Математический анализ

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
dzǧǹǬdzǧǹǯǾǬǸDZǯǰǧǴǧDzǯǮ
 
 
ǺȞȌȈȔȕȌȖȕȘȕȈȏȌ 
 
 
ǶȕȋȗȌȋȖȗȕțȌȘȘȕȗȇǧdzǶȕȖȕȉȇ
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
dzȕȘȑȉȇǩȕȒȕȊȋȇ 
ªǯȔțȗȇ-ǯȔȍȌȔȌȗȏȦ« 
2024 
 

УДК 517 
ББК 22.1 
 
М34 
 
 
 
 
 
 
А в т о р ы :  
Воронин О. И., Жулего В. А., Демидов С. М., Чернецов Р. А., Попов А. М. 
 
 
Р е ц е н з е н т ы : 
доктор технических наук, профессор 
С. М. Мужичек (ГосНИИАС); 
доктор физико-математических наук, профессор 
С. П. Струнков (НИИ системных исследований РАН) 
 
 
 
 
 
М34  
Математический анализ : учебное пособие / [Воронин О. И. и др.] ; под ред. 
проф. А. М. Попова. – Москва ; Вологда : Инфра-Инженерия, 2024. – 224 с. : ил., 
табл. 
 
 
ISBN 978-5-9729-1720-4 
 
Изложены основные разделы математического анализа. Содержит большое 
количество примеров, поясняющих существо рассматриваемых тем. 
Для студентов высших учебных заведений и колледжей. 
 
УДК 517 
ББК 22.1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ISBN 978-5-9729-1720-4 
‹ Издательство «Инфра-Инженерия», 2024 
‹ Оформление. Издательство «Инфра-Инженерия», 2024 
2 

 
 
 
ǶǷǬǫǯǸDzǵǩǯǬ 
 
Учебное пособие предназначено для студентов вузов. Книга является 
одним из пособий по дисциплине «Математический анализ» в соответствии 
с Федеральным государственным образовательным стандартом высшего 
профессионального образования. Основной причиной появления этих пособий является отсутствие на настоящее время полного и систематического 
изложения основных разделов дисциплины «Математический анализ» в соответствии с требованиями ФГОС ВПО.  
Материал написан на основе многолетнего опыта чтения лекций на 
факультетах различных вузов. Состоит из девяти глав, в которых освещаются основные понятия математического анализа и дифференциальных 
уравнений. Учебное пособие содержит большое количество примеров, поясняющих существо рассматриваемых параграфов. В конце каждого параграфа приводятся вопросы для самоконтроля, а также задачи для самостоятельного решения.  
Нумерация рисунков и таблиц произведена отдельно по частям учебника: первая цифра означает номер главы, вторая – номер рисунка или таблицы в главе. Начало и окончание примера отмечены значком Ź. Авторы 
пособия стремились в минимальном объеме на доступном уровне изложить 
все разделы ФГОС ВПО без использования сложных формул, трактовок и 
доказательств теорем.  
Для углубленного изучения отдельных тем содержания книги приводится список литературы. В конце книги оформлен в виде приложений справочный материал по математическим формулам. 
Авторы считают приятным долгом поблагодарить рецензентов: доктора технических наук, профессора С. М. Мужичека (Гос НИИ АС), доктора 
физико-математических наук, профессора С. П. Стрункова (НИИ системных исследований РАН), взявших на себя нелегкий труд рецензирование рукописи книги, а также Л. Н. Марданову (литературное редактирование и 
корректура), Р. Н. Петренко (верстка) за их внимание и творческую работу 
по подготовке пособия к изданию. 
Пособие издается с исправлениями и дополнениями отдельными задачами. 
 
