Двойные и криволинейные интегралы

 
 
 
 
 
 
И. В. Войтко, Е. М. Пастушок, Е. И. Распутина 
 
 
 
 
 
ДВОЙНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 
 
 
Учебное пособие 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Москва    Вологда 
«Инфра-Инженерия» 
2024 
 
 

УДК 517.2/.3 
ББК 22.16 
В65 
Рецензенты: 
доктор технических наук Сухотерин Михаил Васильевич;
доктор технических наук Кондратьева Лидия Никитовна 
Войтко, И. В. 
В65  
Двойные и криволинейные интегралы : учебное пособие / И. В. Войтко, 
Е. М. Пастушок, Е. И. Распутина. – Москва ; Вологда : Инфра-Инженерия, 
2024. – 108 с. : ил., табл. 
ISBN 978-5-9729-1990-1 
Изложены основные теоретические понятия и формулы курса высшей математики 
для технических вузов по темам «Двойные интегралы» и «Криволинейные интегралы». Содержит большое количество подробно разобранных примеров, задачи для 
самостоятельной работы с ответами, вопросы для самоконтроля, решение типового 
варианта и 30 вариантов индивидуальных заданий.  
Для студентов 2-го курса технических направлений и специальностей, изучающих 
данные темы в курсе высшей математики. 
УДК 517.2/.3 
ББК 22.16 
ISBN 978-5-9729-1990-1 
” Войтко И. В., Пастушок Е. М., Распутина Е. И., 2024
” Издательство «Инфра-Инженерия», 2024 
” Оформление. Издательство «Инфра-Инженерия», 2024 

ОГЛАВЛЕНИЕ 
 
ВВЕДЕНИЕ .................................................................................................................. 4
1. ДВОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ ......................................................................................... 6
1.1. Определение двойного интеграла 
....................................................................... 6
1.2. Основные свойства двойного интеграла 
............................................................ 8
1.3. Геометрический смысл двойного интеграла ..................................................... 8
1.4. Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах ....................... 10
1.4.1. Приведение двойного интеграла к повторному  
в случае прямоугольной области ............................................................................. 10
1.4.2. Приведение двойного интеграла к повторному  
в случае криволинейной области 
............................................................................. 13
1.4.3. Изменение порядка интегрирования ............................................................. 23
1.5. Вычисление двойного интеграла в полярных координатах .......................... 28
1.6. Приложения двойного интеграла ..................................................................... 36
1.7. Вопросы для самоконтроля и задачи для самостоятельного решения ......... 41
1.7.1. Вопросы для самоконтроля ............................................................................ 41
1.7.2. Задачи для самостоятельного решения 
......................................................... 41
2. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 
.................................................................... 43
2.1. Криволинейный интеграл первого рода (по длине дуги) 
............................... 43
2.1.1. Определение и свойства криволинейного интеграла первого рода 
........... 43
2.1.2. Вычисление криволинейного интеграла первого рода ............................... 45
2.2. Криволинейный интеграл второго рода (по координатам) 
............................ 47
2.2.1. Определение и свойства криволинейного интеграла второго рода ........... 47
2.2.2. Вычисление криволинейного интеграла второго рода ............................... 49
2.2.3. Криволинейный интеграл по замкнутому контуру. Формула Грина. ....... 53
2.2.4. Условие независимости криволинейного интеграла от пути 
интегрирования. 
......................................................................................................... 56
2.3. Приложения криволинейных интегралов ........................................................ 58
2.4. Вопросы для самоконтроля и задачи для самостоятельного решения ......... 60
2.4.1. Вопросы для самоконтроля ............................................................................ 60
2.4.2. Задачи для самостоятельного решения 
......................................................... 61
3. ВАРИАНТЫ ИНДИВИДУАЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ И РАЗБОР ТИПОВОГО 
ВАРИАНТА ............................................................................................................... 63
3.1. Разбор типового варианта ................................................................................. 63
3.2. Варианты индивидуальных заданий ................................................................ 72
Заключение 
............................................................................................................... 102
Приложение ............................................................................................................. 103
Библиографический список 
.................................................................................... 104 
 
