «Начертательная геометрия, 
машинная графика и САПР» НГАСУ М. В. Лагунова; 
кандидат технических наук, доцент А. Ю. Логинов 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Скобелева, И. Ю. 
С44   
Начертательная геометрия : учебное пособие / И. Ю. Скобелева, 
И. А. Ширшова, М. Л. Мухина. – Москва ; Вологда : Инфра-Инженерия, 
2024. – 168 с. : ил., табл.  
ISBN 978-5-9729-2115-7 
 
Рассмотрены методы построения пространственных объектов на плоскости, представлены позиционные и метрические задачи, имеющие исключительно практическое значение. Углубленно разработаны темы «Поверхности», 
«Развертки поверхностей», «Аксонометрические проекции», что способствует 
более детальному изучению курса. 
Для студентов машиностроительных специальностей. 
 
УДК 514.18 
ББК 22.151.1 
 
 
 
ISBN 978-5-9729-2115-7 
© Скобелева И. Ю., Ширшова И. А., Мухина М. Л., 2024 
 
© Издательство «Инфра-Инженерия», 2024 
 
© Оформление. Издательство «Инфра-Инженерия», 2024 
 

ОГЛАВЛЕНИЕ 
ПРИНЯТЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ 
................................................................... 
6 
ПРЕДИСЛОВИЕ .......................................................................................... 
7 
1. ПРЕДМЕТ КУРСА 
................................................................................... 
8 
1.1. Метод начертательной геометрии ...................................................... 
8 
1.2. Задачи начертательной геометрии ..................................................... 
8 
2. МЕТОДЫ ПРОЕЦИРОВАНИЯ 
.............................................................. 
9 
2.1. Центральный метод проецирования 
................................................... 
9 
2.2. Параллельный метод проецирования ................................................. 
9 
2.3. Свойства параллельных проекций ................................................... 
10 
2.4. Ортогональные проекции ................................................................. 
10 
3. КОМПЛЕКСНЫЙ ЧЕРТЕЖ ................................................................ 
12 
3.1. Ортогональные (прямоугольные) проекции точки.  
Проецирование точки на три плоскости проекций 
................................. 
12 
3.2. Основные свойства комплексного чертежа ..................................... 
14 
3.3. Комплексный чертеж без указания осей .......................................... 
14 
4. ПРЯМАЯ ЛИНИЯ 
.................................................................................. 
15 
4.1. Классификация прямых .................................................................... 
15 
4.1.1. Линии уровня ............................................................................ 
16 
4.1.2. Проецирующие прямые ............................................................ 
17 
4.2. Взаимное положение прямых линий ................................................ 
19 
4.3. Принадлежность точки прямой линии ............................................. 
21 
4.4. Определение натуральной величины отрезка.  
Способ треугольника 
............................................................................... 
21 
5. ПЛОСКОСТЬ ......................................................................................... 
23 
5.1. Способы задания плоскости ............................................................. 
23 
5.2. Классификация плоскостей .............................................................. 
24 
5.3. Проецирующие плоскости 
................................................................ 
24 
5.4. Плоскости уровня ............................................................................. 
26 
5.5. Относительное положение двух плоскостей 
.................................... 
27 
6. ПОВЕРХНОСТЬ .................................................................................... 
29 
6.1. Способы задания поверхностей 
........................................................ 
29 
6.2. Классификация кинематических поверхностей ............................... 
31 
6.3. Многогранные поверхности ............................................................. 
31 
6.4. Торсовые поверхности 
...................................................................... 
35 
6.4.1. Конические поверхности .......................................................... 
35 
6.4.2. Цилиндрические поверхности .................................................. 
36 
6.4.3. Торсы 
......................................................................................... 
36 
6.5. Поверхности вращения ..................................................................... 
37 
3 