 
3 

 
 
 
ǩǩǬǫǬǴǯǬ
 
Математика (в переводе с греческого PDQKPD  – учение, наука, учусь 
через размышление) – это наука о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира. Более просто математику можно 
охарактеризовать как науку о числах и фигурах. 
С глубокой древности, по мере развития человеческого общества, 
накапливалось все больше сведений о числах, размерах и формах различных 
предметов. Появилась необходимость приводить эти сведения в порядок, 
чтобы их легче было передавать от одного поколения к другому. Так постепенно зарождалась математика. 
Зачатки математических знаний обнаруживаются уже примерно за четыре тысячи лет до нашего времени. Об этом свидетельствуют дошедшие 
до нас египетские папирусы, клинописные вавилонские таблички, в которых встречаются решения различных арифметических, алгебраических и 
геометрических задач.  
Большого расцвета достигла математика в Древней Греции. Более чем 
за 300 лет до нашей эры там появились «Начала» Евклида – сочинение, в котором систематически излагалась геометрия примерно в том объеме, в котором она ныне изучается в средней школе, а также давались сведения о делимости чисел и о решении квадратных уравнений.  
В III веке до н. э. Архимед нашел способ определения площадей, объемов и центров тяжести различных простых фигур. В конце III века до н. э. 
Аполлоний написал книгу о свойствах некоторых замечательных кривых – 
эллипса, гиперболы и параболы. Если к этому добавить, что во II веке до н. э. 
Птолемей изложил основы тригонометрии и дал таблицы синусов, то станет 
ясным, какой вклад в развитие математических знаний внесли древние греки. 
Далее математика развивалась трудами китайских, индийских, арабских ученых. Особенно большой вклад был внесен ими в развитие алгебры. 
В Западной Европе во времена средневековья наступил длительный застой 
в развитии науки, из-за чего европейским ученым пришлось потратить немало усилий, чтобы усвоить труды их предшественников. Лишь после этого 
они смогли двигаться вперед самостоятельно. Расцвет математики в Европе 
начался с XVII века. В это время зародились новые отрасли математики, которые теперь принято относить к высшей математике. 
Основу высшей математики составляют аналитическая геометрия, 
дифференциальное и интегральное исчисление. Их создание связано с именами великих ученых XVII века Р. Декарта, И. Ньютона, Г. Лейбница, 
Л. Эйлера, Ж. Лагранжа, К. Гаусса, О. Коши и многих других. Это позволило теоретически изучать движение, процессы изменения величин и геометрических фигур. Вместе с этим в математику вошли координаты, переменные величины и понятие функции.  
4 

Изучение функции приводит к основным понятиям математического 
анализа: пределу, производной, дифференциалу, интегралу. Возникновение 
аналитической геометрии позволило существенно расширить предмет изучения геометрии благодаря переводу ее на язык алгебры и анализа. С другой 
стороны, открылась возможность геометрической интерпретации алгебраических и аналитических фактов. 
С XVII века начинается развитие очень важного раздела математики – 
теории вероятностей. В ее основе лежали труды таких выдающихся математиков, как Б. Паскаль, П. Ферма, Х. Гюйгенс. При этом первые вклады в теорию вероятностей были сделаны в связи с изучением азартных игр. Однако 
уже в конце XVII века начали пользоваться теорией вероятностей при страховании кораблей от случайностей.  
В XVIII веке для развития теории вероятностей много сделали швейцарец Я. Бернулли, французы С. Лаплас и С. Пуассон, «король математиков» немецкий ученый К. Гаусс. В середине XIX века большой сдвиг произвели труды знаменитого русского математика П. Чебышева. Он нашел новые методы решения ранее поставленных задач и сумел создать вокруг себя 
большую группу молодых ученых; некоторые из них, например, А. Марков, 
А. Ляпунов, впоследствии достигли мировой известности. Также нужно отметить большой вклад в теорию вероятностей российского ученого А. Колмогорова. 
Невозможно проследить здесь, хотя бы и бегло, успехи математики 
за последние столетия. Новые теории в ней возникают теперь не только 
в результате запросов других наук, но и вследствие внутренней потребности самой математики. Замечательным примером такой теории является сферическая геометрия, созданная российским ученым Н. Лобачевским. 
Таким образом, историю математики кратко (по предложению академика Колмогорова А. Н.) можно условно разделить на четыре периода: 
1. Период зарождения (IV в. до н. э.). 
Появление у Вавилонян методов решения квадратных уравнений, теорема Пифагора, измерение земельных участков, составление календарей, 
проектирование строительства и т. д. К сожалению, теоретические разработки этого периода до нашего времени не дошли. 
2. Период элементарной математики (VI в. до н. э. – XVI в. н. э.). 
Математика рассматривается древними греками как средство познания 
природы. Пифагорейцы усматривали сущность вещей и явлений в числах и числовых отношениях. Начало дедуктивного и аксиоматического метода. 
Дедуктивная теория Аристотеля (384-322 гг. до н.э.). Первое изложение геометрии Евклида (около 300 лет до н.э.). Геометрическая система в 
виде «Начала» свыше 20 веков до XIX в. являлась образцом логического 
метода. Развитие в работах Паша (1882 г.), Пеано (1889 г.), Пиери (1889 г.). 
3. Период создания математики переменных величин (XVI–XVIII вв.); 
x переменные величины в аналитической геометрии Р. Декарта 
(1596–1650 гг.); 
5 

