Механика

С. В. Бочаров, А. А. Бочарова, А. А. Ратников 
МЕХАНИКА 
Учебное пособие 
Москва    Вологда 
«Инфра-Инженерия» 
2024 

УДК 531.1/.7 
ББК 30.12 
Б86 
Рецензенты: 
д. т. н., профессор кафедры теоретической механики и сопротивления материалов  
Морского государственного университета имени адм. Г. И. Невельского И. Б. Друзь; 
д. ф.-м. н., профессор инженерного департамента Политехнического института ДВФУ 
О. Н. Любимова  
Бочаров, С. В. 
Б86 
Механика : учебное пособие / С. В. Бочаров, А. А. Бочарова, 
А. А. Ратников. – Москва ; Вологда : Инфра-Инженерия, 2024. – 100 с. : 
ил., табл. 
ISBN 978-5-9729-1865-2 
Рассматриваются вопросы динамики поступательного и вращательного движения, а также основы механики деформируемого тела и механические колебания. Приведены основные теоретические сведения по изучаемым темам, расчетные формулы и 
методика их применения. Каждая глава содержит описание лабораторных работ по 
физическим основам механики на универсальном многопрофильном учебном оборудовании немецкой фирмы PHYWE, порядок их выполнения и оформления, тестовые 
материалы для подготовки к аттестации. 
Для студентов учебных заведений высшего и среднего образования. 
УДК 531.1/.7 
ББК 30.12 
ISBN 978-5-9729-1865-2 
” Бочаров С. В., Бочарова А. А., Ратников А. А., 2024 
” ФГАОУ ВО «Дальневосточный федеральный университет», 2024 
” Издательство «Инфра-Инженерия», 2024 
” Оформление. Издательство «Инфра-Инженерия», 2024 

ПРЕДИСЛОВИЕ 
Предлагаемое учебное пособие составлено на основании опыта преподавания основ механики с использованием универсального, многопрофильного, 
учебного оборудовании немецкой фирмы PHYWE. 
Учебное пособие содержит: краткие теоретические сведения с описанием 
характерных физических особенностей; детализированную методику проведения эксперимента на учебном оборудовании и порядок обработки его результатов. 
В данном учебном пособии излагаются вопросы по различным разделам 
механики (динамика поступательного и вращательного движения, механика 
деформируемого тела, механические колебания), но при этом не ставится задача полностью заменить учебники и другие учебные пособия. Одна из главных 
задач учебного пособия  помочь студенту раскрыть физику механических явлений. 
Материал, включаемый в данное учебное пособие, подобран таким образом, чтобы в результате его изучения студент получил необходимые знания, на 
основе которых в дальнейшем мог бы самостоятельно исследовать любой вопрос механики, встретившийся в его будущей деятельности. 
При этом авторы стремились придать изложению материала такой характер, который позволил бы студентам изучать физические основы механики по 
предлагаемому пособию с меньшей затратой труда и времени. 
Изучение соответствующего материала рационально сопровождать выполнением лабораторных работ на универсальном, многопрофильном оборудовании, контрольными работами в виде ответов на тестовые вопросы. 
При написании пособия использованы результаты исследований многих 
специалистов, опубликованные в учебниках, учебных пособиях и методических 
указаниях. В конце приводится библиографический список соответствующих 
литературных источников, в которых более подробно освещаются вопросы, затронутые в пособии. 
3 

РАЗДЕЛ 1. МОМЕНТ СИЛЫ 
 
Общие сведения 
Моментом силы или вращающимся моментом ܯ
ሬ
ሬԦ называют векторное произведение радиус-вектора ݎ
Ԧ, проведенного из точки ܱ в точку приложения силы ܨ
Ԧ, на саму эту силу (рис. 1.1) 
 
ܯ
ሬ
ሬԦ = ݎ
Ԧ × ܨ
Ԧ. 
 (1.1) 
 