 
3 

ВВЕДЕНИЕ 
 
Большинство современных технических задач требует при своем решении 
хорошего математического образования и, в частности, знаний по высшей математике. Такие знания необходимы в задачах, которые ставят физика, автоматика, 
электротехника, радиотехника и другие профильные инженерные дисциплины. 
Владение основами теории функции нескольких переменных, с помощью 
которой описываются многие процессы в технике, требуется любому инженеру. 
В данном учебном пособии изложены основы интегрального исчисления функций нескольких переменных: двойные и криволинейные интегралы. 
Предлагаемое учебное пособие «Двойные и криволинейные интегралы» 
является результатом многолетней преподавательской работы авторов: чтения 
лекций, проведения практических занятий, зачетов и экзаменов со студентами и 
курсантами различных направлений и специальностей в ГУМРФ имени адмирала С. О. Макарова. Работая над пособием, авторы стремились к такому изложению и подаче материала, которые не только не отпугнули бы обучающегося, 
но, создав математическую базу для дальнейшего изучения курса математики и 
других предметов, способствовали успешному изучению профессиональных 
дисциплин. 
Основная цель учебного пособия заключается в том, чтобы объяснить студентам и курсантам теорию кратных и криволинейных интегралов как обобщение однократных интегралов простым доступным языком, помочь самостоятельно освоить теоретический материал и выполнить контрольную работу по 
данной теме. Основываясь на опыте преподавательской работы, авторы считают, 
что студенты, а особенно те, кто имеет значительный перерыв или пробелы в 
довузовской математической подготовке, значительно легче усваивают новый 
материал, если он сопровождается достаточно большим числом иллюстрирующих его примеров. Поэтому авторы постарались соединить в одной книге учебник и руководство к решению задач. Изложение теоретического материала в 
учебном пособии краткое, но тщательно проработанное для всех ведущих понятий и положений курса.  
Учебное пособие состоит из трех разделов, в каждом из которых, кроме 
изложения материала и разбора типовых задач, содержатся вопросы для самостоятельной работы с материалом, способствующие более глубокому изучению 
указанных тем, а также варианты индивидуальных заданий для обучающихся, 
которые могут быть использованы преподавателями для организации самостоятельной работы студентов. В конце учебного пособия в приложениях размещен 
краткий справочный материал по интегралам. 
4 

В первом разделе пособия приведен краткий теоретический материал: 
определение, свойства, геометрический и физический смысл, методы вычисления и приложения двойного интеграла. 
Во втором разделе приведен так же, как и в первом, краткий теоретический 
материал: определение, свойства, геометрический и физический смысл, методы 
вычисления и приложения криволинейных интегралов. Первый и второй разделы содержат большое количество подробно разобранных и проиллюстрированных примеров. В конце каждого раздела приведены вопросы и задачи с ответами для самостоятельной работы в рубрике «Вопросы для самоконтроля и задачи для самостоятельного решения». 
Третий раздел содержит разбор типового варианта и 30 индивидуальных 
вариантов заданий. Каждый вариант состоит из 9 заданий различной степени 
сложности. 
Пособие предназначено для студентов технических вузов, изучающих данные темы в курсе высшей математики. Авторы считают, что пособие поможет 
более глубокому и полному усвоению студентами материала по данным в пособии разделам и будет соответствовать эффективной организации учебного процесса по курсу «Высшая математика» для студентов инженерно-технических 
специальностей. 
 
Уважаемый студент! 
 
Если ты открыл эту книгу, то старайся решать ВСЕ предлагаемые задачи. 
Это не какие-то разрозненные примеры, а целостный и методически продуманный курс обучения, цель которого – НАУЧИТЬ! 
 
 
 
5 

1. ДВОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ 
 
1.1. Определение двойного интеграла 
 
Двойной интеграл представляет собой обобщение определенного интеграла на случай функции двух независимых переменных, определенной в замкнутой ограниченной области на плоскости. 
Пусть в замкнутой области D на плоскости Oxy задана функция 


,
.
z
f x y
 
Выполним следующие действия: 
1. Разобьём область D произвольным образом на n непересекающихся частей D1, D2, …, Dn (пересекаться между собой они могут разве лишь по частям 
своих границ, рис. 1). 
 
 
Рис. 1 
 
Рис. 2 
 
Обозначим: 


S D  площадь области D, 
i
S
'
 – площадь области 
i
D ,  
1, 2, ..., 
i
n
 
. 
n
Тогда 


1
i
i
S
S D
 
'
 
¦
. 
2. В каждой части 
i
D  произвольным образом выберем точку 


;
i
i
i
P x y
  
и вычислим в ней значение функции 

,
i
i
f x y
. 
6 

3. Умножим 


,
i
i
f x y
 на 
i
S
'
 и составим сумму всех таких произведений: 
f x y
S
i
i
i
i
 


1
,
n
 
'
¦
. 
  (1) 
Сумма (1) называется интегральной суммой функции 


,
z
f x y
 
 в области D. 
4. Обозначим через i
r  – диаметр 
i
D  (наибольшее расстояние между точками её границы). Рангом разбиения r называется наибольший из диаметров частичных областей 
max i
i
r
r
 
. 
5. Производим дробление так, чтобы n of и 
0
r o
 (эти условия соответствуют неограниченному увеличению числа n частей Di и стягивании каждой из 
них в точку). 
 