x дифференциальное и интегральное исчисление в трудах И. Ньютона (1642–1727 гг.) и Г. Лейбница (1646–1716 гг.); 
x теория действительных чисел. 
4. Современная математика (XVIII в. – до наших дней): 
x неевклидова геометрия Н. Лобачевского (1792–1856 гг.); 
x развитие аксиоматических методов в работах Д. Гильберта (1862–
1943 гг.), А. Пуанкаре (1854–1912 гг.) и т. д.; 
x комплексные числа, кватернионы У. Гамильтона (1805–1865 гг.), 
О. Хевисайда (1850–1925 гг.). 
Потребности развития самой математики, «математизация» других 
областей науки, проникновение математических методов во многие сферы 
практической деятельности, прогресс вычислительной техники привели 
к  появлению новых математических дисциплин, например, исследования 
операций, теории игр, математической экономики и др. 
Роль математики в системе фундаментальной подготовки современного инженера 
Какими качествами и знаниями должен обладать инженер" Прежде 
всего – способностью к аналитической работе, умением сортировать информацию и классифицировать различные факты. Поэтому ему не обойтись без 
отличного знания математики. На всех факультетах высших учебных заведений изучению этого предмета уделяется особое внимание. «Корпеть» над 
формулами и задачами студентам вузов приходится вплоть до окончания 
вуза. 
Поэтому математическое образование является важнейшей составляющей в системе фундаментальной подготовки современного инженера. Математика для него является не только мощным средством решения прикладных задач, но и элементом общей культуры. 
Профессиональный уровень инженера во многом зависит от того, 
освоил ли он современный математический аппарат и умеет ли использовать его при анализе сложных физических процессов и принятии решений. 
Таким образом, в подготовке инженеров изучение математики играет важную роль. 
 
 
 
6 

 
 