Рис. 1.1. Определение момента силы относительно точки 
 
Момент силы – векторная величина, причем он направлен так, что поворот 
вектора  ݎ
Ԧ к вектору ܨ
Ԧ осуществляется против часовой стрелки, если наблюдать 
с конца вектора ܯ
ሬ
ሬԦ. Вектор ܯ
ሬ
ሬԦ всегда перпендикулярен плоскости, в которой 
лежат векторы ݎ
Ԧ и ܨ
Ԧ. В скалярной форме, выражение (1.1) выглядит следующим образом: 
 
ܯ= ܨή ݎή sin ߙ, 
(1.2) 
где ݎ – расстояние от центра вращения ܱ до точки приложения силы; ܨ – сила, 
действующая на тело; ߙ  – угол между векторами ݎ
Ԧ и ܨ
Ԧ. 
 
Как видно из выражения (1.2), момент силы достигает своего максимального значения, если угол ߙ равен 90 градусов. Момент силы равен нулю, если 
угол ߙ равен 0 и 180 градусов, то есть, если вектор силы ܨ
Ԧ параллелен вектору 
ݎ
Ԧ, то эта сила не вызывает вращение тела вокруг оси ܱܱᇱ. 
Пусть x, y, z – координаты точки приложения силы, а Fx, Fy, Fz – проекции 
силы на координатные оси. Тогда, если точка O находится в начале координат, 
момент ее силы выражается следующим образом: 
4 

 
ܯ
ሬ
ሬԦ൫ܨ
Ԧ൯= ݎ
Ԧ × ܨ
Ԧ = ቮ
ଓ
Ԧ
ଔ
Ԧ
݇
ሬ
Ԧ
ݔ
ݕ
ݖ
ܨ
௫
ܨ
௬
ܨ
௭
ቮ= ൫ݕܨ
௭െݖܨ
௬൯ଓ
Ԧ + (ݖܨ
௫െݔܨ
௭)ଔ
Ԧ + ൫ݔܨ
௬െݕܨ
௫൯݇
ሬ
Ԧ. (1.3) 
Отсюда следует, что проекции момента силы на координатные оси определяются формулами: 
 
ܯை௫൫ܨ
Ԧ൯= ݕܨ
௭െݖܨ
௬,  ܯை௬൫ܨ
Ԧ൯= ݖܨ
௫െݔܨ
௭,  ܯை௭൫ܨ
Ԧ൯= ݔܨ
௬െݕܨ
௫.  
(1.4) 
Введем теперь понятие проекции силы на плоскость. Пусть даны сила ܨ
Ԧ и 
некоторая плоскость. Опустим из начала и конца вектора силы перпендикуляры на эту плоскость (рис. 1.2). Проекцией силы на плоскость называется вектор, начало и конец которого совпадают с проекцией начала и конца силы на 
эту плоскость. Если в качестве рассматриваемой плоскости принять плоскость 
xOy, то проекцией силы ܨ
Ԧ на эту плоскость будет вектор ܨ
Ԧ
௫௬ (рис. 1.2). 
 
Рис. 1.2. Проекция вектора силы на плоскость 
 
Момент силы ܨ
Ԧ
௫௬ относительно точки O (точки пересечения оси z с плоскостью xOy) может быть вычислен по формуле (1.3), если в ней положить  
z = 0, Fz = 0. Получим: 
 
ܯை൫ܨ
Ԧ
௫௬൯= ൫ݔܨ
௬െݕܨ
௫൯݇
ሬ
Ԧ. 
 
Таким образом, этот момент направлен вдоль оси z, а его проекция на ось 
z в точности совпадает с проекцией на ту же ось момента силы ܨ
Ԧ относительно 
точки O 
 
ܯை௭൫ܨ
Ԧ൯= ܯை௭൫ܨ
Ԧ
௫௬൯= ݔܨ
௬െݕܨ
௫.  
 (1.5) 
5 

Очевидно, что тот же результат можно получить, если спроектировать силу ܨ
Ԧ на любую другую плоскость, параллельную плоскости xOy. При этом 
точка пересечения оси z с плоскостью будет уже иной (обозначим новую точку 
пересечения через O1). Однако все входящие в правую часть равенства (1.5) 
величины x, y, Fx, Fy останутся неизменными, и, следовательно, можно записать 
 
ܯை௭൫ܨ
Ԧ൯= ܯைభ௭൫ܨ
Ԧ
௫௬൯. 
 
