Исследование операций на базе Mathcad. Лекции, практика, лабораторные работы

 
 
ǧ. ǧ. ǾǬǷǴȆDZ, ǭ. ǧ. ǾǬǷǴȆDZ 
 
 
 
 
 
 
 
 
ǯǸǸDzǬǫǵǩǧǴǯǬ ǵǶǬǷǧǽǯǰ  
Ǵǧ ǨǧǮǬ MATHCAD 
 
DzǬDZǽǯǯ, ǶǷǧDZǹǯDZǧ, DzǧǨǵǷǧǹǵǷǴȂǬ ǷǧǨǵǹȂ 
 
 
 
ǺȞȌȈȔȕȌ ȖȕȘȕȈȏȌ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Москва    Вологда 
«Инфра-Инженерия» 
2024 
1 
 

УДК 519.2 
ББК 22.17 
Ч-49 
 
 
Р е ц е н з е н т ы :  
кандидат физико-математических наук, доцент физико-математического  
факультета БГПУ И. В. Кирюшин; 
кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики 
БГУИР Н. В. Князюк; 
кафедра физических и математических основ информатики БГАС 
 
 
 
 
 
 
Черняк, А. А. 
Ч-49  
Исследование операций на базе Mathcad. Лекции, практика, лабораторные работы : учебное пособие / А. А. Черняк, Ж. А. Черняк. - Москва ; 
Вологда : Инфра-Инженерия, 2024. - 308 с. : ил., табл.  
ISBN 978-5-9729-2136-2 
 
Учебное пособие посвящено комплексной дисциплине «Исследование операций», 
в которой реализуется идея математического моделирования экономических, инженерных и социальных процессов. Содержание разбито на главы: введение в математическое моделирование и балансовые линейные модели, оптимизация, модели управления запасами и системы массового обслуживания, математическая статистика и 
корреляционно-регрессионные модели, имитационное моделирование. Материал излагается на трех уровнях. На первом уровне приводятся основные теоретические положения и утверждения, для понимания и освоения которых не требуются значительные математические усилия. На втором уровне приводятся доказательства основных 
утверждений и теорем, а также теоретические упражнения с решениями, дополняющие содержание первого уровня. Третий уровень предназначен для освоения основных алгоритмических методов, что обеспечивается наборами вычислительных и компьютерных задач для проведения аудиторных занятий.   
 Для студентов всех форм обучения высших и средних специальных учебных заведений и их преподавателей. 
 
УДК 519.2 
ББК 22.17 
 
 
 
ISBN 978-5-9729-2136-2 
” Черняк А. А., Черняк Ж. А., 2024 
 
” Издательство «Инфра-Инженерия», 2024 
 
” Оформление. Издательство «Инфра-Инженерия», 2024 
2 
 

 
 
ǶǷǬǫǯǸDzǵǩǯǬ 
 
 
Данное учебное пособие посвящено комплексной дисциплине «Исследование операций», в которой реализуется идея математического моделирования 
экономических, инженерных и социальных процессов.  
Пособие разбито на главы: введение в математическое моделирование и 
балансовые линейные модели, оптимизация, модели управления запасами и системы массового обслуживания, математическая статистика и корреляционнорегрессионные модели, имитационное моделирование. 
При подготовке данного пособия авторы старались учесть следующие реалии современного образовательного процесса:  
а) различия в уровне исходной математической подготовки студенческой 
аудитории;  
б) внедрение систем компьютерной математики в образовательный процесс. 
В соответствии с принципом (а) материал излагается на трех уровнях.  
На первом уровне приводятся основные теоретические положения  
и утверждения, для понимания и освоения которых не требуются значительные 
математические усилия; изложение не отягощено терминологией и насыщено 
наглядными примерами.  
На втором уровне приводятся доказательства основных утверждений  
и теорем, а также теоретические упражнения с решениями, дополняющие содержание первого уровня. Поскольку эти разделы можно пропускать при первом чтении или предлагать наиболее продвинутым студентам, мы их вынесли  
в электронное приложение. Доступ к приложению через пароль открыт всем. 
Третий уровень предназначен для освоения основных алгоритмических 
методов, вытекающих из теоретических положений первого уровня, что обеспечивается наборами типовых вычислительных и компьютерных задач для проведения аудиторных занятий как с применением компьютерной техники (лабораторные работы), так и без нее (семинары и практикумы). Эти разделы можно 
также активно использовать в самостоятельной контролируемой работе студентов. 
В соответствии с принципом (б) изложение всех теоретических результатов ведется с точки зрения оценки их алгоритмической эффективности.  
При этом из книги исключены все трудоемкие вычислительные процедуры, 
рассчитанные на «ручной» счет, с которыми вполне успешно справляются такие системы компьютерной математики, как Mathcad. Аналогичная концепция 
была реализована авторами также в учебных пособиях [1-3]. 
Мы также постарались придать книге современное звучание, адаптировав 
ряд ключевых результатов последних десятилетий для студентов вузов. Среди 
них: регуляризация неустойчивых задач оптимизации, позволяющая преодоле3 
 

