Лекции по статической физике и кинетической теории газов

 
 
 
 
Е. А. ДОРОФЕЕВ 
 
 
 
 
 
ЛЕКЦИИ 
ПО СТАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКЕ 
И КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ГАЗОВ 
 
 
Учебное пособие 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Москва    Вологда 
«Инфра-Инженерия» 
2024 
1 

УДК 536 
ББК  22.317 
         Д69 
 
 
 
Рецензенты: 
доктор физико-математических наук, старший научный сотрудник  
(Центральный аэрогидродинамический институт им. Н. Е. Жуковского)  
Жаров Владимир Алексеевич; 
доктор физико-математических наук, профессор, главный научный сотрудник 
(институт теоретической и прикладной электродинамики РАН)  
Пухов Александр Александрович 
 
 
 
 
 
 
 
Дорофеев, Е. А. 
Д69  
Лекции по статической физике и кинетической теории газов : учебное 
пособие / Е. А. Дорофеев. – Москва ; Вологда : Инфра-Инженерия, 2024. – 
308 с. : ил., табл. 
ISBN 978-5-9729-1972-7 
 
Даны краткие основы термодинамики. Описан метод ансамблей Гиббса и на его 
основе изучены свойства идеальных систем, в частности квантовых ферми- и бозе- 
газов. Изучаются термодинамические свойства черного излучения и твердых тел. Рассматриваются химические реакции и неидеальный классический газ. Помимо тем, составляющих стандартный курс физической кинетики, таких как вывод кинетического 
уравнения Больцмана, H-теорема, теория Чепмена – Энскога, кинетика бинарной 
смеси, рассмотрены термострессовая конвекция и светоиндуцированные кинетические 
явления, а также дано введение в неравновесную термодинамику и в динамику разреженного газа.  
Для студентов бакалавриата и магистратуры, обучающихся по направлениям 
03.03.01 и 03.04.01 «Прикладные математика и физика», а также для аспирантов, специализирующихся в области теоретической и прикладной физики. 
 
УДК 536 
ББК 22.317 
 
 
 
ISBN 978-5-9729-1972-7 
© Дорофеев Е. А., 2024 
 
© Издательство «Инфра-Инженерия», 2024 
 
© Оформление. Издательство «Инфра-Инженерия», 2024 
2 

ОГЛАВЛЕНИЕ 
 
Предисловие ............................................................................................................. 4 
 
Часть I. Лекции по статистической физике 
....................................................... 5 
1. Термодинамика 
...................................................................................................... 5 
2. Термодинамика (продолжение) ......................................................................... 14 
3. Основные принципы статистики ....................................................................... 28 
4. Принципы квантовой статистики. Матрица плотности .................................. 35 
5. Распределение Гиббса 
......................................................................................... 46 
6. Свободная энергия больцмановского идеального газа ................................... 54 
7. Идеальный газ. Молекулярная структура и термодинамика 
.......................... 65 
8. Слабо неидеальный классический газ. Формула Ван-дер-Ваальса ............... 77 
9. Химические реакции ........................................................................................... 84 
10. Большой канонический ансамбль. Квантовые газы.  
Квантовые поправки ............................................................................................... 93 
11. Вырожденный ферми-газ. Энергия Ферми. Магнетизм электронного  
газа .......................................................................................................................... 105 
12. Вырожденный бозе-газ. Конденсация Бозе – Эйнштейна .......................... 113 
13. Черное излучение. Фононы в твердом теле 
.................................................. 123 
14. Термодинамика черной дыры ........................................................................ 135 
15. Флуктуации термодинамических величин ................................................... 141 
 
Часть II. Лекции по кинетической теории газов .......................................... 151 
1. Потенциальное рассеяние частиц .................................................................... 151 
2. Функция распределения. Кинетическое уравнение Больцмана ................... 166 
3. Кинетическое уравнение Больцмана для сложных молекул ........................ 176 
4. Свойства интеграла столкновений. H-теорема Больцмана 
........................... 188 
5. Переход к макроскопическим уравнениям 
..................................................... 196 
6. Кинетическое уравнение для слабо неоднородного газа .............................. 203 
7. Приближенное решение кинетического уравнения в случае  
одноатомного газа ................................................................................................. 213 
8. Кинетика бинарной смеси газов ...................................................................... 224 
9. Кинетика бинарной смеси. Частные случаи. Газ Лоренца  
и броуновское движение 
....................................................................................... 238 
10. Явления в слабо разреженных газах ............................................................. 251 
11. Светоиндуцированные кинетические эффекты в газе 
................................. 261 
12. Явления в газах при больших числах Кнудсена .......................................... 271 
13. Принцип симметрии кинетических коэффициентов Онзагера .................. 284 
14. Динамический вывод кинетического уравнения Больцмана 
...................... 295 
 