6.6. Поверхности сдвига .......................................................................... 
43 
6.7. Винтовые поверхности ..................................................................... 
44 
6.8. Изображение поверхностей на комплексном чертеже 
..................... 
44 
6.8.1. Построение очерков конических поверхностей 
....................... 
45 
6.8.2. Построение очерков цилиндрических поверхностей 
............... 
46 
7. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВИДИМОСТИ. МЕТОД КОНКУРИРУЮЩИХ 
ТОЧЕК ........................................................................................................ 
47 
8. ПОЗИЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ 
.................................................................. 
49 
8.1. Относительное положение прямой и плоскости .............................. 
49 
8.2. Принадлежность точки и прямой линии плоскости ........................ 
49 
8.3. Параллельность прямой и плоскости ............................................... 
50 
8.4. Линии уровня плоскости .................................................................. 
50 
8.5. Пересечение прямой общего положения и плоскости частного 
положения 
................................................................................................ 
51 
8.6. Пересечение двух плоскостей частного положения ........................ 
52 
8.7. Пересечение плоскости общего положения и плоскости  
частного положения ................................................................................ 
52 
8.8. Пересечение прямой общего положения и плоскости общего 
положения. Первая позиционная задача ................................................. 
53 
8.9. Пересечение двух плоскостей общего положения.  
Вторая основная позиционная задача ..................................................... 
56 
8.10. Точка на поверхности ..................................................................... 
57 
8.11. Сечение поверхности плоскостью 
.................................................. 
60 
8.11.1. Сечение многогранной поверхности плоскостью .................. 
60 
8.11.2. Сечения сферы плоскостью .................................................... 
65 
8.11.3. Сечения цилиндра плоскостью 
............................................... 
69 
8.11.4. Сечения прямого кругового конуса плоскостью 
.................... 
74 
8.11.5. Сечение поверхности вращения плоскостью частного 
положения 
........................................................................................... 
85 
8.12. Пересечение прямой с поверхностью 
............................................. 
87 
9. ВЗАИМНОЕ ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ 
............................. 
91 
9.1. Способ вспомогательных параллельных плоскостей ...................... 
92 
9.2. Способ вспомогательных сфер 
......................................................... 
95 
9.2.1. Способ концентрических сфер ................................................. 
96 
9.2.2. Способ эксцентрических сфер 
................................................ 
101 
10. МЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ ............................................................... 
110 
10.1. Теорема о проекциях прямого угла .............................................. 
110 
10.2. Линии наибольшего наклона плоскости ...................................... 
111 
10.3. Перпендикулярность прямой и плоскости ................................... 
112 
10.4. Взаимная перпендикулярность плоскостей ................................. 
113 
 
 
4 

11. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ КОМПЛЕКСНОГО ЧЕРТЕЖА 
................... 
114 
11.1. Способ замены плоскостей проекций .......................................... 
114 
11.2. Способ плоскопараллельного движения ...................................... 
117 
11.3. Вращение 
....................................................................................... 
122 
11.3.1. Вращение вокруг проецирующей прямой ............................ 
122 
11.3.2. Вращение вокруг линии уровня (совмещение) .................... 
125 
12. РАЗВЕРТКИ ПОВЕРХНОСТЕЙ ...................................................... 
128 
12.1. Развертка поверхности прямой призмы ....................................... 
131 
12.2. Развертка поверхности правильной пирамиды ............................ 
132 
12.3. Развертка поверхности прямого кругового конуса 
...................... 
132 
12.4. Развертка поверхности прямого кругового цилиндра ................. 
133 
12.5. Развертки цилиндрических и призматических поверхностей ..... 
133 
12.5.1. Способ раскатки 
.................................................................... 
134 
12.5.2. Способ нормального сечения ............................................... 
137 
12.6. Развертки линейчатых поверхностей ........................................... 
139 
12.7. Развертки неразвертывающихся поверхностей 
............................ 
142 
12.7.1. Способ цилиндров 
................................................................. 
143 
12.7.2. Способ конусов ..................................................................... 
146 
13. АКСОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРОЕКЦИИ ........................................ 
148 
13.1. Виды аксонометрических проекций 
............................................. 
149 
13.2. Прямоугольные (ортогональные)  
аксонометрические проекции 
................................................................ 
150 
13.3. Прямоугольная изометрическая и диметрическая проекции 
....... 
150 
13.4. Аксонометрические проекции окружности 
.................................. 
152 
13.4.1. Построение эллипсов по восьми точкам .............................. 
154 
13.4.2. Построение овалов ................................................................ 
156 
СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 
.................................. 
164 
 
