Методы математической обработки данных

Е. Н. Бобонова  
МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ОБРАБОТКИ ДАННЫХ 
Учебное пособие 
Москва    Вологда 
«Инфра-Инженерия» 
2024 

УДК 519.25 
ББК 22.1 
Б72 
Р е ц е н з е н т ы :  
доктор физико-математических наук, профессор, профессор Воронежского  
государственного университета Шашкин Александр Иванович; 
кандидат технических наук, доцент Воронежского государственного  
педагогического университета Кубряков Евгений Анатольевич 
Бобонова, Е. Н. 
Б72  
Методы математической обработки данных : учебное пособие / 
Е. Н. Бобонова. - Москва ; Вологда : Инфра-Инженерия, 2024. - 116 с. : ил., 
табл. 
ISBN 978-5-9729-1897-3 
Показаны математические методы обработки информации в дискретной форме. Пособие построено на концепции интеграции предметных областей математики и информатики. Рассмотрены элементы теории множеств и отношений, элементы комбинаторики, вероятностные методы обработки данных. 
Для студентов высших учебных заведений гуманитарного профиля, 
изучающих дискретную математику, математическую статистику и смежные дисциплины.  
УДК 519.25 
ББК 22.1 
ISBN 978-5-9729-1897-3 
” Бобонова Е. Н., 2024 
” Издательство «Инфра-Инженерия», 2024 
” Оформление. Издательство «Инфра-Инженерия», 2024 

СОДЕРЖАНИЕ 
Введение ……………………………………………………… 
................................. 5 
Глава 1. Данные. Использование математического языка  
для записи и обработки данных ............................................................................. 7 
1.1. Использование математического языка для записи и обработки данных  
..... 7 
1.1.1. Аксиоматический метод как основа  
построения математических теорий  ...................................................... 7 
1.1.2. Математическое моделирование как один  
из основных методов познания  .............................................................. 8 
1.2. Математические средства представления данных  
в виде знаковых информационных моделей  ................................................. 11 
1.2.1. Формулы 
................................................................................................... 11 
1.2.2. Таблицы 
.................................................................................................... 11 
1.2.3. Графики .................................................................................................... 14 
Глава 2. Элементы теории множеств и отношений.  
Теоретико-множественные основы математической обработки данных ... 16 
2.1. Понятие множества ............................................................................................ 16 
2.2. Основные определения теории множеств ....................................................... 19 
2.3. Операции над множествами 
.............................................................................. 22 
2.4. Свойства операций над множествами 
.............................................................. 25 
2.5. Мощность конечных множеств ........................................................................ 27 
2.6. Прямое произведение множеств 
....................................................................... 29 
2.7. Понятие «отношение». Бинарные отношения 
................................................. 29 
2.8. Операции над отношениями ............................................................................. 32 
2.9. Свойства отношений .......................................................................................... 35 
2.10. Инвариантность отношений. Отношение эквивалентности и порядка ...... 38 
Глава 3. Элементы комбинаторики.  
Комбинаторные методы обработки данных ...................................................... 40 
3.1. Правило суммы и произведения…………. ...................................................... 40 
3.2. Размещения без повторений ………………………………. ........................... 42 
3.3. Перестановки без повторений ………………………………… ..................... 43 
3.4. Сочетания без повторений ................................................................................ 43 
3.5. Размещения, сочетания и перестановки с повторениями .............................. 44 
Глава 4. Основные понятия теории вероятностей.  
Вероятностные методы обработки данных 
........................................................ 46 
3 

