Математика: числовые и функциональные ряды

 
 
 
В. В. Убодоев, А. В. Урбаханов, Н. Б. Цыренжапов 
 
 
 
 
 
 
 
МАТЕМАТИКА 
ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ 
 
Учебно-методическое пособие 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Москва    Вологда 
«Инфра-Инженерия» 
2024 

УДК 517.11 
ББК 22.161 
У17 
 
 
 
Рецензенты: 
кандидат физико-математических наук, доцент (Восточно-Сибирский государственный  
университет технологий и управления) Ханхасаев Владислав Николаевич; 
кандидат физико-математических наук, доцент (Бурятский государственный университет 
им. Д. Банзарова) Трунин Дмитрий Олегович 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Убодоев, В. В. 
У17  
Математика: числовые и функциональные ряды : учебно-методическое 
пособие / В. В. Убодоев, А. В. Урбаханов, Н. Б. Цыренжапов. – Москва ; 
Вологда : Инфра-Инженерия, 2024. – 144 с. : ил. 
ISBN 978-5-9729-1899-7 
 
Содержатся основные понятия и теоремы теории рядов. Рассмотрены решения типовых задач. Представлены наборы задач для самостоятельного решения, а также индивидуальные домашние задания по числовым и функциональным рядам, а также по 
рядам Фурье.  
Для студентов, обучающихся по IT-специальностям, а также может быть полезно 
студентам математических и физических специальностей. 
 
УДК 517.11 
ББК 22.161 
 
 
 
 
 
 
ISBN 978-5-9729-1899-7 
” Убодоев В. В., Урбаханов А. В., Цыренжапов Н. Б., 2024 
 
” Издательство «Инфра-Инженерия», 2024 
 
” Оформление. Издательство «Инфра-Инженерия», 2024 
 
 

ПРЕДИСЛОВИЕ 
 
Данное учебно-методическое пособие состоит из двух разделов: 1. «Числовые 
ряды. Бесконечные произведения» и 2. «Функциональные ряды. Ряды Фурье». 
В пособии, помимо теоретического материала, содержится большой набор 
разобранных примеров по рядам. В начале каждого пункта разделов приведены 
теоретические сведения, необходимые для решения задач, также целый ряд задач 
и примеров разобран в тексте. В конце каждого пункта раздела приведены задания для самостоятельной работы. Наряду с учебными примерами пособие содержит также ряд задач повышенной трудности. Решение таких задач требует от 
студентов известной изобретательности и твердых математических знаний. Пособие содержит в основном весь материал программы по теории рядов. 
В пособии содержатся 30 вариантов индивидуальных домашних заданий по 
«Числовым рядам», «Функциональным рядам» и «Рядам Фурье». 
Пособие может быть использовано как для работы под руководством преподавателя, так и для самостоятельного изучения раздела математики «Ряды». 
Настоящее издание представляет собой учебно-методическое пособие  
по математическому анализу в рамках реализации образовательной программы 
высшего образования по направлениям подготовки: 01.03.02 «Прикладная математика и информатика» и 09.03.03 «Прикладная информатика», очной/заочной 
формы обучения и подготовлено в соответствии с требованиями Федерального 
государственного образовательного стандарта высшего образования. 
Изучение вышеуказанных тем по математике направлено на формирование 
общепрофессиональных компетенций: 
ОПК 1.1 – «Знает основы математики, физики, вычислительной техники и 
программирования». 
ОПК 1.2 – «Решает стандартные профессиональные задачи с применением 
естественнонаучных и общеинженерных знаний». 
ОПК 1.3 – «Использует в профессиональной деятельности методы теоретического и экспериментального исследования». 
В результате освоения дисциплины обучающийся должен: 
Знать: основные факты и понятия теории числовых и функциональных рядов и применение их для решения разнообразных задач.  
Уметь: излагать основные факты, понятия теории числовых и функциональных рядов, а также уметь применять их для решения задач, уметь использовать 
приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной 
жизни для практических расчетов по изученным формулам.  
Владеть: методологией и навыками решения научных и практических задач 
по теории числовых и функциональных рядов. 
Основная задача настоящего учебно-методического пособия – заложить основы научной теории числовых и функциональных рядов как ветви математики, 
овладеть теорией и практикой решения задач по рядам и уметь самостоятельно 
применять их к решению прикладных задач. 
Данное пособие может быть полезно студентам математических и физических факультетов вузов. 
 
3 

РАЗДЕЛ I. Числовые ряды. Бесконечные произведения 
 
1. Определение числового ряда. Сходимость числового ряда 
 
Определение 1.1. Пусть ^ `
n
a  – произвольная числовая последовательность. 
Числовым рядом называется формально записанная бесконечная сумма: 
f
 
!
!