вать разрыв между реальными явлениями и их математическими моделями; использование понятий сложности алгоритмов для оценки их эффективности; 
преодолено разделение общей задачи линейного программирования на вырожденный и невырожденный случаи; приведена простая реализация симплексметода для исключения «зацикливания», параллельно решающая проблему 
нахождения начального базисного плана; дана обобщенная сетевая модель, 
включающая в качестве частных случаев различные оптимизационные задачи, 
связанные с потоковыми алгоритмами; транспортные задачи и задачи динамического программирования решаются с помощью графов, обеспечивающих 
наглядность в обосновании алгоритмов. 
Книга может быть использована студентами всех форм обучения высших 
и средних специальных учебных заведений и их преподавателями. 
 
 
4 
 

 
 
ǸǶǯǸǵDZ ǸǵDZǷǧȀǬǴǯǰ 
 
 
КС - совместность канонической системы. 
ЛП - линейное программирование. 
ЛПО - задача линейного программирования общая. 
МВП - максимальная величина потока. 
ОП - оптимальный поток. 
ПВ - правило выбора. 
ПД - правило дробления. 
РС - совместность и разрешимость. 
СС - совместность системы. 
ЦЛП - целочисленное линейное программирование. 
 
 
 
 
 
 
 
5 
 

 
 
ǪDzǧǩǧ 1 
ǩȉȌȋȌȔȏȌ ȉ ȓȇșȌȓȇșȏȞȌȘȑȕȌ ȓȕȋȌȒȏȗȕȉȇȔȏȌ.  
ǨȇȒȇȔȘȕȉȢȌ ȒȏȔȌȐȔȢȌ ȓȕȋȌȒȏ 
 
 
† 1.1. ǶȕȔȦșȏȌ ȕ ȓȇșȌȓȇșȏȞȌȘȑȕȓ ȓȕȋȌȒȏȗȕȉȇȔȏȏ 
ȓȕȋȌȒȏ 
 
Под математической моделью обычно подразумевают систему математических уравнений, неравенств, логико-математических конструкций и выражений, описывающих свойства реального объекта, его параметры, внутренние 
и внешние связи. 
Математические модели различаются по форме представления. В нашей 
книге вы встретитесь с аналитическими и имитационными моделями. В аналитических моделях процессы, происходящие в реальных объектах, записываются 
в виде функциональных соотношений. Аналитические модели - это системы 
алгебраических, дифференциальных, интегральных, конечно-разностных уравнений, логических условий. Имитационные модели применяют тогда, когда построение аналитической модели превращается в трудноразрешимую проблему. 
Можно сказать, что имитационные модели - это такие математические модели, 
с помощью которых нельзя заранее вычислить или предсказать поведение объекта, а для предсказания поведения объекта необходимы многочисленные вычислительные эксперименты. 
В соответствии с характером процессов, протекающих в объекте, модели могут быть статическими или динамическими, детерминированными или 
стохастическими, дискретными или непрерывными. 
Статической называется модель объекта, отражающая объект в какой-то 
отдельный момент времени, т. е. «моментальная фотография» оригинала. 
Например, закон Ньютона F
ma
 