 
ǪȒȇȉȇ1
ȄDzǬdzǬǴǹȂǹǬǵǷǯǯdzǴǵǭǬǸǹǩ
1ǶȕȔȦșȏȌȓȔȕȍȌȘșȉȇ
 
Множество в математике не определяется через простые понятия так 
же, как не определяются понятия «число», «точка», «линия». Просто говорят, что м н о ж е с т в о  состоит из элементов. 
Интуитивно под множеством будем понимать совокупность определенных однородных вполне различимых объектов, рассматриваемую как 
единое целое.  
Можно говорить о множестве стульев в комнате, множестве людей, 
живущих в г. Рязани, множестве моделей производственных процессов, 
множестве студентов в группе, множестве натуральных чисел, множестве 
букв в алфавите и т. п. При этом о множестве можно вести речь только тогда, когда элементы множества р а з л и ч и м ы  между собой. Например, 
нельзя говорить о множестве капель в стакане воды, так как невозможно 
четко и ясно указать каждую отдельную каплю. 
Отдельные объекты, из которых состоит множество, называются элементами множества. Так, число 3 – элемент множества натуральных чисел, а буква б – элемент множества букв русского алфавита; производственный процесс – элемент множества всех экономических процессов.  
Общим обозначением множества служит пара фигурных скобок ^ `, 
внутри которых п е р е ч и с л я ю т с я  элементы множества. Для обозначения конкретных множеств обычно используются различные прописные 
буквы A, S, X, ... или прописные буквы с индексами A1, A2, … Для обозначения элементов множества в общем виде используются различные строчные 
буквы a, s, x... или строчные буквы с индексами a1, a2 … 
Тот факт, что множество А состоит из элементов а1, а2, ... аn записывается следующим образом 
A = ^а1 , а2 , ... аn`. 
Для указания того, что некоторый элемент а является элементом множества S, используется символ принадлежности элемента множеству «». 
Запись a
S
  означает, что элемент a  п р и н а д л е ж и т  множеству S , а запись x
S
  означает, что элемент x  н е  п р и н а д л е ж и т  множеству S . 
Записью 
1
2
,
,...,
n
x x
x
S
  
пользуются для сокращения записи 
1
2
,
,...,
.
n
x
S x
S
x
S



 
7 

Множества бывают к о н е ч н ы м и   и  б е с к о н е ч н ы м и .  
Множество называется конечным, если число его элементов конечно, 
т. е. если существует натуральное число N, являющееся числом элементов 
множества. Множество называется бесконечным, если оно содержит бесконечное число элементов. 
Различают множества у п о р я д о ч е н н ы е   и  н е у п о р я д о ч е н -
н ы е . Упорядоченными называются множества, порядок расположения элементов в которых является существенным. В неупорядоченных множествах 
это расположение может быть произвольным. 
Например, координаты точки на географической карте образуют упорядоченное множество. По договоренности между странами на первом месте стоит координата широты, на втором – долготы. 
Для оперирования с конкретными множествами нужно уметь задавать 
эти множества. Существуют два с п о с о б а  з а д а н и я  множеств: перечисление и описание. 
Задание множества способом п е р е ч и с л е н и я  соответствует перечислению всех элементов, составляющих множество, Так, множество А отличников группы можно задать, перечислив студентов, которые учатся на 
«отлично», например, А = ^Иванов, Петров, Сидоров`; множество K фирм 
некоторого региона можно задать, перечислив все фирмы этого региона; 
множество X моделей, используемых для описания деятельности некоторого предприятия, можно задать, указав все эти модели.  
Для сокращения записи пишут 
i
X
x
 
, 
1
^ `
n
здесь индекс i меняет свои значения от 1 до n. Иногда вводят множество 
индексов I = ^1, 2, …, n`. Тогда 
^ `
i
X
x
 
,   i  I. 
Такой способ удобен при рассмотрении конечных множеств, содержащих небольшое число элементов, но иногда он может применяться и для 
задания бесконечных множеств, например, множество положительных четных чисел Y = ^2, 4, 6, 8...`. Естественно, такая запись применима, только 
если вполне ясно, что понимается под многоточием.  
О п и с а т е л ь н ы й  способ задания множества состоит в том, что 
указывается характерное свойство, которым обладают все элементы множества. Так, если M – множество студентов группы, то множество A отличников этой группы запишется в виде 
^
_
A
x
M x
 

 – отличник группы`. 
Запись читается следующим образом: множество A состоит из элементов x множества M, обладающих тем свойством, что x является отличником 
группы. 
Если K – множество фирм, то множество P производственных фирм 
запишется в виде 
8 

^
_
P
x
K x
 

 – производственная фирма`. 
В тех случаях, когда не вызывает сомнений, из какого множества берутся элементы x, указание о принадлежности x множеству M можно не делать. При этом множество A запишется в виде  
^ _
A
x x
 