 
¦
 
n
n
n
a
a
a
a
2
1
1
.  
(1.1) 
Натуральный параметр n в записи ряда (1.1) определяет номер члена ряда; 
при фиксированном n соответствующий член 
n
a  называется n-м членом ряда (1.1). 
Определение 1.2. Последовательность ^ `
n
S , где: 
 
n
n
a
a
a
S



 
!
2
1
,  
(1.2) 
называется последовательностью частичных сумм ряда (1.1), n-й частичной 
суммой этого ряда называется ее n-й член. 
Определение 1.3. Если последовательность (1.2) частичных сумм ^ `
n
S  ряда (1.1) сходится к числу S, то ряд (1.1.) называется сходящимся, а число S – его 
f
суммой. Обозначение: 
S
a
n
n  
¦
 1
. Если последовательность ^ `
n
S  не имеет предела, 
то говорят, что ряд (1.1) – расходится. 
Определение 1.4. Если ряд (1.1) сходится к числу S, то сумма (ряд) называется n-м остатком ряда (1.1). 
Если ряд расходится, то и его остаток любого порядка расходится. Если ряд 
сходится, то и его остаток n-го порядка 
n
r  при любом n сходится, в этом случае 
остаток 
n
r  записывается в виде 
n
n
S
S
r

 
 и 
n
n
lim r
0
of
 
. 
В силу равенства 
n
n
S = S +r , оценка 
n
r  дает оценку погрешности при замене 
f
суммы ряда 
¦
1
n
n
a
S
 частичной суммой Sn.  
 
 
Если члены ряда – комплексные числа 
n
n
n
i
a
E
D 
 
, где ^ `
n
D  и ^ `
n
E  – действиf
f
тельные последовательности, то сходимость ряда 
¦
¦
n
n
n
n
n
i
a
E
D
 эквива1
1
)
(
 

 
 
f
f
f
f
f
лентна одновременной сходимости рядов ¦
1
1
1
n
n
n
n
n
n
i
a
S
E
D
. Та 1
n
n
D , ¦
 1
n
n
E  и 
¦
¦
¦
 


 
 
 
ким образом, исследование свойств ряда с комплексными членами сводится к 
исследованию свойств рядов с действительными членами.  
 
 
4 

Примеры 
f
1
1.1. Числовой ряд ¦
n
k
n  называется обобщенным гармоническим рядом,  
 1
при k = 1 называется гармоническим. Если k > 1, то этот ряд является сходящимся, при k ” 1 – расходящимся. 
f
1
)
1
(
....
1
1
1
1


 




n . Поскольку для этого ряда 
1.2. Рассмотрим ряд 
¦
n
1
 
0
,
1
2
1
2
 
 

m
m
S
S
при любом натуральном m, то последовательность ^ `
k
S  не имеет 
f
1
)
1
(


n  расходится. 
предела при 
f
o
k
. Следовательно, ряд ¦
n
1
 
f
n
aq  (
0
z
a
) при |q| < 1 сходится, а при |q| • 1 – расходится. Его 
1.3. Ряд ¦
 1
n
члены образуют геометрическую прогрессию, причем: 


q
aq
q
a
q
q
a
q
q
a
S
§


 



 

1
1
1
1
1
1
!
. 
·
¨
¨
©
n
n
n
n



 
¸
¸
¹
а) если |q|<1, то 
n
q
0
o
при n o f и ряд сходится к величине 
q
a
S

 1
; 
б) если |q|>1, то ряд расходится; 
в) при q = r1 ряд также очевидно расходится. 
1.4. Пусть x – любое фиксированное число. Докажем, что ряд: 
1
2
k
k

f
¦
)!
1
(
...
!
...
!
2
!
1
1
k
x
k
x
x
x
 

 





k
1
 
сходится и имеет сумму, равную ex. Разложение функции ex по формуле Макло
, где: 
рена имеет вид 
)
(
)!
1
(
...
!
2
!
1
1
1
2
x
R
n
x
x
x
e
n
n
x






 
x
n
n
e
n
x
x
R
˜
˜
 
T
!
)
(
 (0 < T < 1). 
Из этих формул получим: 

x
n
1
2
. 
x
n
e
n
!
)!
1
(
...
!
2
!
1
1
ª





x
e
n
x
x
x
˜
d

»
¼
º
«
¬
Обозначая через 
n
S  n-ю частичную сумму ряда, мы можем переписать неравенство в виде: 
n
d
x
x
n
x
S – e
* e
n!
. 
xn
x
 то правая часть поПоскольку при любом фиксированном x: 
,
0
!
lim
 
f
o
n
следнего неравенства представляет собой элемент бесконечно малой последова- 
5 