 - это статическая модель движущегося с 
ускорением a объекта массой m в фиксированный момент времени. Динамическая модель, в отличие от статической, учитывает изменения, происходящие в 
системе с течением времени. Это может выражаться в зависимости исходных 
данных от времени. Например, модель 
2/2
S
gt
 
 - динамическая модель пути 
при свободном падении объекта. 
Непрерывные модели отражают непрерывные процессы, протекающие,  
в частности, во времени. Значения независимой переменной (аргумента) принадлежат континуальному множеству. Континуальное множество обладает 
свойством, соответственно которому между любыми сколь угодно близкими 
точками множества всегда можно найти еще более близкие точки. Очень часто 
6 
 

такой характер изменения приписывается времени. Например, модель 
2/2,
S
gt
 
 
0
50
t
 
 непрерывна на промежутке времени (0; 50). Дискретные модели 
отображают поведение систем с дискретными состояниями. Если рассматривать, например, только моменты времени 0, 1, 2, ..., 10 (с), то непрерывная модель 
2/2
S
gt
 
 превращается в дискретную числовую последовательность 
0
1
2
3
10
0,
/2,
2 ,
9 /2, ...,
50 ,
S
S
g
S
g S
g
S
g
 
 
 
 
 
 моделирующую движение свободно падающего объекта. 
Детерминированными называются модели, в которых отсутствуют какие 
бы то ни было случайные внешних или внутренние воздействия. В таких моделях все поведение объекта определяется конкретными значениями началь- 
ных условий и входных переменных. Иначе говоря, в них все точно опреде- 
лено (детерминировано). Вероятностными являются модели, в которых учитывается случайный характер изменений значений входных, промежуточных и 
выходных переменных, а также параметров моделируемого объекта. Если бы 
модель 
2/2,
S
gt
 
 0
50
t
 
 учитывала такой случайный параметр, как порыв 
ветра с силой P, то мы получили бы вероятностную модель 
 
 
2/2,
S P
g P t
 
 
0
50
t
 
 «несвободного» падения. В том случае, когда независимой переменной служит время, соответствующие вероятностные модели называются стохастическими. Такие модели характеризуются функциями или плотностями распределения вероятностей и средними характеристиками смещения и рассеяния, 
такими, например, как математическое ожидание и дисперсия. 
По цели создания и применения различают модели: балансовые, оптимизационные, сетевые, систем массового обслуживания, эконометрические и т. д. 
Балансовые модели предназначены для анализа и планирования производства и распределения продукции на различных уровнях - от отдельного 
предприятия до народного хозяйства в целом. Эконометрические модели служат для анализа и прогнозирования конкретных экономических процессов с 
использованием реальной статистической информации. Оптимизационные модели позволяют, например, найти из множества возможных вариантов наилучший вариант производства, распределения или потребления. Ограниченные ресурсы при этом будут использованы наиболее эффективным образом для 
достижения поставленной цели. Сетевые модели наиболее широко применяются в управлении проектами. Сетевая модель может быть предназначена, например, для организации операций в такой последовательности, чтобы сроки выполнения проекта или его стоимость были минимальными. Модели систем 
массового обслуживания создаются для минимизации затрат времени на ожидание в очереди и времени простоев каналов обслуживания. 
При построении математической модели реальный объект всегда упрощается, схематизируется и затем описывается с помощью соответствующего 
математического аппарата. Общих способов построения математических моделей нет: в каждом случае модель выбирается исходя из задачи исследования. 
Если исходные данные известны неточно, то нет смысла строить очень подробную и точную модель и тратить время на точную оптимизацию решения.  
7 
 