Литература 
............................................................................................................ 305 
 
 
3 

ПРЕДИСЛОВИЕ 
 
 
Предлагаемая читателю книга представляет собой довольно точную запись 
лекций, которые автор читал в течение ряда лет на факультете аэродинамики и 
летательной техники Московского физико-технического института (национального исследовательского университета) для студентов четвертого и пятого курса 
направления «Прикладные математика и физика». Содержание этих лекций 
определялось учебным планом, сложившимся на кафедре теоретической физики, 
довольно малым количеством времени, отведенным на этот курс (всего по одному семестру на каждый цикл лекций), ну и также личными установками и вкусами автора.  
В настоящее время существует большое количество книг по основам статистической физики [1–7]. И, казалось бы, нет особой необходимости в написании 
еще одной книги. На кафедре теоретической физики по многолетней традиции, 
как правило изложение курса статистической физики основывается на замечательном учебнике Ландау и Лифшица [1]. Но этот учебник слишком объемен для 
семестрового курса. И у студента возникает проблема выбора нужного материала. Современные студенты, как правило, не очень любят читать толстые бумажные книги и предпочитают иметь доступ к материалу через Интернет. С другой 
стороны, в некоторых случаях, особенно перед экзаменом, студенту полезно 
иметь весь лекционный материал сразу, а так как весь текст давно уже был написан, автор взял на себя труд собрать все в одно учебное пособие. Часть текста 
пособия написана по материалам других книг. Большинство заимствований сделано из книг [1] и [2], несколько приемов изложения взяты из книги [7]. 
Вторая часть книги представляет собой запись лекций по кинетической теории газов. В отличие от статистической физики учебников по кинетической теории газов гораздо меньше. Конечно есть замечательные монографии по теории 
процессов переноса в газах, например книга Чепмена и Каулинга [8] или более 
современный труд Ферцигера и Капера [9]. Однако эти монографии очень объемны и очень подробны. Они предназначены быть настольными книгами для 
специалистов. Поэтому, на взгляд автора, существует потребность в компактном 
учебном пособии по кинетической теории газов.  
В представленных лекциях изложение базовых понятий (функция распределения, вывод кинетического уравнения, H-теорема и т. д.) основано на первых 
главах книг [10, 11]. Изложение таких тем, как термострессовая конвекция, светоиндуцированные кинетические эффекты, основано на материале оригинальных статей [14, 15, 16, 18, 19]. 
 
 
 
 
 
4 

ЧАСТЬ I 
 
ЛЕКЦИИ  
ПО СТАТИСТИЧЕСКОЙ ФИЗИКЕ 
 
 
 
Лекция 1 
 
ТЕРМОДИНАМИКА 
 
Базовые понятия термодинамики. Начала термодинамики. Термодинамические потенциалы. Термодинамические соотношения Максвелла. Теорема о малых добавках. 
 
Термодинамика (ниже ॎ) – наука о наиболее общих свойствах макроскопических систем, находящихся в состоянии термодинамического равновесия, и о 
процессах перехода между этими состояниями. ॎ строится на основе фундаментальных принципов (начал), которые являются обобщением многочисленных 
наблюдений и выполняются независимо от конкретной природы образующих систему тел. Поэтому закономерности в соотношениях между физическими величинами, к которым приводит ॎ, имеют универсальный характер. Обоснование 
законов ॎ, их связь с законами движения частиц, из которых построены тела, 
даётся статистической физикой, которая позволяет выяснить и границы применимости ॎ. Статистическая физика и является, собственно, предметом нашего 
курса. 
 