 
5 

ПРИНЯТЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ 
Геометрические знаки: 
Ф – геометрическая фигура; 
A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K, L, M, N, O, P, Q, R, S, T, U, V, W, X, Y, Z – точки 
в пространстве (прописные буквы латинского алфавита); 
a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, o, p, q, r, s, t, u, v, w, x, y, z – прямые  
и кривые линии в пространстве (строчные буквы латинского алфавита); 
ǹĮ(Альфа), Ǻȕ(Бета), īȖ(Гамма), ǻį(Дельта), Ǽİ(Эпсилон), ǽȗ(Дзета), 
ǾȘ(Эта), Ĭș(Тета), ǿȚ(Йота), Ȁț(Каппа), ȁȜ(Лямбда), Ȃȝ(Мю), ȃȞ(Ню), 
Ȅȟ(Кси), ȅȠ(Омикрон), Ȇʌ(Пи), ȇȡ(Ро), ȈıȢ(Сигма), ȉIJ(Тау), Ȋȣ(Ипсилон), 
ĭij(Фи), ȋȤ(Хи), Ȍȥ(Пси), ȍȦ(Омега) – плоскости и углы (буквы греческого 
алфавита). 
(AB) – прямая неограниченной длины, проходящая через точки A и B; 
[AB) – луч с началом в точке A, проходящий через точку B; 
[AB] – отрезок прямой, ограниченный точками A и B; 
|AB| – расстояние от точки A до точки B; 
|A, a| – расстояние от точки A до прямой a; 
|A, Į| – расстояние от точки A до плоскости Į. 
Знаки, выражающие отношения между геометрическими образами: 
= – равенство, совпадение; 
→ – отображение; 
Ÿ – следовательно; 
⇔ – если (в том только случае), эквивалентность; 
× – пересечение в случае, когда результатом пересечения является точка: 
A = c × d; 
∩ – пересечение в случае, когда результатом пересечения является множество точек: 
a = β∩Ȗ; 
∈ – принадлежность: A∈Į; 
⊂ – включение: A⊂Į ; 
∪ – объединение:  
ABC = [AB] ∪ [BC] ∪ [CA]; 
|| – параллельность; 
⊥ – перпендикулярность. 
6 

ПРЕДИСЛОВИЕ 
Теория начертательной геометрии составляет основу инженерной практики, геометрической и конструкторской подготовки инженера. 
Учебное пособие по начертательной геометрии предназначено для студентов машиностроительных специальностей высших учебных заведений, охватывает все вопросы действующей учебной программы. В основу положены лекции 
по начертательной геометрии, читаемые авторами в Нижегородском государственном техническом университете им. Р.Е. Алексеева. 
В пособии дается методика построения технического чертежа и широко 
используются средства наглядного показа: выразительные проекционные объекты и их объемные модели. 
Геометрические задачи решаются одновременно на комплексных чертежах и на наглядных изображениях по одним и тем же правилам. Как видно из 
опыта, использование средств наглядного показа способствует целенаправленному формированию пространственных представлений и развитию пространственного воображения, приобретению навыков чтения чертежей, геометрического конструирования. 
В учебном пособии рассматриваются решения не только типовых геометрических задач на формирование, задание и изображение поверхностей технических форм и их разверток, аксонометрических изображений, но и решения конкретных задач по каждой теме курса. 
Пожелания и замечания следует направлять по адресу: 603950, Нижний 
Новгород, ул. Минина, 24, ИТС, кафедра «Инженерная графика». 
7 