Составителя модели всегда подстерегают две опасные крайности: а) утонуть в 
подробностях; б) слишком огрубить реальный объект или явление, потеряв их 
существенные свойства. Поэтому построение математической модели требует 
глубоких знаний не только и не столько математики, сколько существа моделируемых явлений. Построение математической модели имеет целью выявление 
оптимального решения, обеспечивающего максимальную эффективность. А для 
этого надо располагать каким-то количественным критерием, показателем эффективности - целевой функцией. Этот показатель выбирается так, чтобы он 
наилучшим образом отражал целевую направленность объекта. 
Итак, для построения математической модели объекта необходимо определиться с математическим аппаратом для описания зависимости основных 
свойств объекта от значений переменных, задуматься над его внутренними и 
внешними связями. Затем следует математически проанализировать множественность решений, их устойчивость относительно изменения начальных 
данных. Следующий этап - разработка алгоритма математического анализа 
модели с дальнейшей его реализацией на компьютере. Алгоритм анализа математической модели есть совокупность предписаний, обеспечивающих выполнение математических операций и логических действий, необходимых для достижения цели моделирования. 
Математическая модель никогда не бывает полностью тождественна рассматриваемому объекту, и, следовательно, результаты, полученные при анализе 
модели, всегда носят приближенный характер. Поэтому желательно проводить 
дополнительные вычислительные эксперименты: изучать поведение модели 
при различных начальных данных, и на этой основе оценивать адекватность 
модели моделируемому объекту. 
После анализа результатов моделирования осуществляется их интерпретация, т. е. перевод результатов в термины предметной области. Обычно тот, 
кому нужны результаты исследований, не обладает терминологией математики 
и моделирования и может выполнять свои задачи, оперируя лишь хорошо знакомыми ему понятиями. Поэтому необходимо осуществить обратный перевод 
полученных результатов с математической терминологией на язык, на котором 
первоначально формулировалась исходная задача. 
Все эти этапы будут, в той или иной степени, продемонстрированы в главах этой книги. А начнем мы с балансовых моделей. 
 
 
† 1.2. dzȇșȌȓȇșȏȞȌȘȑȏȐ ȇȖȖȇȗȇș  
ȋȒȦ ȈȇȒȇȔȘȕȉȢȜ ȓȕȋȌȒȌȐ 
 
Говорят, что матрица или вектор положительны (неотрицательны), если 
все их элементы положительные (неотрицательные). Запись 
0
!
A
 или 
0
x !
G
 
(
0
t
A
 или 
0
x t
G
) означает, что матрица А или вектор x
G  положительны (неотрицательны). Число D называется собственным значением квадратной матри- 
8 
 

цы А, если существует такой ненулевой вектор-столбец 
,
a
G  для которого 
.
a
a
D
 
AG
G  Ненулевой вектор a
G  называется собственным вектором матрицы А, 
соответствующим собственному значению D (нулевой вектор не считается собственным). 
Пусть O - некоторая переменная, 
O

A
E  - определитель квадратной 
матрицы 
.
O

A
E  Уравнение 
0
O

 
A
E
 называется характеристическим 
уравнением матрицы А. Число D является собственным значением квадратной 
матрицы А, если и только если D - корень ее характеристического уравнения. 
Следующую теорему приведем без доказательства. 
Теорема 1.2.1 (Перрона - Фробениуса). Квадратная неотрицательная 
матрица А имеет неотрицательное действительное собственное значение 
,
OA   
и модуль любого собственного значения матрицы А не превосходит OA   
(OA  называется максимальным собственным значением матрицы А). Среди 
собственных векторов, соответствующих 
,
OA  имеется неотрицательный вектор. 
Если А положительна, то OA  превосходит модули всех других собственных 
значений матрицы А, и среди собственных векторов, соответствующих 
,
OA  
имеется положительный вектор. 
Следствие 1.2.1. Если в квадратной неотрицательной матрице А сумма 
элементов каждого столбца равна 1, то максимальное собственное значение OA  
матрицы А равно 1. 
Неотрицательная квадратная матрица А порядка n называется продуктивной, если для любого неотрицательного вектора-столбца 
n
y
R

G
 существует неотрицательный вектор-столбец 
n
x
R

G
 такой, что 
.
Ax
y
x

 
G
G
G  
Теорема 1.2.2. Неотрицательная квадратная матрица А продуктивна, если 
и только если ее максимальное собственное значение OA  меньше 1. 
Следствие 1.2.2. Неотрицательная квадратная матрица А порядка n продуктивна, если и только если для матрицы 

E
A существует обратная неотрицательная матрица. 
 