Основные понятия термодинамики 
 
Термодинамическая система – любая макросистема. 
Термодинамические параметры – измеряемые макроскопические параметры 
(число частиц ܰ, температура ܶ, давление ܲ, объем ܸ). 
Замечание: существуют локальные параметры, например плотность в точке ߩ ሺݔ, ݕ, ݖሻ. 
Термодинамическое состояние – состояние термодинамической системы, зафиксированное совокупностью термодинамических параметров. Состояния бывают равновесными и неравновесными. 
Термодинамическое равновесие (равновесное состояние) – состояние системы, которое не меняется с течением времени. 
Термодинамический процесс – изменение состояния системы с течением времени. 
Замечание: Если в момент времени ݐ= 0 система является равновесной, то 
все изменения происходят только под действием внешних сил. 
5 

Равновесные и неравновесные состояния. Равновесным является такое 
состояние изолированной системы, в которое она переходит по истечении, 
строго говоря, бесконечно большого промежутка времени. Практически равновесие достигается за конечное время (время релаксации), которое зависит от 
природы тел, их взаимодействий, а также и от характера исходного неравновесного состояния. Если система находится в состоянии равновесия, то в равновесии находятся и отдельные её макроскопические части. При неизменных внешних условиях такое состояние не меняется со временем. Равновесное состояние 
полностью характеризуется небольшим числом физических параметров. 
Прежде всего, это температура, равенство значений которой для всех частей 
системы является необходимым условием термодинамического равновесия. 
Состояние однородных жидкости или газа полностью фиксируется заданием 
любых двух из трёх величин: температуры ܶ, объёма ܸ и давления ܲ. В более 
сложных случаях для полной характеристики равновесного состояния могут 
понадобиться и другие параметры (например, концентрации отдельных составляющих смеси газов, напряженность электрического поля, магнитная ин- 
дукция). 
Квазистатические процессы. В процессе перехода из одного равновесного 
состояния в другое, который может происходить под влиянием различных внешних воздействий, система проходит через непрерывный ряд состояний, не являющихся, вообще говоря, равновесными. Для реализации процесса, приближающегося по своим свойствам к равновесному, необходимо, чтобы он протекал достаточно медленно. Но сама по себе медленность процесса ещё не является достаточным признаком его равновесности. Так, процесс разрядки конденсатора 
через большое сопротивление или дросселирование (эффект Джоуля – Томпсона), при котором газ перетекает из одного сосуда в другой через пористую перегородку под влиянием перепада давления, могут быть сколь угодно медленными и при этом существенно неравновесными процессами. 
Обратимые процессы. Квазистатический процесс, представляя собой непрерывную цепь равновесных состояний, является обратимым – если его можно совершить в обратном направлении, изменяя внешние условия в обратном порядке, 
и при этом в окружающей среде не останется никаких изменений. ॎ даёт полное 
количественное описание обратимых процессов, а для необратимых процессов 
устанавливает лишь определённые неравенства и указывает направление их протекания. 
Функция состояния – характеристика термодинамической системы, обладающая следующим свойством. Изменение этой характеристики в любом замкнутом квазистатическом процессе равно нулю. Следствие: функция состояния не 
зависит от пути перехода между данными состояниями. Действительно, произвольный процесс в обратном направлении образует с каждым из прямых процессов замкнутый цикл, для которого указанная разность обращается в нуль. 
 
 
6 

Нулевое начало термодинамики 
 
Для каждой термодинамической системы существует функция состояния, 
называемая температурой системы ܶ. Равенство температур во всех точках 
есть условие равновесия двух систем или двух частей одной системы. 
 
Первое начало термодинамики 
 
Каждая термодинамическая система обладает характеристической функцией состояния системы – энергией ܷ. В любом процессе эта функция возрастает на величину, сообщаемой системе тепла, и уменьшается на величину работы, совершаемой системой: 
 
ߜܷ= ߜܳെߜܣ.
ሺ1.1ሻ 
 
Если речь идёт об однородном теле, которое способно совершать работу 
только при изменении объёма, то ߜܣ= ܸܲ݀ и бесконечно малое приращение 
(дифференциал) ܷ равно: 
 
ܷ݀= ߜܳെܸܲ݀,
ሺ1.2ሻ 
 
где ߜܳ – бесконечно малое приращение теплоты, не являющееся, однако, дифференциалом какой-либо функции. 
 