4.1. Алгебра событий ………………………………………………. ...................... 46 
4.2. Условная вероятность. Независимые события.  
 Формулы полной вероятности и вероятности гипотез .................................. 49 
4.3. Случайные величины и функции распределения ........................................... 51 
4.4. Типичные законы распределения ..................................................................... 53 
4.5. Числовые характеристики случайных величин .............................................. 55 
4.6. Многомерные случайные величины. Случайные функции  .......................... 57 
4.7. Закон больших чисел ......................................................................................... 62 
4.8. Центральная предельная теорема и ее следствия ........................................... 63 
Глава 5. Элементы математической статистики.  
Статистические методы обработки данных ...................................................... 65 
5.1. Основные понятия математической статистики …… 
.................................... 65 
5.2. Эмпирическая функция распределения ……… .............................................. 67 
5.3. Гистограмма …………………………………………… .................................. 68 
5.4. Коррелированные величины …………………………… 
................................ 69 
5.5. Количественный и описательный анализ … ................................................... 71 
5.6. Общая характеристика выборочного метода …… ......................................... 73 
5.6.1. Общее понятие о выборочном методе .................................................. 73 
5.6.2. Области применения выборочного метода  
в исторических исследованиях ………… 
............................................. 74 
5.6.3. Виды выборочного изучения …………………… ................................ 75 
5.7. Анализ взаимосвязей …………… .................................................................... 78 
Глава 6. Элементы алгебры логики.  
Использование логических законов при работе с данными .......................... 83 
6.1. Алгебра высказываний ………………………………………… ..................... 84 
6.2. Логические операции над высказываниями ………………… 
....................... 85 
6.3. Формулы алгебры логики и вычисление их значений …… .......................... 89 
6.4. Логические законы и правила преобразования логических выражений 
...... 91 
6.5. Булевы переменные и булевы функции …………… 
...................................... 94 
6.6. Решение логических задач …………………………… ................................... 96 
Глава 7. Элементы теории графов. Методы решения задач  
как средство обработки и интерпретации данных 
......................................... 103 
7.1. Граф и его виды …………………………………………… 
........................... 103 
7.2. Путь в графе. Цикл ……………………………………… 
.............................. 106 
7.3. Связные графы ……………………………………………… ........................ 107 
7.4. Способы задания графов ……………………………… ................................ 108 
7.5. Деревья ……………………………………………………… 
......................... 109 
7.6. Изоморфные графы. Понятие плоского графа. Формула Эйлера  .............. 110 
Список использованных источников и литературы …………… ................ 115 
4 

 
 
ВВЕДЕНИЕ 
 
XXI в. ставит новые задачи перед современным специалистом, произошло 
бурное развитие технологий, особенно информационных. Существенно увеличились поток информации, скорость ее распространения, появились новые способы обмена информацией. Все это определяет необходимость для специалиста 
с высшим образованием владеть новыми информационными технологиями  
и уметь их применять в своей профессиональной деятельности. 
Нужно развивать навыки, необходимые в современной жизни и в профессии. Особенно важно умение учиться, так как оно формирует все остальные компетенции и умения, оно же диктует и необходимость качественного базового образования, общекультурных и общепрофессиональных компетенций. Качество 
базового образования, в свою очередь, определяет успешность всего дальнейшего обучения. Одни из самых востребованных навыков - это технологические, 
под которыми подразумеваются информационно-коммуникационные технологии, которые позволяют работать с различными видами данных. 
Данные, компьютерные информационные технологии наряду с материалами, энергией и капиталом являются стратегическими ресурсами государства, 
организаций, предприятий. Данные - это продукт, который можно купить и продать. Данные - важный элемент деятельности, предопределяющий развитие, координацию, контроль и распределение других ресурсов.  
Любой образованный человек, тем более специалист высшей квалификации, вне зависимости от его конкретной естественнонаучной или гуманитарной 
специальности должен иметь достаточно содержательное представление о методах обработки данных, в том числе и математических. 
Современный специалист должен уметь принимать обоснованные решения, 
поэтому он должен владеть методами математической обработки данных. 
Предложенное учебное пособие направлено на: 
x формирование системы знаний и умений, связанных с представлением 
информации с помощью математических средств; 
x актуализацию межпредметных знаний, способствующих пониманию 
особенностей представления и обработки информации средствами 
математики; 
x ознакомление с основными математическими моделями и типичными 
для соответствующей предметной области задачами их использования; 
x формирование системы математических знаний и умений, необходимых 
для понимания основ процесса математического моделирования и 
статистической обработки информации в профессиональной области;  
x обеспечение условий для активизации познавательной деятельности 
студентов и формирования у них опыта математической деятельности 
5 
 

в ходе решения прикладных задач, специфических для области их 
профессиональной деятельности; 
x  стимулирование самостоятельной, деятельности по освоению содержания дисциплины и формированию необходимых компетенций.  
6 

 
 
ГЛАВА 1. ДАННЫЕ.  
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ЯЗЫКА 
ДЛЯ ЗАПИСИ И ОБРАБОТКИ ДАННЫХ 
 
1.1. Использование математического языка для записи  
и обработки данных  
 
1.1.1. Аксиоматический метод как основа построения 
 математических теорий 
 
Создание дедуктивного, или аксиоматического, метода построения науки является одним из величайших достижений математической мысли. Оно потребовало 
работы многих поколений ученых. 
 