тельности. Но это и означает, что последовательность ^ `
n
S
 сходится к числу ex. 
Стало быть, и исходный ряд сходится и имеет сумму ex. 
1.5. Совершенно аналогично, используя формулу Маклорена для функций 
sinx и cosx, можно доказать, что ряды: 
1
2
1
7
5
3
k
k


f


¦
k
x
x
x
x
x
  




 




)!
1
2
(
1
...
!
7
!
5
!
3
k
1
 
2
2
1
6
4
2
k
k


f
и 


¦
)!
2
2
(
1
...
!
6
!
4
!
2
1
k
x
x
x
x
 




 




k
1
 
при любом фиксированном значении x сходятся и имеют суммы соответственно 
равные sinx и cosx. 
Приведем несколько примеров, показывающих взаимоотношение понятий 
ряда и последовательности, суммы ряда и предела последовательности. 
1.6. Рассмотрим последовательность 
N
k
k
k
Ak


 
,
1
. Членами соответствующего ряда, частичными суммами которого являются числа Ak, будут числа an: 
1
1
1
1
=
=
,
2
1ā2
a = A
 
.
2
,
,
)
1
(
1
1
1
1
t
1


 



 

 

n
n
n
n
n
n
n
n
A
A
a
n
n
n
 
f
f
Так как 
1
lim
 
f
o
k
k
A
, то ряд 
¦
¦
n
n
n
n
n
a
 сходится и сумма его равна 1. 
1
1
)
1
(
1
 

 
 
1.7. Рассмотрим последовательность ^ `:
k
A
 
1

 
k
A
q
k
,
1
. Соответствуюk
f
щим ей рядом будет ряд ¦
 1
n
n
a , где: 
.
2
,
,
)
1
(
1
1
,
1
1
1
1
t
1



 

 
 
 

n
n
n
n
A
A
a
A
a
q
q
n
n
n
 
Так как последовательность ^ `
k
A сходится при 
0
t
q
 и расходится при q  0, 
f
f
то и ряд ¦
¦
n
n
q
q
n
n
n
a
 сходится при q t 0 и расходится при q  0. 
1
2
)
)
1
(
1
1
(
1
 
 



 
f
1.8. Рассмотрим ряд ¦
 1 2
n
n
n . Чтобы решить вопрос сходимости последовательности ^
`
k
k
k
k
S
S
2
1
8
1
3
4
1
2
1
:
˜

˜
˜
˜

˜


 
, преобразуем выражение 
k
S  следующим образом: 
S
1
k
k
k
k
k
k
k

§
·
§
·
§
·
§
·
 

˜˜˜


˜˜˜
˜˜˜


 


¨
¸
¨
¸
¨
¸
¨
¸
©
¹
©
¹
©
¹
©
¹
k
 
1
2
1
1
k
k
k
k
k




1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
4
4
8
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
.
2
4
2
2
2
2
2
2
§
·
§
·
§
·




˜˜˜

 


¨
¸
¨
¸
¨
¸
©
¹
©
¹
©
¹
f
Отсюда получаем, что 
2
lim
 
f
o
k
k
S
, следовательно, ряд ¦
 1 2
n
n
n  сходится и сумма 
его равна 2.  
6 

f
1.9. Рассмотрим ряд ¦
n
n
n
n
. Для упрощения частичных сумм: 
 


1
)
2
)(
1
(
1
)
2
)(
1
(
1
4
3
2
1
3
2
1
1



˜
˜
˜

˜
˜

˜
˜
 
k
k
k
Sk
 
преобразуем выражение для члена ряда 
n
a , разложив его на простейшие дроби: 
.
2
1
1
1
1
1
1
2
1
2
1
2
2
1
2
1
)
2
)(
1
(
1
¸
¹
·
¨
©
§






 
¸
¹
·
¨
©
§




 


 
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
an
 
Отсюда получаем, что: 
1
1
1
1
1 1
1
1
1
1 1
1
1
1
1
2
2
3
2
2 2
3
4
3
2
1
2
1
k
S
k
k
k
k
 
1
1
1
1
1
1
1
1
1
.
2
2
2
1
4
2
2
1
k
k
k
k
§
·
§
·
§
·
 







˜˜˜



 
¨
¸
¨
¸
¨
¸



©
¹
©
¹
©
¹
§
·
§
·
 



 