Комментарий. Существуют два принципиально различающихся способа изменения состояния системы: первый связан с работой системы по перемещению 
на макроскопические расстояния окружающих тел (или работой этих тел над системой); второй – с сообщением системе теплоты (или с отводом теплоты) при 
неизменном расположении окружающих тел. В общем случае переход системы 
из одного состояния в другое связан с сообщением системе некоторого количества теплоты ߜܳ и совершением системой работы ߜܣ над внешними телами. Как 
показывает опыт, при заданных начальном и конечном состояниях ߜܳ и ߜܣ существенно зависят от пути перехода. Другими словами, эти величины являются 
характеристиками не отдельного состояния системы, а совершаемого ею процесса. Первое начало термодинамики утверждает, что если система совершает 
термодинамический цикл (то есть возвращается в конечном счете в исходное состояние), то полное количество теплоты, сообщенное системе на протяжении 
цикла, равно совершенной ею работе. Первое начало ॎ представляет собой, по 
существу, выражение закона сохранения энергии для систем, в которых существенную роль играют тепловые процессы. Энергетическая эквивалентность теплоты и работы, то есть возможность измерения их количеств в одних и тех же 
единицах и тем самым возможность их сравнения, была доказана опытами  
Ю. Р. Майера (1842) и особенно Дж. Джоуля (1843). Первое начало ॎ было сформулировано Майером, а затем в значительно более ясной форме Г. Гельмгольцем 
7 

(1847). Приведённая выше формулировка первого начала равнозначна, очевидно, утверждению о невозможности вечного двигателя 1-го рода. 
 
Второе начало термодинамики 
 
Каждая термодинамическая система обладает характеристической функцией состояния системы – энтропией ܵ. Энтропия обладает следующими свойствами: 
1. Аддитивность. Энтропия системы, состоящей из двух подсистем, равна 
сумме энтропий подсистем ܵ= ܵଵ+ ܵଶ. 
2. Максимальность. Если изолированная система находится в термодинамическом равновесии, то ܵ имеет максимальное значение. 
3. Неубывание. Наиболее вероятным изменением энтропии ܵ является её 
возрастание (если изолированная система находится не в равновесии). 
4. Связь с теплотой. В произвольном процессе при малом изменении параметров системы 
 
  ߜܳ൑ܶ݀ܵ.
ሺ1.3ሻ 
  
 
  
Для квазистатического процесса  
 
  
                                                        ߜܳ= ܶ݀ܵ.                                                         ሺ1.4ሻ
 
 
Комментарий. Запрещая вечный двигатель 1-го рода, первое начало ॎ не исключает возможности создания такой машины непрерывного действия, которая 
была бы способна превращать в полезную работу практически всю подводимую 
к ней теплоту (так называемый вечный двигатель 2-го рода). Однако весь опыт 
по конструированию тепловых машин, имевшийся в начале XIX в., указывал на 
то, что КПД этих машин (отношение затраченной теплоты к полученной работе) 
всегда существенно меньше единицы: часть теплоты неизбежно рассеивается в 
окружающую среду. С. Карно первым показал (1824), что это обстоятельство 
имеет принципиальный характер, то есть любая тепловая машина должна содержать помимо нагревателя (источника теплоты) и рабочего тела, совершающего 
термодинамический цикл (например, пара), также и холодильник, имеющий температуру, обязательно более низкую, чем температура нагревателя. Второе 
начало представляет собой обобщение вывода Карно на произвольные термодинамические процессы, протекающие в природе. Р. Клаузиус (1850) дал 2-му 
началу следующую формулировку: 
 
(Ф1) Теплота не может самопроизвольно перейти от системы с меньшей температурой к системе с большей температурой. 
 
8 

.
ሺ1.5ሻ 
Независимо в несколько иной форме этот принцип высказал У. Томпсон (лорд 
Кельвин) в 1851: 
 
(Ф2) Невозможно построить периодически действующую машину, вся деятельность которой сводилась бы к поднятию некоторого груза совершению механической работы и соответствующему охлаждению теплового резервуара. 
 
