Матрицы и определители

Л. В. Калиновская, Ю. Л. Калиновский







                МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ





Учебное пособие























Москва Вологда «Инфра-Инженерия» 2024

УДК 512.64
ББК 22.143
     К17



Рецензент: доктор физико-математических наук, ведущий сотрудник Федерального исследовательского центра «Информатика и управление» РАН И. Е. Михайлов












     Калиновская, Л. В.
К17 Матрицы и определители : учебное пособие / Л. В. Калиновская, Ю. Л. Калиновский. - Москва; Вологда : Инфра-Инженерия, 2024. -164 с.: ил., табл.
          ISBN 978-5-9729-1949-9

          Рассматриваются основные понятия, общие приемы и методы работы с матрицами и вычисления определителей различных порядков. Приводится большое число задач, разбираются типичные примеры.
          Для студентов различных направлений и специальностей, которым требуется глубокое изучение курса линейной алгебры.


УДК 512.64
ББК 22.143









ISBN 978-5-9729-1949-9

     © Калиновская Л. В., Калиновский Ю. Л., 2024
                            © Издательство «Инфра-Инженерия», 2024
                            © Оформление. Издательство «Инфра-Инженерия», 2024

                                   ОГЛАВЛЕНИЕ







     1  Матрицы                                                             5
        1.1 Понятие матрицы............................................... 5
        1.2 Основные операции над матрицами и их свойства................. 7
            1.2.1 Равенство двух матриц .................................. 7
            1.2.2 Сумма матриц............................................ 7
            1.2.3 Умножение матрицы на число.............................. 8
            1.2.4 Разность матриц......................................... 9
            1.2.5 Транспонирование матриц................................. 9
            1.2.6 Произведение матриц.................................... 10
        1.3 Некоторые типы матриц........................................ 13

     2  Определители                                                      15
        2.1 Определители второго порядка................................. 15
        2.2 Определители третьего порядка................................ 15
        2.3 Свойства определителей....................................... 16
        2.4 Алгебраические дополнения и миноры........................... 18

     3  Обратная матрица                                                  23

     4  Ранг матрицы                                                      31

     5  Системы линейных уравнений                                        35
        5.1 Системы линейных уравнений. Общие понятия.................... 35
        5.2 Теорема Крамера.............................................. 38
        5.3 Метод последовательного исключения неизвестных............... 40

     6  Решение систем линейных уравнений                                 47
        6.1 Решение системы уравнений 1x2................................ 47
        6.2 Решение системы уравнений 2x2................................ 48
            6.2.1 Метод подстановки...................................... 48
            6.2.2 Метод приравнивания коэффициентов при неизвестных ....  49
            6.2.3 Графический метод...................................... 51
            6.2.4 Правило Крамера........................................ 52
            6.2.5 Метод обратной матрицы ................................ 54
        6.3 Решение системы уравнений 3x3................................ 56

ОГЛАВЛЕНИЕ

            6.3.1 Правило Крамера........................................ 56
            6.3.2 Метод обратной матрицы ................................ 57
            6.3.3 Метод Гаусса........................................... 60
        6.4 Решение системы уравнений т х п ............................. 63

     7  Векторные пространства                                             69
        7.1 п - мерное векторное пространство............................ 69
        7.2 Линейная зависимость векторов................................ 71
        7.3 Конечномерные пространства. Базисы........................... 75
        7.4 Линейные преобразования линейных пространств................. 83
        7.5 Характеристические корни и собственные векторы............... 88
        7.6 Диагонализация матриц, имеющих невырожденные собственные значения ........................................................... 99
        7.7 Степени матриц................................................ 101
            7.7.1 Вычисление степени матрицы с помощью диагонализации матрицы ....................................................... 101
            7.7.2 Вычисление степени матрицы с помощью теоремы Гамильтона - Кэли...................................................... 102
        7.8 Евклидовы пространства...................................... 104
            7.8.1 Скалярное произведение векторов линейного пространства. . 104
            7.8.2 Ортогональные системы. Ортонормированный базис........ 107
        7.9 Ортогональные преобразования евклидовых пространств......... 110
        7.10 Симметрические преобразования евклидовых пространств....... 111
        7.11 Действительные квадратичные формы.......................... 113
        7.12 Приведение квадратичной формы к сумме квадратов............ 116
            7.12.1 Метод Лагранжа....................................... 117
        7.13 Закон инерции квадратичных форм............................ 119
            7.13.1 Закон инерции квадратичных форм...................... 119
            7.13.2 Классификация квадратичных форм...................... 119
            7.13.3 Критерий Сильвестра знакоопределенности квадратичной формы.......................................................... 120