¨
¸
¨
¸




©
¹
©
¹
f
n
n
n
n
 сходится и сумма его 
 


1
)
2
)(
1
(
1
Следовательно, 
1
lim
4
of
 
k
k
S
, т. е. ряд ¦
равна 1
4 . 
f
В примерах № 8–9 последовательность ^ `
k
S  частичных сумм соответствующего ряда или задавалась заранее, или выражалась достаточно просто, так что 
существование и величина предела 
n
S  устанавливалась непосредственно. Таким 
образом, в силу определения одновременно устанавливались и сходимость, и величина суммы рассматриваемого ряда. В основном, непосредственный анализ 
последовательности ^ `
n
S  не представляется возможным, поэтому основными задачами в теории числовых рядов являются установление сходимости или расходимости данного ряда без вычисления величины его сумм и оценка зависимости 
остатка ряда 
n
r  от номера n (скорость сходимости ряда). 
 
Самостоятельная работа 
 
Исследовать непосредственно сходимость числовых рядов и при наличии 
сходимости определить сумм у: 
1.10. 
!












1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
; 
f
1.19. ¦
n
n
n
; 
 


9
2
48
14
1
1.11. ¦
f
n
n
n
; 
 

1
)
1
(
1
f
1.20. ¦
n
n
n
; 
 


1
2
3
4
1
1.12. ¦
f
1
n
n
n
; 
 

1
)
5
(
1
f
1.21. ¦
n
n
n
; 
 


1
)
1
2
)(
1
2
(
1.13. ¦
f
n
n ; 
 

1
1
3
1
1.22. ¦
n
n
n
n
; 
 


1
)
2
)(
1
(
1
7 

f
f
1.23. ¦
1.14. ¦
n
n
n
n
; 
1
2
2
)
1
(
1
2
 


n
n
; 
 

1
1
2
1
2
f
f
2
1
,
n
q
q
n
; 
1.24. ¦
1.15. ¦
3
2
3
ln
§



n
n
n
n
n
; 
1
2
 
¸
¸
¹
·
¨
¨
©
n
1
 

f
f
1.25. ¦
1.16. ¦
n
n
arctg
. 
 1
2
2
n
n
n
; 
 


1
2
3
4
4
1
f
1.17. ¦
n
n
 
 

1
;
1
1000
1
f
1
1.18. ¦
n
n
n
; 
 

1
1
Проверить, что последовательность 
n
S  не является ограниченной: 
f
f
1
1
1.28. ¦
1.26. ¦
n
n
n
. 
 


1
)
2
)(
1
(
 1
n
n ; 
f
1
1.27. ¦
n
n
n
; 
 



1
1
3
1
3
 
 
2. Свойства сходящихся рядов.  
Критерий Коши сходимости числового ряда 
 
Теорема 2.1. Отбрасывание любого конечного числа членов числового ряда 
или добавление к нему любого конечного числа слагаемых не влияет на сходимость этого ряда. 
f
f
Определение 2.1. Если дан числовой ряд ¦
 1
n
n
a  и 
R
c 
, то ряд ¦
 1
n
n
ca называf
ется произведением числа c на ряд ¦
 1
n
n
a . 
f
f
Теорема 2.2. Пусть ряд¦
 1
n
n
a  – сходится, причем 
R
c 
. Тогда ряд ¦
 1
n
n
ca
f
f
также сходится и верно равенство ¦
 1
n
n
a
c
 =¦
 1
n
n
ca . 
f
f
f
Теорема 2.3. Пусть ряды ¦
n
n
n
b
a
схо1
)
(
 

 1
n
n
a и ¦
 1
n
n
b сходятся, тогда ряд ¦
f
f
f
дится, причем ¦
n
n
n
b
a
=¦
1
)
(
 

 1
n
n
a  + ¦
 1
n
n
b . 
f
Необходимый признак сходимости числовых рядов: Если ряд ¦
 1
n
n
a сходится, тогда 
0
lim
 
f
o
n
n
a
. 
f
Теорема 2.4. Если ряд ¦
 1
n
n
a сходится, то 


0
lim
lim
 

 
f
o
f
o
n
n
n
n
S
S
r
. 
8 

Теорема 2.5. Отбрасывание конечного числа членов сходящегося (расходяf
щегося) ряда не влияет на его сходимость (расходимость), т. е. ряды ¦
 1
n
n
a  и 
f
¦
 

1
k
k
n
a
 либо одновременно сходятся, либо одновременно расходятся. 
f
Теорема 2.6. (Критерий Коши сходимости ряда). Ряд ¦
 1
n
n
a сходится
0
œH ! , 
0( )

H
n
, что 
0
n
n !

