Математический аппарат квантовой механики. Курс лекций

 
 
 
 
 
А. П. Давыдов  
 
 
 
 
 
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ 
 КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ 
 
 
КУРС ЛЕКЦИЙ 
  
 
 
Учебное пособие 
 
4е издание, исправленное и дополненное  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Москва    Вологда 
«Инфра-Инженерия» 
2024 

УДК 530.145 
ББК 22.31 
Д13 
 
 
Рецензенты: 
профессор кафедры физики и методики обучения физике 
Челябинского государственного педагогического университета, 
доктор физико-математических наук, профессор 
Л. А. Песин; 
заведующий кафедрой радиофизики и электроники  
Челябинского государственного университета, 
доктор физико-математических наук, профессор 
И. В. Бычков; 
заместитель директора РИПОДО 
Челябинского государственного педагогического университета, 
кандидат технических наук, доцент 
Л. Е. Смушкевич 
 
 
 
 
Давыдов, А. П.  
Д13 
 
Математический аппарат квантовой механики. Курс лекций : учебное пособие / А. П. Давыдов. - 4-е изд., испр. и доп. - Москва ; Вологда : 
Инфра-Инженерия, 2024. - 224 с. : ил. 
ISBN 978-5-9729-1988-8 
 
Излагается теоретический материал с учетом его дальнейшего 
применения при изучении как самой квантовой механики, так и других 
дисциплин, связанных с применением теоретической физики. Может 
быть использовано при подготовке к лекционным и практическим занятиям по дисциплинам «Теоретическая физика», «Атомная физика», 
«Квантовая механика».  
Для студентов, изучающих теоретическую физику, по направлению подготовки бакалавриата или специальности специалитета 03.03.02 
«Физика». Может быть полезно студентам, изучающим атомную физику 
в рамках общей физики, а также студентам и аспирантам других направлений и специальностей и всем, кто интересуется вопросами физики. 
 
УДК 530.145 
ББК 22.31 
 
 
 
 
ISBN 978-5-9729-1988-8 
” Давыдов А. П., 2024 
 
” Издательство «Инфра-Инженерия», 2024 
 
” Оформление. Издательство «Инфра-Инженерия», 2024 
2 
 

СОДЕРЖАНИЕ 
 
ПРЕДИСЛОВИЕ 
.......................................................................................... 
6 
1. РОЛЬ ИЗМЕРЕНИЯ И ФИЗИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ  
В КЛАССИЧЕСКОЙ И КВАНТОВОЙ ФИЗИКЕ.  
СВЯЗЬ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ С КЛАССИЧЕСКОЙ .................... 
8 
2. ВЕРОЯТНОСТНОЕ ОПИСАНИЕ СОСТОЯНИЙ ФИЗИЧЕСКИХ 
СИСТЕМ В КВАНТОВОЙ ФИЗИКЕ. ВОЛНОВАЯ ФУНКЦИЯ ......... 
17 
2.1. Общие положения. Стандартные условия .................................. 
17 
2.2. Волновая функция локализованного состояния  
одномерного движения частицы (волновой пакет) 
в начальном состоянии ................................................................. 
20 
3. СВОЙСТВА ГИЛЬБЕРТОВЫХ ПРОСТРАНСТВ 
2
L , 
2
A , Н ........... 
22 
4. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ ................................................................. 
34 
5. ФИЗИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ ........... 
44 
5.1. Постулаты о физических величинах в квантовой механике ..... 
44 
5.2. Пример полного спектра: энергетический спектр электрона 
в атоме водорода .................................................................................. 
54 
6. ПРИНЦИП СУПЕРПОЗИЦИИ............................................................. 
57 
7. ОПЕРАТОРЫ ВАЖНЕЙШИХ ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН 
............ 61 
8. СОСТОЯНИЯ С ОПРЕДЕЛЕННЫМИ  
ЗНАЧЕНИЯМИ ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН 
.......................................... 
67 
9. СООТНОШЕНИЯ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ 
.................................. 69 
10. УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА.  
УРАВНЕНИЕ НЕПРЕРЫВНОСТИ ............................................... 79 
11. ИЗМЕНЕНИЕ СРЕДНИХ ВЕЛИЧИН С ТЕЧЕНИЕМ ВРЕМЕНИ. 
ИНТЕГРАЛЫ ДВИЖЕНИЯ. ТЕОРЕМЫ ЭРЕНФЕСТА ....................... 
83 
12. СТАЦИОНАРНЫЕ СОСТОЯНИЯ .................................................... 
87 
13. ИМПУЛЬСНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ................................................ 
91 
13.1. Импульсное распределение 
........................................................ 
91 
13.2. Операторы в импульсном представлении 
................................. 
96 
3 
 

