Основы метода конечных элементов в прочностных расчетах

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Е. Г. Макаров 
 
 
ОСНОВЫ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ 
В ПРОЧНОСТНЫХ РАСЧЕТАХ 
 
Учебное пособие 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Москва    Вологда 
«Инфра-Инженерия» 
2024 
 

УДК 539.4:519.6 
ББК 30.121 
М15 
 
 
 
 
Рецензент: 
кандидат физико-математических наук, доцент кафедры «Механика деформирования 
твердого тела» БГТУ-Военмех (г. Санкт-Петербург) Красильников А. З. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Макаров, Е. Г. 
М15  
Основы метода конечных элементов в прочностных расчетах : учебное пособие / Е. Г. Макаров. - Москва ; Вологда : Инфра-Инженерия, 
2024. - 164 с. : ил., табл. 
ISBN 978-5-9729-1911-6 
 
Основное внимание уделено понятиям о методе конечных элементов, 
алгоритму выполняемых операций и практическим действиям по применению МКЭ к решению прочностных задач. При выводе основных формул описывается в основном алгоритм расчёта.  
Для студентов, инженеров и научных сотрудников. 
 
УДК 539.4:519.6 
ББК 30.121 
 
 
 
 
 
 
 
 
ISBN 978-5-9729-1911-6 
” Макаров Е. Г., 2024 
 
” Издательство «Инфра-Инженерия», 2024 
 
” Оформление. Издательство «Инфра-Инженерия», 2024
 

ОГ
ЛАВЛЕНИЕ 
ПРЕДИСЛОВИЕ 
.......................................................................................................... 6 
О МЕХАНИКЕ ДЕФОРМИРОВАННОГО ТВЁРДОГО ТЕЛА 
.............................. 7 
ГЛАВА 1. ВВЕДЕНИЕ В МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ 
........................... 8 
1.1. Обозначения матриц и матричных операций ................................................. 8 
1.2. Понятие о методе конечных элементов (МКЭ) 
.............................................. 9 
 
ГЛАВА 2. РАСЧЁТ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ МКЭ 
........................................... 11 
2.1. Закон Гука для внешних сил .......................................................................... 11 
2.2. Основные положения расчёта ........................................................................ 13 
2.2.1. Основная идея расчёта .............................................................................. 13 
2.2.2. Матрица жесткости плоского стержневого элемента 
............................ 15 
2.2.3. Матрица жесткости произвольно ориентированного элемента ........... 16 
2.2.4. Матрица индексов ..................................................................................... 18 
2.2.5. Матрица жесткости стержневой системы 
............................................... 20 
2.2.6. Формирование вектора сил системы ....................................................... 21 
2.27 Учет граничных условий .......................................................................... 23 
2.2.8. Решение основного уравнения МКЭ ....................................................... 25 
2.2.9. Дополнительные расчёты ......................................................................... 25 
2.2.10. Функции формы 
....................................................................................... 26 
2.2.11. Порядок расчета стержневой системы матричным методом 
.............. 28 
 
ГЛАВА 3 ДИНАМИКА И УСТОЙЧИВОСТЬ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ ....... 30 
3.1. Потенциальная энергия упругой деформации ............................................. 30 
3.2. Уравнение движения системы с n степенями свободы ............................... 31 
3.3. Определение матрицы масс [M] и матрицы демпфирования [H] 
............... 32 
3.4. Определение собственных частот системы с n степенями свободы 
.......... 36 
3.5. Вынужденные колебания системы с n степенями свободы 
........................ 38 
3.6. Устойчивость стержневых систем 
................................................................. 40 
 
ГЛАВА 4. МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ДЛЯ ПЛОСКИХ  
И ОБЪЁМНЫХ ТЕЛ ................................................................................................. 44 
4.1. Тензоры и векторы напряжений и деформаций 
........................................... 44 
4.2. Целевая функция для плоских и объёмных тел ........................................... 46 
3 