 – отличник группы`. 
ŹПример 1.1.  Задание множеств методом описания 
1. C = ^ _
x x  – четное` – множество четных чисел. 
2. K = ^ _
x x  – фирма региона` – множество фирм некоторого региона. 
3. D = 
2
^ _
1 0`
x x   
 – множество ^–1, 1`. 
4. Пусть Z – множество целых чисел. Тогда множество  
G = ^
_0
7`
x
Z
x


d
 
эквивалентно множеству G = ^1, 2, 3, 4, 5, 6, 7`. Ź 
 
Важным понятием теории множеств является понятие пустого множества. Пустым множеством называется множество, не содержащее ни одного элемента.  
Пустое множество обозначается ‡. Например, множество 
С = 
2
^ _
1
0`
.
x x
x

  
 ‡  
Понятие пустого множества играет важную роль при задании множеств с помощью описания. Введение пустого множества позволяет совершенно спокойно оперировать с множеством, не заботясь о том, есть или нет 
в нем элементы. Пустое множество будем условно относить к конечным 
множествам.  
Рассмотрим теперь вопрос о р а в е н с т в е  множеств. Два множества 
X и Y называются равными X = Y, если они состоят из одних и тех же элементов, т. е. представляют собой одно и то же множество.  
Множества X  и Y  не равны 
,
X
Y
z
 если в множестве X  есть элементы, не принадлежащие 
,
Y  либо в множестве Y  есть элементы, не принадлежащие X .  
Из определения равенства множеств вытекает, что порядок расположения элементов в неупорядоченных множествах н е с у щ е с т в е н е н . 
Так, например, множества A = ^3, 4, 5, 6` и B = ^4, 5, 6, 3` представляют 
собой одно и то же множество, т. е. А = В. 
Из определения множества следует, что в нем не должно быть неразличимых элементов. Поэтому в множестве не может быть одинаковых элементов. Например, запись С = ^2, 2, 3, 5` следует рассматривать как некорректную и заменить ее на С = ^2, 3, 5`.  
 
 
 
9 

1.ǶȕȔȦșȏȌȖȕȋȓȔȕȍȌȘșȉȇ
 
Множество X называется подмножеством множества Y, если любой 
элемент множества X принадлежит множеству Y. 
Ź Например, M – множество студентов группы, а A – множество отличников той 
же группы. Так как каждый отличник группы является в то же время студентом этой 
группы, то множество A является подмножеством множества M. Множество торговых 
фирм региона является подмножеством множества всех его фирм. Ź 
Многие определения теории множеств удобно давать в виде математических выражений, содержащих логические символы. Для определения 
подмножества используем два таких символа:  
  – символ, называемый квантором общности и означающий «любой», «каков бы ни был», «для всех»;  
o – символ следствия (импликации), означающий «влечет за собой». 
Определение подмножества, которое может быть сформулировано в 
виде: для любого x утверждение «x принадлежит X» влечет за собой утверждение «x принадлежит Y», с использованием символов запишется так: 
x x
X
x
Y


o

. 
Более краткой записью выражения «X является подмножеством Y» является запись  
,
X
Y
Ž
 
«X содержится (лежит) или совпадает с Y». 
Если желают подчеркнуть, что Y  содержит и другие элементы, кроме 
элементов из X, то используют символ строгого включения    
.
X
Y

 
Принято считать, что для любого множества M выполняется 
.
M
‡ Ž
 
Если все подмножества, рассматриваемые в данном конкретном случае, входят в множество I, то множество I называется универсальным множеством. Из этого определения ясно, что универсальное множество I содержит все элементы, относящиеся к рассматриваемому классу задач.  
Роль универсального множества могут играть различные множества. 
Так, при рассмотрении множеств, включающих отличников в группе студентов, множество неуспевающих студентов группы, множество студентов 
группы старше 20 лет, роль универсального множества играет множество 
студентов группы. 
ŹПример 1.2. 
Дано множество А = ^x  Z _ 0 < x d 12`, где Z – множество целых чисел. Найти 
множество В такое, что В  А и В = ^x _  x делится на 4`. 
Р е ш е н и е . Ясно, что А = ^1, 2, 3, ... 12`, а В содержит целые числа, делящиеся 
на 4, но только те, которые входят в множество А. Следовательно, В = ^4, 8, 12`. Ź 
10