     8  Векторная запись систем уравнений                                121
        8.1 Векторы на плоскости и в пространстве....................... 121
        8.2 Векторный преобразования ................................... 123

     А   Комплексные числа                                               131
        А.1 Понятие комплексного числа.................................. 131
        А.2 Геометрическое изображение комплексных чисел................ 132
        А.З Тригонометрическая форма записи комплексного числа.......... 132
        А.4 Показательная (экспоненциальная) форма записи комплексных чисел. 134
        А.5 Действия над комплексными числами........................... 135
            А.5.1  Сложение комплексных чисел........................... 135
            А.5.2  Вычитание комплексных чисел.......................... 135
            А.5.3  Умножение комплексных чисел.......................... 136
            А.5.4  Деление комплексных чисел............................ 137
            А.5.5  Возведение комплексного числа в степень.............. 137
            А.5.6  Извлечение корня п - ой степени из комплексного числа. . . . 138
        А.6 Примеры решения задач....................................... 138

ОГЛАВЛЕНИЕ

5

     В Решение уравнений                                               141
        В.1 Решение квадратных уравнений...............................141
            В. 1.1 Решение квадратных уравнений с помощью разложения на множители..................................................141
        В.2 Решение квадратных уравнений с помощью дополнения до полного квадрата...................................................... 144
            В.2.1 Решение квадратных уравнений с помощью формулы....... 146
        В.З Теорема Виета............................................. 146
        В.4 Формула сложного радикала................................. 148

     С Решение уравнений третьей и четвертой степени                   151
        С.1 Кубические уравнения.......................................151
            С. 1.1 Нахождение целых решений при помощи разложения на множители ................................................... 152
            С.1.2 Некоторые частные виды уравнений.................... 153
            С.1.3 Возвратные уравнения................................ 153
            С. 1.4 Приведение кубических уравнений к трехчленному виду ... 154
            С.1.5 Сведение трчдчленных кубических уравнений к квадратным уравнениям................................................ 155
            С.1.6 Формула Кардано..................................... 155
        С.2 Биквадратные уравнения.................................... 156
        С.З Возвратные уравнения...................................... 157

ГЛАВА 1______________________________________
I____________________________________МАТРИЦЫ
1.1 Понятие матрицы


  Определение 1.1 Матрицей называется прямоугольная таблица чисел, содержащая некоторое количество т строк и некоторое количество п столбцов.



  Определение 1.2 Числа т и п называются порядками матрицы. В случае, если т = п, матрица называется квадратной, а число т = п - ее порядком.


    Для записи матрицы используются либо сдвоенные вертикальные черточки, либо круглые скобки:

(i = l,2,...,m;/ = 1,2,

Определение 1.3 Числа яу, входящие в состав данной матрицы, называются ее элементами.


    В записи яу первый индекс i означает номер строки, а второй индекс j - номер столбца.

1-я строка
2-я строка

i-я строка  —>

m-я строка —>

( ац  012 •     j
021   022 • • a2j
ап    012 ■ ■ Oij
\ ami ат2 .   amj

t     t          t
У     tr         Д'

ain \
Я2л

Qin

и             О
т-Ч CN               -Л

Матрицы

   В случае квадратной матрицы

                                   < «и ai2 ... а\п >
Й21 «22 ... «2л                        (12


                                   \ «л1  «л2  • - ■ «лл /

вводятся понятия главной и побочной диагоналей.

Определение 1.4 Главной диагональю матрицы называется диагональ яц Я22 • ■ • ат идущая из левого верхнего угла этой матрицы в правый нижний ее угол.



Определение 1.5 Побочной диагональю той же матрицы называется диагональ



яи1 «(л-1)2 • • • «1л > идущая из левого нижнего угла в правый верхний угол.