ГЛАВА 5. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ ........................ 50 
5.1. Теория деформаций 
......................................................................................... 50 
5.1.1. Геометрические уравнения Коши 
............................................................ 52 
5.2. Теория напряжений ......................................................................................... 54 
5.2.1. Равновесие элементарного тетраэдра. Тензор напряжений 
.................. 54 
5.2.2. Дифференциальные уравнения равновесия Навье 
................................. 57 
5.2.3. Матричный дифференциальный оператор ............................................. 59 
5.2.4. Главные напряжения и главные деформации 
......................................... 61 
5.3. Связь между напряжениями и деформациями ............................................. 65 
5.3.1. Физические уравнения теории упругости 
............................................... 66 
5.4. Виды напряженного состояния 
...................................................................... 70 
5.5. Уравнения теории упругости для частных случаев нагружения ............... 71 
5.5.1. Плоское напряженное состояние ............................................................. 72 
5.5.2. Плоское деформированное состояние 
..................................................... 72 
5.5.3. Осесимметричное нагружение ................................................................. 73 
 
ГЛАВА 6. МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ  
ДЛЯ РАСЧЁТА ПЛОСКИХ И ОБЪЁМНЫХ ТЕЛ ................................................ 74 
6.1. Формирование матрицы жесткости элемента .............................................. 74 
6.2. Требования к функциям формы 
..................................................................... 75 
6.3. Определение функций формы треугольного элемента ............................... 76 
6.4. Матрица жесткости треугольного элемента 
................................................. 78 
6.5. Порядок решения плоской задачи теории упругости методом  
конечных элементов 
............................................................................................... 80 
6.6. Использование сложных конечных элементов ............................................ 82 
6.6.1. Виды элементов ......................................................................................... 82 
6.6.2. Функции формы сложных элементов 
...................................................... 83 
6.6.3 Естественная система координат ............................................................. 84 
6.6.4. Расчет коэффициентов жесткости ........................................................... 85 
6.6.5. Использование четырехугольного квадратичного элемента ................ 86 
6.6.6. Треугольный конечный элемент 
.............................................................. 88 
6.6.7. Сравнение линейной и квадратичной функций формы ........................ 88 
 
ГЛАВА 7. ОБЩИЙ ПОДХОД К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ МКЭ  
НА ПРИМЕРЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ПУАССОНА 
...................................... 91 
7.1. Кручение стержня произвольного поперечного сечения 
............................ 91 
7.2. Общий подход к решению задач методом конечных элементов (МКЭ) 
... 92 
7.3. Решение уравнения Пуассона методом конечных элементов .................... 95 
4 

ГЛАВА 8. УПРУГОПЛАСТИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА 
................................................. 99 
8.1. Основные законы теории пластичности ....................................................... 99 
8.1.1. Законы упругого изменения объема и формы тела ............................... 99 
8.1.2. Законы теории пластичности ................................................................. 101 
8.2. Условие пластичности .................................................................................. 106 
8.3. Физические уравнения теории пластичности ............................................ 107 
8.4. Решение упругопластической задачи МКЭ 
................................................ 108 
 
ГЛАВА 9. РАСЧЁТ НА ПОЛЗУЧЕСТЬ МЕТОДОМ КОНЕЧНЫХ 
ЭЛЕМЕНТОВ .......................................................................................................... 114 
9.1. Кривые ползучести 
........................................................................................ 115 
9.2. Характеристики ползучести ......................................................................... 119 
9.3. Расчёт на ползучесть методом конечных элементов 
................................. 121 
 
ГЛАВА 10. ЗНАКОМСТВО С ANSYS ................................................................. 122 
10.1. Основные возможности ANSYS ................................................................ 123 
10.1.1. Область применения 
.............................................................................. 123 
10.1.2. Структура ANSYS и последовательность расчета 
............................. 124 
10.1.3. Создание геометрической модели ....................................................... 125 
10.1.4. Подготовка к расчету ............................................................................ 126 
10.1.5. Проведение расчета ............................................................................... 135 
10.1.6. Просмотр результатов расчета ............................................................. 135 
 
ГЛАВА 11. ПРИМЕРЫ РАСЧЁТОВ В ANSYS ................................................... 139 
 
ГЛАВА 12. ОБЗОР ГЛАВНОГО В КНИГЕ 
.......................................................... 152 
 
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ ............................................... 160 
5 