Несмотря на качественный характер этого утверждения, оно приводит к далеко идущим количественным следствиям. Прежде всего, оно позволяет определить максимальный КПД тепловой машины. Если машина работает на основе 
цикла Карно, состоящем из двух изотермических и двух адиабатических участков, то на протяжении изотермического контакта с нагревателем (ܶ= ܶ
ଵ) рабочее тело получает количество теплоты ܳଵ, а на другом изотермическом участке 
цикла, находясь в контакте с холодильником (ܶ= ܶଶ), отдает ему количество 
теплоты ܳଶ. Отношение ܳଵ/ܳଶ должно быть одним и тем же у всех машин с обратимым циклом Карно, у которых одинаковы соответственно температуры 
нагревателей и холодильников, и не может зависеть от природы рабочего тела. 
Если бы это было не так, то машину с большей величиной указанного отношения 
можно было бы заставить работать в обратном направлении (поскольку циклы 
обратимы), приводя её в действие с помощью машины с меньшей величиной отношения. Эта комбинированная машина обладала бы тем свойством, что в ней 
теплота от холодильника передавалась бы нагревателю без совершения работы. 
Согласно 2-му началу ॎ это невозможно, и поэтому отношение ܳଵ/ܳଶ у обеих 
машин должно быть одинаковым. В частности, оно должно быть тем же, что и в 
случае, когда рабочим телом является идеальный газ. Здесь это отношение легко 
может быть найдено, и, таким образом, оказывается, что для всех обратимых 
циклов Карно 
 
ܳଵ
ܳଶ
= ܶ
ଵ
ܶଶ
 
Это выражение называется пропорцией Карно. В результате для всех машин 
с обратимым циклом Карно КПД максимален и равен ߟ= ሺܶ
ଵെܶଶሻ/ܶ
ଵ. В случае, 
если цикл необратим, то КПД оказывается меньше этой величины. Необходимо 
подчеркнуть, что пропорция Карно и КПД цикла Карно имеют указанный вид 
только в том случае, если температура измерена в абсолютной температурной 
шкале. Пропорция Карно положена в основу определения абсолютной температурной шкалы. 
Следствием 2-го начала ॎ (пропорции Карно) является существование энтропии как функции состояний. Если ввести величину ܵ, изменение которой при 
изотермическом обратимом сообщении системе количества теплоты ߜܳ есть 
ߜܵ= ߜܳ/ܶ, то полное приращение ܵ в цикле Карно будет равно нулю вследствие 
пропорции Карно; на адиабатических участках цикла ߜܵ= 0 (так как ߜܳ= 0), а 
9 

изменения на изотермических участках компенсируют друг друга. Полное приращение ܵ оказывается равным нулю и при осуществлении произвольного обратимого цикла, что доказывается разбиением цикла на последовательность бесконечно тонких циклов Карно (с малыми изотермическими участками). Отсюда 
следует (как и в случае внутренней энергии), что энтропия ܵ является функцией 
состояния системы, то есть изменение энтропии не зависит от пути перехода. 
Используя понятие энтропии, Клаузиус (1876) показал, что формулировка 2-го 
начала ॎ (Ф1) полностью эквивалентна следующей: существует функция состояния системы, её энтропия ܵ, приращение которой при обратимом сообщении 
системе теплоты равно 
 
݀ܵ= Ɂܳ
ܶ 
ሺ1.6ሻ 
 
При реальных (необратимых) адиабатических процессах энтропия возрастает, достигая максимальное значение в состоянии равновесия. 
 
Термодинамические потенциалы 
 
Для описания простой гомогенной термодинамической системы (с одной механической и одной термической степенями свободы, например газа, пара или 
жидкости) мы располагаем двумя парами переменных: механические ܲ, ܸ и термические ܶ, ܵ. Первое начало, записанное в этих переменных, примет вид 
 
ܷ݀= ܶ݀ܵെܸܲ݀.
ሺ1.7ሻ 
 
Здесь независимыми переменными являются две экстенсивные величины: 
ܵ и ܸ, зависимыми – сопряженные им интенсивные ܶ и ܲ. Таким образом, энергию ܷ следует рассматривать как функцию ܵ и ܸ: 
 
ܷ= ܷሺܵ, ܸሻ.
ሺ1.8ሻ 
 
Тогда две другие переменные заданы производными 
 
  ܶ= ൬μܷ
μܵ൰
௏
, ᩷ܲ= െ൬μܷ
μܸ൰
ௌ
.
ሺ1.9ሻ 
 
Однако независимые переменные можно выбрать самыми различными способами. Так, возможны четыре варианта, в которых одна переменная механическая, а другая термическая: 
 
1)Ԝܵ, ܸ᩷᩷2)Ԝܵ, ܲ᩷᩷3)Ԝܶ, ܸ᩷᩷4)Ԝܶ, ܲ. 
 
10