Другими словами, проекция момента силы относительно точки на ось, 
проходящую через эту точку, не зависит от выбора точки на оси. Поэтому вместо символа ܯை௭൫ܨ
Ԧ൯ можно применять символ ܯ௭൫ܨ
Ԧ൯. Эта проекция момента 
называется моментом силы относительно оси z. Вычисление момента силы относительно оси часто бывает удобнее производить посредством проектирования силы ܨ
Ԧ на плоскость, перпендикулярную оси, и вычисления величины 
ʛ௭(ܨ
Ԧ
௫௬). 
В соответствии с формулой (1.2) и учитываю знак проекции, будем иметь 
 
ܯ௭൫ܨ
Ԧ൯= ܯ௭൫ܨ
Ԧ
௫௬൯= ±ܨ
௫௬݄,  
 (1.6) 
где h – плечо силы ܨ
Ԧ
௫௬ относительно точки O (рис. 1.3); если наблюдатель видит со стороны положительного направления оси z, что сила ܨ
Ԧ
௫௬ стремится повернуть тело вокруг оси z против хода часовой стрелки, то берется знак 
«плюс», а в противном случае – знак «минус». 
 
Формула (1.6) дает возможность сформулировать следующее правило для 
вычисления момента силы относительно оси. Для этого нужно: 
1. выбрать на оси произвольную точку и построить плоскость, перпендикулярную оси. 
2. спроектировать на эту плоскость силу. 
3. определить плечо проекции силы h. 
 
Рис. 1.3. Определение плеча силы 
6 

Момент силы относительно оси равен произведению модуля проекции силы на ее плечо, взятому с соответствующим знаком. Из формулы (1.6) следует, 
что момент силы относительно оси равен нулю в двух случаях: 
1) когда проекция силы на плоскость, перпендикулярную оси, равна нулю, 
т. е. когда сила и ось параллельны; 
2) когда плечо проекции h равно нулю, то есть когда линия действия силы 
пересекает ось. 
 
Эти случая можно объединить в один: момент силы относительно оси равен нулю тогда и только тогда, когда линия действия силы и ось находятся в 
одной плоскости. 
Если на тело действуют несколько сил ܨ
Ԧଵ, ܨ
Ԧଶ…ܨ
Ԧ
௡ и соответственно вращающие моменты ܯ
ሬ
ሬԦଵ, ܯ
ሬ
ሬԦଶ…ܯ
ሬ
ሬԦ௡ каждой не равны нулю, но тело находится в 
покое, то говорят, что суммарный момент всех сил, действующих на тело, равен нулю. В частности, если на тело действуют только две силы (рис. 1.2), при 
этом оно также покоится, то моменты этих сил равны по величине и противоположны по направлению. Таким образом, получится следующее выражение 
для расчета величины момента силы ܯଵ 
 
 
|ܯଵ| = |ܯଶ| = ܨ
ଵή ݎ
ଵή sin ߙଵ= ܨ
ଶή ݎ
ଶ.   
(1.7) 
 
Рис. 1.4. Определение моментов двух сил относительно точки 
 
Лабораторная работа «Определение момента силы» 
 
Цель работы  
í изучение физической величины момента силы на лабораторной установке. 
7 
При выполнении работы необходимо: 
í установить зависимость величины момента силы  ܯ= ݂(ݎ) от расстояния ݎ между центром вращения тела и точкой приложения силы ܨ; 

í установить зависимость величины момента силы ܯ= ݂(ܨ) от величины 
прикладываемой силы  ܨ; 
í установить зависимость величины момента силы ܯ= ݂(sin ߙ) от угла 
между вектором силы  ܨ и вектором  ݎ, соединяющим центр вращения тела и 
точку приложения силы. 
Описание опытной установки 
Эксперименты проводятся на установке (рис. 1.5), которая состоит из градуированного диска, динамометра и грузов. Параметры опытной установки 
приведены в табл. 1.1. 
 