Основные черты дедуктивного метода 
Замечательной чертой дедуктивной системы изложения является простота 
этого построения, позволяющая описать его в немногих словах. 
Дедуктивная система изложения сводится к: 
1)перечислению основных понятий; 
2)изложению определений; 
3)изложению аксиом; 
4)изложению теорем; 
5)доказательству этих теорем. 
Аксиома - утверждение, принимаемое без доказательств. 
Теорема - утверждение, вытекающее из аксиом. 
Доказательство - составная часть дедуктивной системы, это есть рассуждение, которое показывает, что истинность утверждения вытекает логически из истинности предыдущих теорем или аксиом. 
Внутри дедуктивной системы не могут быть решены два вопроса:  
1) о смысле основных понятий; 
2) об истинности аксиом.  
Но это не значит, что эти вопросы вообще неразрешимы.  
История естествознания свидетельствует, что возможность аксиоматического построения той или иной науки появляется лишь на довольно высоком 
уровне развития этой науки, на базе большого фактического материала и позволяет отчетливо выявить те основные связи и соотношения, которые существуют 
между объектами, изучаемыми данной наукой. 
Образцом аксиоматического построения математической науки является 
элементарная геометрия. Система аксиом геометрии была изложена Евклидом 
7 
 

(около 300 года до нашей эры) в непревзойденном по своей значимости труде - 
«Начала». Эта система в основных чертах сохранилась и по сей день. 
Основные понятия: точка, прямая, плоскость - основные образы; лежать 
между, принадлежать, движение - основные отношения. 
Элементарная геометрия имеет 13 аксиом, которые разбиты на пять групп.  
В пятой группе одна аксиома - аксиома о параллельных (V постулат Евклида): 
через точку на плоскости можно провести только одну прямую, не пересекающую 
данную прямую. Это единственная аксиома, вызывавшая необходимость доказательства. Попытки доказать пятый постулат занимали математиков более двух тысячелетий, вплоть до первой половины XIX века, то есть до того момента, когда 
Николай Иванович Лобачевский показал в своих трудах полную безнадежность 
этих попыток. В настоящее время недоказуемость пятого постулата является 
строго доказанным математическим фактом. 
Аксиому о параллельных Н. И. Лобачевский заменил другой аксиомой: пусть 
в данной плоскости дана прямая и лежащая вне прямой точка. Через эту точку 
можно провести к данной прямой, по крайней мере, две параллельные прямые. 
Из новой системы аксиом Н. И. Лобачевский с безупречной логической 
строгостью вывел стройную систему теорем, составляющих содержание  
неевклидовой геометрии. Обе геометрии Евклида и Лобачевского, как логические системы равноправны. 
Три великих математика: Николай Иванович Лобачевский, Карл Фридрих 
Гаусс, Янош Больяй - в XIX веке почти одновременно независимо друг от друга 
пришли к одним результатам - недоказуемости пятого постулата и к созданию 
неевклидовой геометрии.  
 
1.1.2. Математическое моделирование как один  
из основных методов познания  
 
В своей деятельности человек повсеместно использует модели, т. е. создает 
образ, копию того объекта, с которым ему приходится иметь дело. Продумывая 
план действий, представляя результат своих действий, человек строит модель на 
уровне мысли. 
Модель - это искусственно созданный объект, дающий упрощенное представление о реальном объекте, процессе или явлении, отражающий существенные стороны изучаемого объекта с точки зрения цели моделирования. 
Моделирование - это построение моделей, предназначенных для изучения 
и исследования объектов, процессов или явлений. 
Объект, для которого создается модель, называют оригиналом или прототипом. Любая модель не является абсолютной копией своего оригинала, она лишь 
отражает некоторые его качества и свойства, наиболее существенные для выбранной цели исследования. При создании модели всегда присутствуют определенные допущения и гипотезы. 
Моделирование - исследование явлений, процессов или систем объектов 
путем построения и изучения их моделей. Это основной способ научного познания. 
8 
 

