Моделирование последовательностей случайных величин

 
 
 
 
Ю. В. ПЕТРОВ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
МОДЕЛИРОВАНИЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ 
СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН 
 
 
Учебное пособие 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Москва    Вологда 
«Инфра-Инженерия» 
2024 
1 

 
УДК 519.2 
ББК 22.17 
П30 
 
 
 
Рецензенты: 
кандидат технических наук, начальник отдела АО «ЗАСЛОН» 
Бызов Алексей Николаевич; 
кандидат технических наук, доцент, доцент БГТУ «ВОЕНМЕХ» им. Д. Ф. Устинова  
Рогожин Василий Александрович
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Петров, Ю. В. 
П30  
Моделирование последовательностей случайных величин : учебное 
пособие / Ю. В. Петров. – Москва ; Вологда : Инфра-Инженерия, 2024. – 
112 с. : ил., табл. 
ISBN 978-5-9729-1941-3 
 
Содержит описание методов и алгоритмов моделирования последовательностей 
случайных величин произвольной или заранее заданной размерности. Приведены сведения о вероятностном описании случайных величин и их законов распределения. Заключительная глава пособия посвящена методам оценки качества моделирования случайных величин. 
Для студентов и специалистов, занимающихся моделированием и исследованием 
различных систем и процессов. 
 
УДК 519.2 
ББК 22.17 
 
 
 
 
 
ISBN 978-5-9729-1941-3 
” Петров Ю. В., 2024 
 
” Издательство «Инфра-Инженерия», 2024 
 
” Оформление. Издательство «Инфра-Инженерия», 2024 
 
2 

ОГЛАВЛЕНИЕ 
 
ВВЕДЕНИЕ ................................................................................................................ 6 
1. МОДЕЛИРОВАНИЕ СИСТЕМ ........................................................................... 8 
1.1. Математическое моделирование ...................................................................... 8 
1.2. Имитационное моделирование ......................................................................... 9 
1.3. Статистическое имитационное моделирование 
............................................ 11 
2. ВЕРОЯТНОСТНОЕ ОПИСАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН 
...................... 13 
2.1. Случайное событие. Вероятность 
................................................................... 13 
2.2. Случайная величина 
......................................................................................... 14 
2.3. Законы распределения случайной величины ................................................ 14 
2.4. Показатели центра распределения.................................................................. 15 
2.5. Моменты распределения ................................................................................. 17 
2.6. Показатели меры рассеяния ............................................................................ 18 
2.7. Коэффициент асимметрии 
............................................................................... 21 
2.8. Эксцесс .............................................................................................................. 22 
2.9. Общие свойства случайных величин с произвольным законом  
распределения .......................................................................................................... 23 
2.10. Корреляция случайных величин 
................................................................... 26 
2.11. Функция регрессии 
......................................................................................... 26 
2.12. Линейная корреляция 
..................................................................................... 28 
2.13. Коэффициент корреляции. Ковариация 
....................................................... 30 
3. ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН 
............................ 31 
3.1. Равномерное распределение 
............................................................................ 31 
3.2. Нормальное распределение 
............................................................................. 32 
3.3. Распределение Лапласа 
.................................................................................... 34 
3.4. Обобщенное экспоненциальное распределение ........................................... 35 
3.5. Распределение Коши 
........................................................................................ 37 
3.6. Распределение Релея ........................................................................................ 39 
3.7. Распределение Релея-Райса ............................................................................. 40 
3.8. Экспоненциальное распределение ................................................................. 41 
3.9. Логарифмически нормальное распределение ............................................... 42 
3.10. Распределение Парето ................................................................................... 43 
3.11. Биномиальное распределение ....................................................................... 45 
3.12. Распределение Пуассона ............................................................................... 47 
3 

4. МОДЕЛИРОВАНИЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ СЛУЧАЙНЫХ  
ВЕЛИЧИН С РАВНОМЕРНЫМ ЗАКОНОМ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ................... 49 
4.1. Способы получения случайных величин 
....................................................... 49 
4.2. Методы получения случайных величин с равномерным  
распределением ....................................................................................................... 52 
5. МОДЕЛИРОВАНИЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ СЛУЧАЙНЫХ  
ВЕЛИЧИН ПРОИЗВОЛЬНОЙ РАЗМЕРНОСТИ ................................................ 61 
5.1. Методы моделирования случайных величин ................................................ 61 
5.2. Моделирование случайных величин с нормальным законом  
распределения .......................................................................................................... 63 
5.3. Моделирование случайных величин с законом распределения Релея ....... 65 
5.4. Моделирование случайных величин с законом распределения  
Релея-Райса (обобщенный закон Релея) ............................................................... 66 
5.5. Моделирование случайных величин с экспоненциальным законом  
распределения .......................................................................................................... 67 
5.6. Моделирование случайных величин с логарифмически нормальным  
законом распределения 
........................................................................................... 68 
6. МОДЕЛИРОВАНИЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ СЛУЧАЙНЫХ  
ВЕЛИЧИН ЗАРАНЕЕ ЗАДАННОЙ РАЗМЕРНОСТИ 
........................................ 69 
6.1. Моделирование последовательностей равномерно распределенных  
случайных чисел заданной размерности с одинаковыми интервалами  
разбиения 
.................................................................................................................. 70 
6.2. Моделирования многомерных последовательностей равномерно  
распределенных случайных чисел заданной размерности ................................. 73 
6.3. Моделирование нескольких реализаций последовательностей  
равномерно распределенных случайных чисел заданной размерности ............ 75 
6.4.  Моделирование последовательностей случайных чисел заданной  
размерности с различными интервалами разбиения ........................................... 80 
6.5. Моделирование последовательностей случайных чисел заданной  
размерности с произвольными законами плотности распределения  
вероятности .............................................................................................................. 81 
6.6. Моделирование многомерных последовательностей случайных чисел  
заданной размерности с произвольными законами плотности  
распределения вероятности 
.................................................................................... 84 
 
4 

7. ОЦЕНКА КАЧЕСТВА МОДЕЛИРОВАНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН ... 86 
7.1. Проверки на равномерность распределения по косвенным признакам ..... 87 
7.2. Проверка по критерию «хи-квадрат» ............................................................. 89 
7.3. Проверки на статистическую независимость 
................................................ 92 
7.4. Оценки центра распределения ........................................................................ 93 
7.5. Оценка дисперсии и среднеквадратичного отклонения 
............................... 97 
7.6. Оценка коэффициентов асимметрии и эксцесса 
........................................... 97 
7.7. Исключение промахов из выборки 
................................................................. 98 
7.8. Оценка закона распределения случайных величин ...................................... 99 
7.9. Использование критериев согласия при идентификации закона  
распределения случайной величины ................................................................... 104 
7.10. Оценка ковариации и коэффициента корреляции по выборке  
случайных величин ............................................................................................... 106 
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ .............................................................................. 107 
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 
.................................................................. 110 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5 

ВВЕДЕНИЕ 

Моделирование широко применяется при проектировании систем различного назначения, где важными являются процессы принятия эффективных решений на основе получаемой информации. Оно позволяет существенно сэкономить 
как на времени проектирования, так и на затратах, необходимых для его реализации, облегчить решения задач синтеза и анализа проектируемых систем. 
При моделировании систем, как правило, на вход их моделей подаются 
случайные величины или их последовательности с различными законами плотности распределения вероятности. Их основой при моделировании являются 
случайные числа с равномерным законом распределения, для получения которых 
обычно применяются программные генераторы псевдослучайных последовательностей, в основе которых лежат различные методы. Важным аспектом при 
этом является получение не только абсолютно случайных величин, но и необходимость создавать воспроизводимые последовательности псевдослучайных величин.  
К сожалению, на практике генерируемые различными методами исходные 
случайные величины не всегда удовлетворяют равномерному закону распределения плотности распределения вероятности. Следовательно, и формируемые с 
их помощью случайные величины с различными законами плотности распределения вероятности будут также не удовлетворять требуемым распределениям. В 
пособии предлагается для этого использовать новые методы моделирования последовательностей случайных величин заданной размерности с практически 
«идеальными» законами распределения плотностей распределения вероятности. 
Пособие состоит из 7 глав и введения. В первой главе приведены общие 
сведения о моделировании систем. Вторая и третья главы посвящены вероятностному описанию случайных величин и их законов распределения. Основное 
внимание в пособии отведено методам и алгоритмам моделирования после- 
довательностей случайных величин с равномерным законом распределения 
(глава 4), произвольной (глава 5) и заранее заданной размерности (глава 6). 
6 

Заключительная глава пособия посвящена оценке качества моделирования случайных величин. 
Учебное пособие не претендует на полноту изложения, но дает определенные сведения, необходимые студентам и специалистам при моделировании случайных величин и исследовании различных систем.  
 
 
7 

1. МОДЕЛИРОВАНИЕ СИСТЕМ 

1.1. Математическое моделирование 
 
Математическое моделирование – это средство изучения реального объекта, процесса или системы путем их замены математической моделью, более 
удобной для экспериментального исследования с помощью ПК. 
Математическая модель является приближенным представлением реальных объектов, процессов или систем, выраженным в математических терминах 
и сохраняющим существенные черты оригинала. Математические модели в количественной форме, с помощью логико-математических конструкций, описывают основные свойства объекта, процесса или системы, его параметры, внутренние и внешние связи. 
 