13.3. Обобщенные собственные функции операторов  
координаты и импульса .............................................................. 
99 
13.4. Уравнение Шредингера в импульсном представлении ......... 
109 
14. СВОБОДНОЕ ДВИЖЕНИЕ ЧАСТИЦЫ 
......................................... 
114 
14.1. Интегралы свободного движения. Плоские волны. 
Соотношения де-Бройля ........................................................... 
114 
14.2. Первые экспериментальные обоснования волновых  
свойств частиц. Основная «формула»  
корпускулярно-волнового дуализма ........................................ 
119 
14.3. Волновая функция локализованного состояния  
одномерного движения частицы (волновой пакет) -  
как функция времени 
................................................................. 
124 
15. МАТРИЧНАЯ ФОРМУЛИРОВКА  
КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ .................................................................. 
131 
15.1. Общие положения матричной формулировки 
............................ 131 
15.2. Операторная единица. Оператор проектирования  ................ 
135 
15.3. Среднее значение физической величины  ............................ 136 
15.4. Некоторые свойства матричного представления  .................. 
138 
15.5. Преобразования матриц при смене представления  
............... 
139 
15.6. Задача на собственные значения  ....................................... 144 
15.7. Энергетическое представление  ................................................ 147 
16. ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ  ..................................... 
149 
17. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА  
И ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ГЕЙЗЕНБЕРГА  ................................................ 
152 
18. МАТРИЦА ПЛОТНОСТИ И СТАТИСТИЧЕСКИЙ  
ОПЕРАТОР ЧИСТОГО СОСТОЯНИЯ  ................................................ 
155 
19. МАТРИЦА ПЛОТНОСТИ И СТАТИСТИЧЕСКИЙ ОПЕРАТОР 
СМЕШАННОГО СОСТОЯНИЯ  ........................................................... 
161 
20. СООТНОШЕНИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ  
ДЛЯ ЭНЕРГИИ И ВРЕМЕНИ  ............................................................... 
167 
20.1. Общие замечания о трактовках и терминологии  
................. 167 
20.2. Трактовки, связанные с измерением энергии  ........................ 169 
20.3. Трактовка Мандельштама и Тамма  ......................................... 172 
20.4. Дисперсионная трактовка соотношения 
неопределенностей для энергии и времени  
............................ 
175 
4 
 

20.4.1. Распределение вероятностей моментов времени 
распада квазистационарной системы .......................... 
176 
20.4.2. Распределение вероятностей энергии  
квазистационарной системы: квазиклассический  
и квантовый подходы  
................................................... 
178 
20.4.3. Основные выводы о распаде квазистационарных систем 
с точки зрения дисперсионной трактовки  
.................. 
182 
ЗАКЛЮЧЕНИЕ  
....................................................................................... 
189 
ДОПОЛНЕНИЕ 1. ДЕЛЬТА-ФУНКЦИЯ ДИРАКА  
......................... 190 
ДОПОЛНЕНИЕ 2. ТРЕХМЕРНЫЙ ВОЛНОВОЙ ПАКЕТ,  
ОПИСЫВАЮЩИЙ СВОБОДНОЕ ДВИЖЕНИЕ  
БЕССПИНОВОЙ НЕРЕЛЯТИВИСТСКОЙ ЧАСТИЦЫ  .................... 
206 
Д 2.1. Волновая функция и характеристики начального состояния 
.... 
206 
Д 2.2. Волновая функция в произвольный момент времени 
............... 208 
Д 2.3. Импульсно-энергетические характеристики .............................. 
209 
Д 2.4. Пространственно-временные характеристики ........................ 212 
 
ДОПОЛНЕНИЕ 3. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО СООТНОШЕНИЯ 
НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ ДЛЯ ЭНЕРГИИ И ВРЕМЕНИ  
В РАМКАХ КВАЗИКЛАССИЧЕСКОГО ОПИСАНИЯ 
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ СИГНАЛОВ И ИЗЛУЧЕНИЯ 
.................... 
215 
 