Определение. Если существует конечный предел интегральной суммы 


0
1
lim
,
n
i
i
i
r
i
n
f x y
S
o
 
of
'
¦
, 
не зависящий ни от способа разбиения области D на части 
i
D , ни от выбора точек 
( ;
)
i
i
i
P x y , то он называется двойным интегралом от функции 


,
f x y  по области D и обозначается 


,
f x y dS
³³
. 
D
 


i
i
i
n
i
D
r
f x y dS
f x y
S
of
 
o
 
'
¦
³³
. 
(2) 




1
0
,
lim
,
n
В этом обозначении: 
³³  – знак двойного интеграла;  
D – область интегрирования; 


,
f x y  – подынтегральная функция; 


,
f
x y dS  – подынтегральное выражение; 
dS  – элемент площади. 
 
Теорема. Если функция 


,
z
f x y
 
 непрерывна в ограниченной замкнутой 
области D, то она интегрируема в этой области. 
В дальнейшем будем рассматривать только функции, непрерывные в ограниченной замкнутой области интегрирования. 
7 

Замечание. В декартовой прямоугольной системе координат 
dS
dxdy
 
, поэтому 




,
,
.
f x y dS
f x y dxdy
 
³³
³³
 
D
D
1.2. Основные свойства двойного интеграла 
 
Свойства линейности (1) – (2) 
1. Постоянный множитель можно выносить за знак двойного интеграла: 




,
 
,
D
D
c f x y dS
c
f x y dS
 
³³
³³
, 
const
c  
. 
2. Двойной интеграл от суммы (разности) функций равен сумме (разности) 
интегралов от слагаемых: 










,
,
,
,
f x y
x y
dS
f x y dS
x y dS
r M
 
r
M
³³
³³
³³
. 
D
D
D
3. Свойство аддитивности: 






f x y dS
f x y dS
f x y dS
 

³³
³³
³³
, 
D
D
D
1
2
,
,
,
где D1 и D2 – области, на которые разбита область D некоторой кривой (рис. 2). 
4. Свойство монотонности.  
Если в области интегрирования D имеет место неравенство 

,
0,
f x y t
 то 


,
0
D
f x y dS t
³³
. 
 
1.3. Геометрический смысл двойного интеграла 
 
Цилиндрической называется поверхность, образованная движением прямой, перемещающейся в пространстве параллельно данной прямой l и пересекающей при этом данную кривую линию L. Прямая l называется образующей,  
а линия L – направляющей (рис. 3). 
8 

 
Рис. 3 
Пусть D – область на плоскости Oxy, ограниченная замкнутым контуром L; 
функция 


,
z
f x y
 
 определена, непрерывна и неотрицательна в области D. Рассмотрим тело Ÿ в пространстве, ограниченное снизу плоской областью D;  
с боков – цилиндрической поверхностью с направляющей L и образующими, параллельными оси Oz; сверху – частью поверхности V, заданной уравнением 


,
z
f x y
 
 (рис. 4). Такое тело называется цилиндрическим. 
 
 
Рис. 4 
Объём цилиндрического тела численно равен двойному интегралу от неотрицательной функции 

,
f x y  по области D 
 


,
D
V
f x y dS
 ³³
.   
(3) 
Если подынтегральная функция 


,
1
f x y { , то значение двойного интеграла численно равно площади области интегрирования 
 
D
D
dS
S
 
³³
.  
  (4) 
 
 
 
9 

1.4. Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах 
 
1.4.1. Приведение двойного интеграла к повторному  
в случае прямоугольной области 
 
Пусть область D является прямоугольником со сторонами, параллельными 
осями координат 
^
`
,
D
a
x
b c
y
d
 
d
d
d
d
 (рис. 5). 
 
 
Рис. 5 
 
Тогда 
b
d
 




,
,
f x y dxdy
dx f x y dy
 
³³
³ ³
,  
   (5) 
D
a
c
или  
d
b
 




,
,
f x y dxdy
dy
f x y dx
 
³³
³ ³
. 
(6) 
D
c
a
Интегралы, стоящие в правых частях формул (5) и (6), называют повторными (или двукратными) интегралами. 
Чтобы вычислить двукратный интеграл (5), нужно сперва найти внутренний интеграл, т. е. вычислить определённый интеграл 
d


,
f x y dy
³
, 
c
считая переменную x постоянной величиной. Результат вычисления интеграла (5) – функция одной переменной x. Интегрируя полученную функцию  
в пределах от a до b, вычислим внешний интеграл. 
 
 
10