ПРЕДИСЛОВИЕ 
Книга посвящена изучению Метода конечных элементов на примере расчетов на прочность и жесткость твердых тел. 
Предлагаемое пособие по Методу конечных элементов (МКЭ) предназначено для студентов, уже изучивших курс Сопротивления материалов, инженеров и научных сотрудников.  
Основное внимание в пособии уделено основным понятиям о методе конечных элементов, алгоритму выполняемых операций и практическим действиям по применению МКЭ к решению прочностных задач. 
ПРИМЕЧАНИЕ 
При выводе основных формул описывается в основном алгоритм расчёта. 
Подробные выводы формул, как правило, опущены. Посмотреть подробные выводы можно в книге Е. Г. Макарова «Сопротивление материалов с 
использованием вычислительных комплексов», книга I, изд-во «Высшая 
школа» 2011 год.  
В книге постоянно приводятся ссылки на соответствующие разделы этой 
книги, обозначенные [1]. 
infra-e.ru 
Адрес-ссылка на яндекс-диск: https://disk.yandex.ru/d/Q0neN4AO16sshQ. 
С этого же сайта рекомендуется скачать курсовую работу «Расчет 
стержневой системы методом конечных элементов в Mathcad и в 
ANSYS», а также «Подробное описание всех возможностей Mathcad», содержащее электронную книгу с программами решения 70 примеров расчётов в Mathcad. Сам Mathcad можно скачать там же (файл ABC). 
Все примеры в книге и их рисунки сделаны в программе Mathcad 15. Эта 
программа проста (как слышится, так и пишется). Быстро изучить её можно с 
помощью скачанной с сайта электронной книги. Настоящему инженеру для 
всевозможных расчётов надо использовать Mathcad и ANSYS. Фактически в 
книге примеры в Mathcad - это решение задачи в ANSYS в разрезе. 
6 

О МЕХАНИКЕ ДЕФОРМИРОВАННОГО ТВЁРДОГО ТЕЛА 
Механика деформированного твёрдого тела (МДТТ) изучает поведение 
твёрдых тел произвольной формы под действием внешних нагрузок. А именно, 
изучает связь перемещений, деформаций и напряжений с внешними нагрузками, температурой и временем. 
В сопротивлении материалов эта задача решалась в упругой постановке 
применительно к длинным и тонким стержням. Были получены простые инженерные формулы для расчёта напряжений и перемещений. 
Для тел произвольной формы формулы сопротивления материалов несправедливы. В механике деформированного твёрдого тела для решения поставленной задачи рассматривается поведение элементарного объёма тела. Для 
него составлены дифференциальные уравнения теории упругости, связывающие перемещения, деформации и напряжения в произвольной точке тела с 
внешними нагрузками: 
 геометрические уравнения - связь деформаций с перемещениями  
(6 уравнений); 
 физические уравнения - связь напряжений с деформациями (6 уравнений); 
 уравнения равновесия - связь напряжений с внешними нагрузками 
(3 уравнения). 
Для решения поставленной задачи необходимо решить системы из  
15 дифференциальных уравнений путем интегрирования по объёму произвольного тела. В общем виде такая задача не может быть решена аналитически. Она 
решается численным методом конечных элементов (МКЭ). 
С помощью МКЭ можно (приближенно с достаточной для практики точностью) решить абсолютно все задачи прочности твердых тел. 
Алгоритм МКЭ универсальный и применяется для решения сложных задач в общей постановке в различных областях знаний. 
Основная цель книги изучение метода конечных элементов в задачах 
прочности и жёсткости изделий различной формы. 
Необходимые для расчёта уравнения теории упругости будут рассмотрены по мере их использования в МКЭ. 
Кроме упругой деформации изделий будет рассмотрен учёт упругопластической деформации, которая присутствует в конструкциях и механизмах, но 
в отличие от обработки металлов давлением, не бывает большой. 
Также будет рассмотрено влияние времени эксплуатации изделия на 
напряжения, деформации и перемещения конструкции, то есть ползучесть материалов.
7 

ГЛАВА 1. ВВЕДЕНИЕ В МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ 
1.1. Обозначения матриц и матричных операций 
В предлагаемом курсе во всех разделах будут использоваться матричные 
вычисления. Введём условные обозначения матриц и матричных операций. 
>
@
М  - прямоугольная матрица, 
^ `
V  - матрица-столбец (вектор чисел), 
« »
¬ ¼
V
 - матрица-строка, 
>
@
T
M
 - транспонированная матрица, 
>
@
1