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК  ................................................... 
219  
5 
 

ПРЕДИСЛОВИЕ 
 
Изложение математического аппарата квантовой механики можно найти во множестве книг и учебных пособий разных авторов, как 
внесших собственный значительный вклад в данную дисциплину, так 
и переработавших обширный материал и изложивших его со своей 
точки зрения, сформированной в результате накопленного опыта преподавания в вузе. Некоторые из них стали, по сути, бестселлерами, 
особенно те, которые были написаны выдающимися физиками, принявшими непосредственное участие в создании квантовой механики. 
Однако для бакалавров конкретного направления подготовки или специальности специалитета всегда будет иметь место необходимость 
избирательного выбора подачи учебного материала с учетом разра- 
ботанной рабочей программы данной дисциплины, используемых  
педагогических методов, степени владения студентами основами общей физики, высшей математики и уже изученных разделов теоре- 
тической физики. Предлагаемое пособие рассчитано для изучения 
квантовой механики студентами по направлению подготовки бакалавриата или специалитета 03.03.02 «Физика». В пособии излагается 
материал с учетом его дальнейшего применения при изучении как самой квантовой механики, так и других дисциплин, связанных с применением теоретической физики. 
В данное пособие не вошли аспекты математического аппарата, 
касающиеся формализма углового момента, которые, по мнению автора, требуют заметно большего объема изложения, связанного с многими смежными, логически связанными вопросами, такими как орбитальный и собственный механический и магнитного моменты системы 
частиц. 
Предлагаемое пособие является четвертым изданием. В нем исправлены замеченные опечатки, скорректированы неточности, сделаны небольшие, но уместные дополнения, в частности, добавлены 
ссылки [47-55] на опубликованные за истекший период научные работы, в которых отражены результаты применения разработанной автором квантовой механики фотона к объяснению интерференционных 
явлений с одиночными фотонами. 
Данное учебное пособие будет полезным при изучении теоретической физики и по другим направлениям подготовки бакалавров. 
6 
 

Также оно рассчитано на изучение квантовой механики в рамках самообразования, поскольку в пособии по возможности приводятся необходимые сведения из математики. В частности, с этой целью в Дополнении I приведены сведения о дельта-функции Дирака, широко применяемой в теоретической физике. 
7 
 

1. РОЛЬ ИЗМЕРЕНИЯ  
И ФИЗИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ 
В КЛАССИЧЕСКОЙ И КВАНТОВОЙ ФИЗИКЕ. 
СВЯЗЬ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ  
С КЛАССИЧЕСКОЙ 
 
Как известно, физическая величина - это величина, измеряемая  
на опыте. Более того, понятие физической величины может возникнуть лишь в процессе измерений. Проследим, каким образом возникает 
это понятие в классической и квантовой физике. 
Измерения производятся, в частности, с целью охарактеризовать те или иные свойства объекта. По результатам таких измерений 
можно попытаться построить некие характеристики самого объекта 
или его состояния. 
Предположим, что мы измеряем некоторую абстрактную клас- 
сическую характеристику F , используя классические средства наб- 
людения (приборы, измерительные устройства и т. п.). Пусть произ- 
ведено N  наблюдений, и получен набор их результатов (выборка) 
1
f , 
2
f , …, 
N
f
. В классической физике, если состояние системы  
после каждого измерения не изменяется (что в принципе допустимо  
и обычно имеет место), то в пределах (так называемой) «прибор- 
ной» погрешности 
f
G
, если F  является реальной измеряемой физической величиной, все результаты 
i
f  должны совпадать: 
1
f = 
=
2
f = … =
N
f
. Причем данное утверждение считается само собой разумеющимся. 
Рассмотрим, однако, его подробнее. В силу ряда причин, на практике результаты 
i
f , как правило, тем не менее, различаются. Если 
учесть, сделав соответствующие поправки, «систематические» ошибки 
измерения и исключить «грубые промахи», то остается еще случайная 
ошибка измерения ǻf. Характеристика F  в таком случае проявляет 
себя как случайная математическая величина f. В качестве ǻf выбирают «оценку среднего квадратичного отклонения» 
f
V  этой случайной 
величины f, равную квадратному корню из оценки дисперсии 
f
D  величины f: 
8 
 

2
2
f
f
f
f

 

{
, 
 (1.1) 
 