ʣ௜ ሺܺǡ ܻǡ ܼǡ ݐሻൌͲǡ 
 
где ܺൌሾݔଵǡ ݔଶǡ ǥ ǡ ݔேሿ் Ȃ  ˅ˈˍ˕ˑ˓ ˅˘ˑˇː˞˘ ˒ˈ˓ˈˏˈːː˞˘; ܻൌሾݕଵǡ ݕଶǡ ǥ ǡ ݕேሿ்െ
 ˅ˈˍ˕ˑ˓ ˅˞˘ˑˇː˞˘ ˒ˈ˓ˈˏˈːː˞˘Ǣ  ܼൌሾݖଵǡ ݖଶǡ ǥ ǡ ݖேሿ் – вектор внешних переПостроение математической модели заключается в создании математичеменных; ݐ – координата времени. 
ского аппарата, позволяющего выразить количественно и качественно связь 
между теми или иными процессами и явлениями, между интересующими специалиста физическими величинами, и факторами, влияющими на конечный результат. 
В основном таких факторов оказывается настолько много, что ввести их 
все в модель не удается. При построении математической модели перед исследованием стоит задача выявления и исключения из рассмотрения факторы, практически не влияющие на конечный результат (математическая модель обычно 
включает значительно меньшее число факторов, чем в реальной действительности). На основе данных эксперимента выдвигаются гипотезы о связи между 
8 

величинами, выражающими конечный результат, и факторами, введенными в 
математическую модель. Такая связь представляется системами дифференциальных уравнений в частных производных (например, в задачах механики твердого 
тела, жидкости и газа, теории фильтрации, теплопроводности, теории электростатического и электродинамического полей). 
Конечной целью этого этапа является формулирование математической задачи, решение которой с необходимой точностью выражает результаты, интересующие специалиста. 
По виду входной информации модели бывают дискретные и непрерывные. 
Если информация и параметры являются непрерывными, а математические связи 
устойчивы, то модель – непрерывная. И наоборот, если информация и параметры – дискретны, а связи неустойчивы, то и математическая модель является 
дискретной. 
В зависимости от характера исследуемых реальных процессов и систем математические модели могут быть детерминированные и стохастические. 
В детерминированных моделях предполагается отсутствие всяких случайных воздействий, элементы модели (переменные, математические связи) достаточно точно установлены, можно точно определить поведение системы. При 
создании детерминированных моделей чаще всего используют алгебраические 
уравнения, интегральные уравнения, матричную алгебру. 
Стохастическая модель учитывает случайный характер процессов в исследуемых объектах и системах, который описывается методами теории вероятности и математической статистики. 
 
1.2. Имитационное моделирование 
 
По принципам построения математические модели разделяют на аналитические и имитационные. 
В аналитических моделях поведение реальных процессов и систем задается в виде явных функциональных зависимостей (уравнений линейных или 
9 

нелинейных, дифференциальных или интегральных, систем этих уравнений). 
Однако возможность составить такие зависимости есть только для сравнительно 
простых процессов и систем. Когда явления многообразны и сложны, приходится упрощать представления сложных процессов и систем. В результате создаваемая аналитическая модель получается слишком грубым приближением к реальности. Если все же для сложных процессов и систем получается создать аналитическую модель, то, как правило, они превращаются в трудно разрешимую 
задачу. Поэтому существует необходимость прибегать к использованию имитационного моделирования. 
Имитационное моделирование представляет собой численный метод 
проведения на ПК вычислительных экспериментов с математическими моделями, имитирующими поведение реальных объектов, процессов и систем во времени в течение заданного периода. При этом функционирование системы разбивается на элементарные явления, подсистемы и модули. Функционирование этих 
элементарных явлений, подсистем и модулей описывается набором алгоритмов, 
которые имитируют элементарные явления с сохранением их логической структуры и последовательности протекания во времени. 
Достоинства имитационного моделирования: 
 высокий уровень детализации при описании поведения элементов процессов и систем; 
 параметры имитационного моделирования и состояние внешней среды 
реальных процессов и систем не имеют ограничений между собой; 
 появляется возможность исследования динамики изменения параметров 
системы в пространстве и времени. 
Благодаря своим достоинствам имитационное моделирование получило 
широкое распространение: 
1. В случае отсутствия законченной постановки задачи исследования и не 
законченном процессе изучения моделируемого объекта. В таком случае имитационная модель используется для изучения процесса. 
10