M
 - обратная матрица. 
M
M
M
Правило перемножения матриц >
@ >
@ >
@
1
2
3
˜
 
m
n n
k
m
k
. Внутренние индексы 
u
u
u
должны быть одинаковые, то есть число столбцов первой матрицы должно 
быть рано числу строк второй матрицы. Таким образом, при умножении переставлять матрицы нельзя 
ПРИМЕЧАНИЕ 
Правило перемножения матриц легко запомнить фразой «строка на 
столбец»: чтобы получить очередной элемент матрицы-произведения, 
нужно «умножить» строку первой матрицы на столбец второй, то есть 
брать поочерёдно элементы строки и столбца, перемножать их и потом 
всё это просуммировать.  
Произведение прямой матрицы на обратную равно единичной матрице 
(эквивалент умножения на единицу в матричном исчислении).  
1
0
0
0

0
1
0
0
M
M
E
. 
>
@ >
@
> @
1
0
0
1
0
0
0
0
1
ª
º
«
»
«
»
˜
 
 «
»
«
»
¬
¼
Произведение столбца на строку даёт матрицу.  
T
V
V
V
V
M
^ `
>
@
m
m
m
m
.  
˜
 
u
 
« »
¬ ¼
u
u
u
1 1
 
 
8 

Произведение строки на столбец даёт число. 
GT
V
V
V
V
число
^ `
m m
. 
˜
 
˜
 
« »
¬ ¼
u
u
u
1
1
1 1
1.2. Понятие о методе конечных элементов (МКЭ) 
Задачи, решаемые МКЭ 
Методом конечных элементов можно решать задачи теории поля, то есть 
задачи, в которых определяемые переменные величины непрерывно распределены в заданной области пространства. Например: 
1) прочностные задачи - определение распределения перемещений, деформаций, напряжений внутри детали; 
2) температурные задачи - распределения температуры в пространстве и 
во времени; 
3) задачи состояния жидкости и газа - распределение перемещений, скоростей и ускорения в зависимости от давления; 
4) задачи электрического и магнитного полей; 
5) связанные задачи, например, учёт температурных напряжений в прочностных расчётах; 
6) задачи оптимизации и другие; 
7) подробно метод конечных элементов можно изучить в книгах Сегерлинда Л. [5] и Зенкевича Д. [6]. 
Основная идея МКЭ 
Заданную систему дифференциальных уравнений (целевую функцию) заменить системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) 
> @ ^ ` ^ `
˜
 
A
X
B , где > @
A  - матрица коэффициентов, ^ `
X - вектор неизвестных, 
^ `
B  - вектор правых частей уравнений. 
В прочностных задачах эта система уравнений записывается как 
 
> @ ^ ` ^ `
˜ '  
K
F  - основное уравнение МКЭ. 
(1.1) 
Здесь > @
K  - матрица жёсткости, ^ `
'  - вектор узловых перемещений,  
^ `
F  - вектор сил. 
Коэффициенты СЛАУ это сложные интегральные выражения, но для всех 
видов задач МКЭ они уже определены и введены в состав вычислительных 
комплексов. 
9 

Порядок расчёта любой задачи МКЭ 
1. Заданную область (тело) разбить на стандартные конечные элементы. 
2. Для каждого узла (вершины) каждого элемента записать основное 
уравнение МКЭ > @ ^ ` ^ `
˜ '  
K
F . 
3. Объединить все уравнения в единую систему уравнений и решить её с 
учётом граничных условий. 
4. Зная величину неизвестных в узлах, найти их значения в произвольной 
точке рассматриваемой области (тела) с помощью уравнения связи  
 
^ ` > @ ^ `
 
˜ '
u
N
, 
(1.2) 
где  ^ `
u  - значения неизвестной в произвольной точке конечного элемента,  
> @
N  - матрица функций формы (уравнения аппроксимации неизвестной),  
^ `
'  - вектор узловых значений неизвестной, найденный по уравнению 
(1.1). 
5. Найти величины, связанные с неизвестной, теоретическими зависимостями, например, зная перемещения, найти деформации и напряжения. 
10