' f
 
f
V
f
D


где 
f
D  и (так называемые) выборочные средние f  и 
2
f
 величин f  
и f 2 соответственно равны: 
N
N
N
2
2
1
.  
(1.2) 
i
i
f
f
f
N
D
i
i
f
N
f
i
i
f
N
f
 


¦
 

{
2
1
, 
¦
 
{
1
, 


¦
 
{
1
1
1
Из (1.2) видно, что если значения 
i
f  одинаковы и, следовательно, 
i
f
f
 
, то 
0
 
f
D
. Если же 
i
f  отличаются, что обычно имеет место, 
то, разумеется, 
0
z
f
D
. Но может оказаться, что 
 
f
f
G
d
'
. 
(1.3) 
Тогда можно сказать, что результаты наблюдений 
i
f  совпадают 
в пределах приборной погрешности 
f
G
. В частном случае всего двух 
наблюдений их результаты 
1
f  и 
2
f  можно считать совпадающими, в 
пределах погрешности 
f
G
, если 
 
' f
 
f
V
f
D
f
f
f
G
d

 
2
1
2
1
. 
Однако часто получается вполне заметный разброс результатов 
1
f , 
2
f , …, 
N
f
, такой, что его «ширина» 
f
'
 оказывается больше величины 
f
G
: 
 
f
'
 ! 
f
G
. 
(1.4) 
Тогда неявно предполагается, что какие бы разные значения 
i
f  
не получались в результате наблюдений, каждому значению 
i
f  можно 
сопоставить такое состояние системы, в котором многократное 
наблюдение над характеристикой F  всякий раз будет давать одно и 
то же значение, равное 
i
f  (в пределах 
f
G
). Другими словами, если 
практически учесть все случайно влияющие внешние факторы, то полученная величина 
f
'
 будет удовлетворять неравенству (1.3). В этом 
случае говорят, что величина f в данном состоянии системы имеет 
определенное значение 
i
f . Вместе с этим, полагается, что и некоторая 
абстрактная характеристика F  будет также иметь («с достоверностью») в данном состоянии определенное значение 
i
f . Более того, 
характеристика F  уже приобретает статус физической величины. 
9 
 

При этом вся терминология, приведенная выше по отношению к 
случайной величине f, автоматически переносится на саму физическую 
величину F . В частности, она будет измеряемой, если для каждого 
состояния системы многократное наблюдение этой величины F  даст 
(«с достоверностью»), при учете всех влияющих факторов, одно и то 
же определенное значение f (в пределах приборной погрешности 
f
G
). 
Это означает, что в классической физике, если «все учесть», то для 
любого состояния можно добиться неравенства (1.3), тем самым  
измерив (в этом состоянии) физическую величину F . Результатом 
измерения будет значение 
i
f
f
f
{
 
, где 
N
i
,
...
,
3
,
2
,
1
 
. 
Здесь, однако, возникает необходимость затронуть другой аспект. 
Из только что сказанного ясно, что для того чтобы дать определение 
физической величины, приходится использовать понятие измерения. 
Однако на практике при каждом конкретном наблюдении, прежде чем 
получить результат 
i
f , нужно сравнить наблюдаемое (числовое) значение случайной величины f с некоторым значением – эталоном, – 
принятым за единицу данной физической величины (при прямом измерении). В этом утверждении подразумевается, что, наоборот, первоначально уже как бы существует «готовым» (сформулированным) само 
понятие физической величины, которое используется (в виде единичного, эталонного значения) при выполнении процесса измерения. 
Выход из этой тавтологической ситуации находится в «одновременном» (по существу интуитивном) определении сразу двух поня- 
тий - физической величины и измерения. По сути, во всех метрологических руководствах определение физической величины опирается на 
понятие измерения и, наоборот, само понятие измерения формулируется с использованием уже «готового» понятия физической величины. 
Используя общепринятую терминологию, можно сказать, что понятия физической величины и измерения являются «основными», они 
неразрывно связаны между собой; определить каждое из них в отдельности невозможно. Основные понятия в любой науке всегда взаимосвязаны и имеют философский аспект понимания. В классической физике, на основе длительной практики и исторического опыта, вполне 
надежно установлены как сами (всем известные, традиционные) физические величины, так и их методы измерения. Целесообразность использования тех или иных физических величин в классической физике 
диктуется также и ее внутренней логикой. 
10