 и 

p
N  выполняется условие: 
H



n
p
n
S
S
 
p
n

или, что, то же самое, 
H

¦
n
k
k
a
1
. 

 
В случае расходимости ряда выполняется утверждение, сформулированное 
f
на основе критерия Коши: ряд ¦
 1
n
n
a – расходится 
0
œ !
H
, что 
0( )
1

t
n H
,  
0
 !
n
n и 

p
N , для которых выполняется условие: 
H
t


n
p
n
S
S
. 
f
f
Теорема 2.7. Если два ряда ¦
 1
n
n
a  и ¦
 1
n
n
b сходятся, то для любых постоянных 
f
f
f
f
D и ȕ ряд ¦
n
n
n
a
a
E
D
 сходится и 
¦
¦
¦
1
)
(
1
1
1
)
(
 

 

 

 
 
n
n
т
n
n
n
n
b
a
a
a
E
D
E
D
. 
Таким образом, множество сходящихся рядов представляет собой линейное 
пространство. 
Критерий Коши редко применяется для доказательства сходимости конкретного ряда из-за технических трудностей. Область применения критерия 
Коши – как правило, или утверждения, в которых из сходимости одного ряда 
выводится сходимость другого, или установление расходимости ряда. 
 
Примеры 
 
f
2.1. Покажем, используя критерий Коши, что ряд ¦
n
n
n  сходится. Произ 1
2
sin
ведем оценку:  
d




d






 


2
2
2
2
)
(
1
)
1
(
1
)
(
)
sin(
)
1
(
)
1
sin(
p
n
n
p
n
p
n
n
n
S
S
n
p
n
!
!
 
n
1  < İ. 
§






¸
¹
·
¨
©
§


 






d
p
n
p
n
n
n
p
n
p
n
n
n
1
1
1
1
1
1
)
1
)(
(
1
)
1
(
1
!
!
< 
·
¨
¨
©
¸
¸
¹
0
n
; это означает выполнимость 
Из условия n
1  < İ следует, что n > H
1  и 
»
¼
º
«
¬
ª
 H
1
критерия Коши. 
9 

f
1
2.2. Гармонический ряд ¦
 1
n n  является расходящимся, т. к. выполняется критерий Коши, сформулированный для доказательства расходимости ряда. Можно 
показать, что при 
n
p  выполняется оценка 
H
t

n
n
S
S2
:  
n
p
n

1
¦
2
1
2
2
1
1
1
1
1
2
n
k
 
n
k
k
1
1
 
!

˜
˜
˜



 
¦

 
n
n
n
n
n
k

 
 
2.3. Ряд 
!






6
1
5
1
4
1
3
1
2
1
1
 расходится. Применим критерий Коши, рассмотрев подпоследовательности ^
`
n
S6  и ^
`
n
S3  последовательности частичных 
сумм данного ряда:  
!

 






!





 
!
6
3
1
1
1
1
1
1
3
1
3
2
3
3
6
2
6
1
6
1
1
1
1.
3
1
3
2
6
2
6
2
6
n
n
S
S
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
!



!
!




f
1
2.4. Исследуем ряд ¦
n
n
n
.  
 

1
)
1
(
Произведем оценку: 
!
2
1
1
1
(
1)(
2)
(
2)(
3)
2 (2
1)
n
n
S
S
n
n
n
n
n
n

 



!





 
!
n
n
n
1
1
1
1.
1
3
2
1
4
!



!



По критерию Коши ряд расходится. 
f
2.5. Ряд ¦
n
n расходится, так как последовательность ^
`
n
sin
 не является 
 1
sin
бесконечно малой, эта последовательность не имеет предела. 
2.6. Покажем, пользуясь критерием Коши, что всякая бесконечная десятичf
 
 
d
d

¦
n
n
n
n
n
a
a  a  a  ...a
a
n
1 , определяет действительное 
ная дробь 
1
2
3
1
0,
,
,
,
, 0
9,
10
f
число D, т. е. ряд ¦
 110
n
n
n
a  сходится.  
p
n

Возьмем произвольное натуральное число n и оценим сумму ¦
n
k
k
k
a
10
 при 
 
любом 

p
N . В силу условия 0
9
d
d
k
a
 получаем, что: 
p
n
p
n


p
1

10
1
1
n
p
n
1
1
1



.
10
2
10
1
10
1
10
1
1
10
1
10
1
10
0
1
n
k
k
k
a
 
n
k
k
 


˜
 
¸
¹
·
¨
©
§

˜
˜
˜


 

d
¦
¦
n
 


10
1
1
10