 
† 1.3. ǨȇȒȇȔȘȕȉȢȌ ȓȕȋȌȒȏ ȓȔȕȊȕȕșȗȇȘȒȌȉȕȐ ȤȑȕȔȕȓȏȑȏ 
 
Многие экономические кризисы связаны с нарушением баланса между 
производством и потреблением. Поэтому баланс между произведенной продукцией и потреблением является важным критерием как для макроэкономики, так 
и для микроэкономики. 
Пусть имеется n различных отраслей, каждая из которых производит свой 
продукт. Введем следующие обозначения: 
i
x  – общий объем произведенной 
продукции i-й отраслью (валовый выпуск продукции); 
ik
x  - объем продукции, 
9 
 

произведенной i-й отраслью и потребленный k-й отраслью в процессе производства; 
i
y  – объем продукции i-й отрасли, предназначенный к потреблению в 
непроизводственной сфере (конечный продукт, включающий накопления, личное и общественное потребление, экспорт и т. д.); 
k
z  – прибавочная стоимость 
k-й отрасли (часть дохода, идущего на зарплату, амортизацию, инвестиции  
и т. д.); 
i
p  – цена единицы продукции i-й отрасли. В этих обозначениях данные 
о межотраслевом балансе удобно представить в виде табл. 1.3.1, где каждая отрасль фигурирует как производящая и как потребляющая. 
 
ǹȇȈȒȏȝȇ 1.3.1 
 
 
1 
2 
... 
n 
Конечный 
продукт 
Валовый 
продукт 
 
1 
р1 х11 р1 х12 ... 
р1 х1n 
р1 
y1 
p1 
x1 
 
2 
p2 x21 p2 x22 ... 
p2 x2n 
p2 
y2 
p2 
x2 
 
... 
... 
... ... 
.. 
... 
... 
... 
... 
... 
... 
... 
 
n 
pn xn1 pn xn2 ... 
pn xnn 
pn 
yn 
pn 
xn 
Прибавочная 
стоимость 
z1 
z2 
... 
zn 
 
 
Доход 
p1 x1 p2 x2 
... 
pn 
xn 
 
 
 
Валовая продукция любой отрасли равна сумме конечной продукции 
данной отрасли и объемов ее продукции, потребляемой другими отраслями, что 
может быть отражено в следующих балансовых соотношениях: 
 


1
2
...
,
1, 2, ...,
.
i
i
i
in
i
x
x
x
x
y
i
n
 



 
 
(1.3.1) 
Общий доход k-й отрасли, равный 
,
k
k
p x
 состоит из суммы, идущей на закупку продукции у других отраслей, равной 
1 1
2
2
...
,
k
k
n
nk
p x
p x
p x



 и прибавочной стоимости 
.
k
z
 Это отражено в следующих балансовых соотношениях: 
 


1 1
2
2
...
,
1, 2, ...,
.
k
k
k
k
n
nk
k
p x
p x
p x
p x
z
k
n
 




 
 
(1.3.2) 
Умножим обе части i-го равенства в (1.3.1) на 
,
1, 2, ..., ,
i
p i
n
 
 а затем 
сложим все эти равенства почленно: 
n
n
n
n
i
i
i
ik
i
i
i
i
k
i
p x
p x
p y
 
 
 
 
 
1
1
1
1
.
§
·
 

¨
¸
©
¹
¦
¦ ¦
¦
 
(1.3.3) 
Сложим почленно равенства в (1.3.2): 
n
n
n
n
k
k
i
ik
k
k
k
i
k
p x
p x
z
 
 
 
 
 
1
1
1
1
.
§
·
 

¨
¸
©
¹
¦
¦ ¦
¦
 
(1.3.4) 
10