Диагонали квадратной матрицы


Главная диагональ

Побочная диагональ

Определение 1.6 Квадратная матрица, для которой я₁у- = Яд, называется симметрической.

Пример 1.1 Матрица А = Матричные элементы:

—2
3

- матрица 2x3.

«п = 1, Я12 = —2, Я1з=4, «21 = О, Я22 = 3, Я23 = 8.

Пример 1.2 МатрицаА=( 2 8 6 —12 Матричные элементы:

1 ) - матрица 1x5.

яп = 2, Я12 = 8,

«13 = 6, «14 = —12, «15 = 1.

В общем случае матрица 1 х п называется матрицей - строкой.

Пример 1.3

Матрица А =

( ⁷\ 1
   2
-1
\ з/

- матрица 5x1.

4
8

1.2 Основные операции над матрицами и их свойства

9

   Матричные элементы:

              вц=7, «21 = 1, аз1=2, Я41 = — 1, а51=3.



   В общем случае матрица т х 1 называется матрицей - столбцом.

I 2
Пример 1.4 Матрица А = (

   Матричные элементы:

8 \                        „
1 - квадратная матрица 2x2.

«п = 2, «12 = 8, «21 ⁼ 1? а22 = 3.




1.2 Основные операции над матрицами и их свойства

1.2.1 Равенство двух матриц

Определение 1.7 Две матрицы равны, если эти матрицы имеют одинаковые порядки и все их соответствующие элементы совпадают.


Пример 1.5 Матрицы

равны.

Пример 1.6 Матрицы


не равны: «22 ф bi2
1.2.2  Сумма матриц

Определение 1.8 Суммой двух матриц А = (atj) (i = 1,2,...,т; j = 1,2,...,и) и В = (fey) (i = 1,2,... ,т; j = 1,2,...,п, ) одних и тех же порядков тип называется матрица С = (су) (i = 1,2,... ,т; j = 1,2,... ,п) тех же порядков тип, элементы су которой равны

                  Cij = atj + bij, (i= 1,2,...,m;j = 1,2,...,п).         (1.3)


   Для обозначения суммы двух матриц используется запись С = А+В. Итак, по

Матрицы

определению

 ( ап 012   • • «1л      < fell Ь12 ■ ■ bin  
Л21   022 ■   •   «2л  +    &21 Ь22 ■ ■ Ь2п  
\ &т1 ат2     • &тп       \ Ьт1 Ьт2   • Ьтп /

< (оц+6ц)   (ai2 + bi2)    (ain + bin)
(й21+^21) («22 + ^22)    (в2п+Ь2п)

\  (aₘi + bₘi) (ат2 + Ьт2) ... (&тп + bₘₙ) j

(1-4)

   Из определения суммы матриц, а точнее из формулы (1.4), следует, что операция сложения матриц обладает теми же свойствами, что и операция сложения вещественных чисел:
  1) переместительным свойством: А + В = В + А,
  2) сочетательным свойством: (А + В) + С = А + (В + С).
   Эти свойства позволяют не заботиться о порядке следования слагаемых матриц при сложении двух или большего числа матриц.

Пример 1.7

1 + 5
2 + 2

С=А+В=

-4 \
-3 )
6 -5
4 О

Пример 1.8 А = ( 2 1 >
С=А+В=( ¹~⁵ ) у Z + о у

Пример 1.9 А = ( 1 2 —3 ), В = ( 0 3 4), С=А+В=( 1+0 2 + 3 -3 + 4 ) = ( 1 5 1 ).



1.2.3  Умножение матрицы на число

Определение 1.9 Произведением матрицы А = (ay) (i = 1, 2, ... , m; j = 1,2,... ,и) на вещественное число а называется матрица С = (су) (i = 1,2,... ,т-, j = 1,2,... ,и), элементы су которой равны

                   ctj = aaij (i= 1,2,.= 1,2,...,п).                (1.5)

   Для обозначения произведения матрицы на число используется запись С = аА или С = Аа.
   Умножение матрицы на число обладает следующими свойствами:
  1) сочетательным свойством относительно числового множителя: (ссД)А = а (/ЗА);
  2)  распределительным свойством относительно суммы матриц: сс(А+В) = аА + аВ;
  3)  распределительным свойством относительно суммы чисел: (<х + /3)А = аА + рА.