 
 
Рис. 1.5. Опытная установка «Определение момента силы» 
 
 
Таблица 1.1 
Параметры опытной установки 
№ 
Наименование 
Количество 
Предел  
измерения 
Цена деления 
Приборная  
погрешность 
1 Градуированный диск 
1 
ߙ – 360° 
ݎ – 12 см 
ߙ – 15° 
ݎ – 3 см 
 
3 
Груз 50 г 
4 
 
 
 
2 
Динамометр 
1 
1,2 Н 
0,1 Н 
οܨ
ଶ= 0,05 Н 
 
 
8 

Методика и порядок проведения экспериментов 
 
1. Определение зависимости момента силы ࡹ= ࢌ(࢘) от расстояния ࢘ 
между центром вращения тела и точкой приложения силы  ࡲ 
При выполнении работы необходимо: 
 собрать лабораторную установку так, как показано на рис. 1.3; 
 соединить нить динамометра с диском на расстоянии от центра его вращения ݎ
ଶ = 12 см (рис. 1.4); 
 навесить на держатель груз массой ݉ = 100 г; 
 зафиксировать значения величины силы растяжения пружины динамометра ܨ
ଶ, поэтапно меняя точку подвеса держателя на диске (ݎ
ଵ= 3 см, ݎ
ଵ= 6 см, 
ݎ
ଵ= 9 см, ݎ
ଵ= 12 см), при этом контролируя постоянное значение угла ߙଶ = 90º и 
строгую параллельность оси динамометра и его нити при каждом измерении; 
 данные измерений записать в табл. 1.2; 
 построить график зависимости ܯଵ= ݂(ݎ
ଵ) (рис. 1.6); 
 определить погрешность измерения момента силы для всех 4-х значений 
ݎ
ଵ по следующей формуле: 
 
ܵெ=
ெభ
ி
మή οܨ
ଶ,  
(1.8) 
где οܨ
ଶ – приборная погрешность динамометра; 
 
 отметить погрешность измерения ܯଵ так, как показано на рис. 1.6; 
 результаты расчетов свести в табл. 1.2. 
 
 
Рис. 1.6. Зависимость момента силы от расстояния подвеса 
 
 
9 

Таблица 1.2 
Результаты измерений и вычислений 
ݎ
ଵ, 
 см 
ݎ
ଶ,  
см 
ߙଶ,  
град 
݉, 
 г 
ܨ
ଶ,  
Н 
ܯଵ,  
Нм 
ܵெ,  
Нм 
3 
 
 
 
6 
 
 
 
12 
90 
100 
9 
 
 
 
12 
 
 
 
 
2. Определение зависимости момента силы ࡹ= ࢌ(ࡲ) от величины 
прикладываемой силы  ࡲ  
Используя лабораторную установку (рис. 1.5), требуется выполнить следующие действия: 
 установить значения ݎ
ଵ = 9 см и ݎ
ଶ = 12 см; 
 меняя массу груза на держателе от 50 г до 200 г с шагом 50 г, зафиксировать значения величины силы растяжения пружины динамометра ܨ
ଶ, при этом 
контролируя постоянное значение угла ߙଶ = 90° и строгую параллельность оси 
динамометра и его нити при каждом измерении; 
 используя формулу (1.3), определить величину ܯଵ; 
 данные измерений записать в табл. 1.3; 
 построить график зависимости ܯଵ= ݂(ܨ) (рис. 1.7); 
 определить погрешность измерения момента силы для всех 4-х значений 
ܨ
ଵ по формуле (1.8); 
 отметить погрешность измерения ܯଵ так, как показано на рис. 1.7; 
 результаты расчетов свести в табл. 1.3. 
 
Таблица 1.3 
Результаты измерений и вычислений 
50 
 
 
 
 
݉, г 
ܨ
ଶ= ݉ή ݃, 
H 
ݎ
ଵ, см 
ݎ
ଶ, см 
ߙଶ, град 
ܨ
ଶ, H 
ܯଵ, Нм 
ܵெ, Нм 
100 
 
 
 
 
9 
12 
90 
150 
 
 
 
 
200 
 
 
 
 
 
10