Объектов моделирования огромное количество. И для того чтобы ориентироваться в их многообразии, необходимо все это классифицировать. Границы 
между моделями различных типов или классов, а также отнесение модели к какому-то типу или классу чаще всего условны. Рассмотрим наиболее распространенные признаки, по которым классифицируются модели: 
x цель использования; 
x область знаний; 
x фактор времени; 
x способ представления. 
По целям использования выделяются модели учебные, опытные, имитационные, игровые, научно-технические. 
По области знаний выделяются модели биологические, экономические, исторические, социологические и т. д. 
По фактору времени разделяются модели динамические и статические. 
Статическая модель отражает строение и параметры объекта, поэтому ее называют также структурной. Она описывает объект в определенный момент времени, дает срез информации о нем. Динамическая модель отражает процесс 
функционирования объекта или изменение и развитие процесса во времени. 
Любая модель имеет конкретный вид, форму или способ представле- 
ния, она всегда из чего-то и как-то сделана или представлена и описана. В этом 
классе прежде всего модели рассматриваются как материальные и нематериальные. 
Материальные модели - это материальные копии объектов моделирования. 
Они всегда имеют реальное воплощение, воспроизводят внешние свойства 
или внутреннее строение либо действия объекта-оригинала. Примеры: глобус - 
модель формы земного шара, кукла - модель внешнего вида человека, робот - 
модель действий человека на вредном производстве. Материальное моделирование использует экспериментальный (опытный) метод познания. 
Нематериальное моделирование использует теоретический метод познания. 
По-другому его называют абстрактным, идеальным. Абстрактные модели,  
в свою очередь, делятся на воображаемые и информационные. 
Информационная модель - это совокупность информации об объекте, 
описывающая свойства и состояние объекта, процесса или явления, а также связи 
и отношения с окружающим миром. 
Информационную модель нельзя потрогать, у нее нет материального воплощения, она строится только на информации. Информационные модели представляют объекты и процессы в образной или знаковой форме. 
Образные модели (рисунки, фотографии и др.) представляют собой зрительные образы объектов, зафиксированные на каком-либо носителе информации 
(бумага, фото, видео и др.). Широко используются образные информационные 
модели в образовании (учебные плакаты по различным предметам) и науках, где 
требуется классификация объектов по их внешним признакам (ботаника, биология, палеонтология и др.). 
9 
 

Знаковые информационные модели строятся с использованием различных 
языков (знаковых систем). Знаковая информационная модель может быть представлена в форме текста (например, программы на языке программирования), 
формулы (например, второй закон Ньютона F = т а), таблицы (например, периодическая таблица элементов Д. И. Менделеева) и т. д. 
Иногда при построении знаковых информационных моделей используются 
одновременно несколько различных языков. Примерами таких моделей могут служить графики, диаграммы и блок-схемы алгоритмов. Во всех этих моделях применяется одновременно как язык графических элементов, так и символьный язык. 
Для представления информационных моделей в той или иной форме используются естественные и формальные языки. 
Естественные языки применяются для построения словесных, описательных 
моделей. Например, различные литературные произведения имеют непосредственное отношение к понятию модели, поскольку фокусируют внимание читателя  
на определенных сторонах человеческой жизни. Естественным языком описывают 
и модели в науке, например, гелиоцентрическая модель мира Коперника. 
Словесные модели могут описывать ситуации, события, происходящие в 
жизни, с целью их осмысления и использования опыта. Со словесного описания 
начинается построение любой модели, так как оно более или менее точно отражает оригинал. При создании словесной модели важно уметь ясно и понятно 
строить фразы, выделять ключевые моменты, правильно пользоваться терминологией, ссылаться на известные исторические факты. 
Инструментом создания словесных моделей в древности были папирус и перья. Потом - типографские станки и пишущие машинки. Сегодня для описания 
словесных моделей используется компьютер, а именно его клавиатура и специальная программа, называемая текстовый редактор, и процессор. 
С помощью формальных языков строятся формальные информационные модели (математические, логические и др.). Одним из самых широко используемых 
формальных языков является математика. Модели, построенные с использованием 
математических понятий и формул, называются математическими моделями. 
Язык математики является совокупностью формальных языков. Некоторые 
из них (алгебра, геометрия, тригонометрия) вы изучили в школе, с другими (теория множеств, теория графов, теория вероятностей и др.) ознакомимся в процессе дальнейшего обучения. 
Язык алгебры позволяет формализовать функциональные зависимости 
между величинами. Так, Ньютон формализовал гелиоцентрическую систему 
мира, открыв законы механики и закон всемирного тяготения и записав их в виде 
алгебраических функциональных зависимостей. В школьном курсе физики рассматривается много разнообразных функциональных зависимостей, выраженных на языке алгебры, которые представляют собой математические модели изучаемых явлений или процессов. 
Язык алгебры логики (алгебры высказываний) позволяет строить формальные логические модели. С помощью алгебры высказываний можно формализовать (записать в виде логических выражений) простые и сложные высказывания, 
10