1. ПРЕДМЕТ КУРСА 
1.1. Метод начертательной геометрии 
Начертательная геометрия как наука сформировалась к концу XVIII века, 
когда профессор Парижской политехнической школы опубликовал курс лекций 
по начертательной геометрии «Geometrie descriptive», в которой, анализируя различные практические приемы, применяемые в строительном деле, отделил элементы теории и разработал стройную логическую научную систему построения 
в проекциях основных задач на прямую линию, плоскость, поверхность и др. 
Гаспар Монж свел невозможные фактически «чертежные» построения в пространстве трех измерений к действиям над двумя ортогональными проекциями  
какого-либо тела, получаемыми на двух, неизменно связанных между собой, взаимно перпендикулярных координатных плоскостях – плоскостях проекций. 
Начертательная геометрия – это раздел геометрии, в котором трехмерные 
пространственные объекты изучаются по их плоским изображениям – чертежам. Чертежом называют изображение предмета, построенное по особым правилам при помощи чертежных инструментов или средствами компьютерной графики, в точной зависимости от размеров и положения в пространстве соответствующих линий предмета. «Чертеж – это язык техники», – говорил Гаспар 
Монж. «Начертательная геометрия служит грамматикой этого языка, так как она 
учит нас правильно читать чужие и излагать наши собственные мысли, пользуясь 
в качестве слов одними только линиями и точками как элементами всякого изображения», – писал автор классического российского учебника начертательной 
геометрии В.И. Курдюмов. 
1.2. Задачи начертательной геометрии 
Начертательная геометрия занимается двумя основными вопросами: 
1. Изучением методов построения изображений трехмерных пространственных форм на плоскости. 
2. Изучением пространственных форм по их плоским изображениям. 
Основные требования, предъявляемые к чертежам: 
• наглядность; 
• простота и точность выполнения; 
• обратимость, то есть возможность решения задачи о восстановлении 
формы и размеров изображаемого предмета. 
8 

2. МЕТОДЫ ПРОЕЦИРОВАНИЯ 
2.1. Центральный метод проецирования 
В пространстве выбирают произвольную точку S – центр проецирования  
и плоскость П′ – плоскость проекций или картинную плоскость (рис. 2.1). Для 
получения центральной проекции предмета, например, отрезка [AB], необходимо через центр проекций и каждую точку предмета (точки A и B) провести 
прямые до пересечения с картинной плоскостью. Эти прямые называются проецирующими лучами.  
Точка пересечения проецирующего луча с картинной плоскостью называется проекцией точки на эту плоскость. 
Проекция предмета на плоскость – это множество проекций всех его точек на заданную плоскость.  
 
 
Рис. 2.1. Центральный метод проецирования: 
[SA) и [SB) – проецирующие лучи; 
A′ = [SA)×П′ и B′ = [SB)×П′ – центральные проекции  
точек A и B на плоскость П ′  
 
Чертежи, полученные методом центрального проецирования, отличаются 
большой наглядностью, поскольку построены на том же принципе, что и аппарат 
человеческого зрения. Однако такие чертежи сложно выполнять и измерять, поскольку размеры предмета искажаются. 
2.2. Параллельный метод проецирования 
Если центр проекций удалить в бесконечность, то угол между проецирующими лучами будет стремиться к нулю, и проецирующие лучи окажутся параллельными (рис. 2.2). Такой метод проецирования называется параллельным. 
9 

 
Рис. 2.2. Параллельный метод проецирования: 
s – направление проецирования; 
[SA), [SB) и [SC) – проецирующие лучи; 
A′, B′ и C′ – параллельные проекции точек A, B и C на плоскость П′ в направлении s 
2.3. Свойства параллельных проекций 
1. Проекцией точки является точка (см. рис. 2.2). 
2. Проекцией прямой линии является прямая линия (см. рис. 2.2), за исключением случая, когда прямая параллельна направлению проецирования. 
3. При параллельном проецировании сохраняются пропорции. 
4. Если точка принадлежит какой-либо линии, то проекция этой точки принадлежит проекции этой линии C∈AB Ÿ C′∈A′B′ (см. рис. 2.2). 
5. Если прямые параллельны между собой, то их проекции также параллельны (рис. 2.3). 
 
 
Рис. 2.3. Проекции параллельных прямых: 
[AB]||[CD]; [A′B′]||[C′D′] 
2.4. Ортогональные проекции 
Если направление проецирования s перпендикулярно плоскости проекций, 
то метод проецирования называется ортогональным (рис. 2.4), а полученные 
проекции – ортогональными.  
 
10