Гидрогазодинамика: сборник задач с решениями

В. И. ПОПКОВ





                ГИДРОГАЗОДИНАМИКА




СБОРНИК ЗАДАЧ С РЕШЕНИЯМИ



Учебное пособие










Москва Вологда «Инфра-Инженерия» 2024

УДК 532.5
ББК 22.253
     П57




Рецензенты:
кафедра «Прикладная механика и физика» Брянского государственного инженерно-технологического университета;
заслуженный деятель науки РФ, д. т. н., профессор А. И. Кириллов (СПбГПУ)









     Попков, В. И.
П57 Гидрогазодинамика: сборник задач с решениями : учебное пособие / В. И. Попков. - Москва ; Вологда : Инфра-Инженерия, 2024. - 160 с. : ил., табл.

         ISBN978-5-9729-1718-1


         Сборник содержит более 100 задач по основным разделам гидрогазодинамики с подробными решениями. К задачнику прилагаются таблицы газодинамических функций, облегчающие численные расчеты, и другие справочные материалы.
         Для студентов, обучающихся по программам подготовки бакалавров по направлениям 13.03.03 «Энергетическое машиностроение», 15.03.01 «Машиностроение», 15.03.03 «Прикладная механика». Может быть полезно студентам других специальностей и направлений, изучающим механику жидкости и газа или гидравлику.


                                                                    УДК 532.5
                                                                    ББК 22.253





ISBN 978-5-9729-1718-1

    © Попков В.И., 2024
    © Издательство «Инфра-Инженерия», 2024
                            © Оформление. Издательство «Инфра-Инженерия», 2024

ОГЛАВЛЕНИЕ


Предисловие ...........................................4
1. Физические свойства жидкостей и газов...............6
2. Равновесие жидкостей и газов ......................13
3. Кинематика жидкостей и газов.......................27
4. Движение несжимаемой жидкости .....................38
5. Одномерные течения газа ...........................70
6. Потенциальные течения ............................111
7. Адиабатические сверхзвуковые течения .............119
Список использованной и рекомендуемой литературы.....136
Приложения...........................................138

3

ПРЕДИСЛОВИЕ


     Дисциплина «Гидрогазодинамика» («Механика жидкости и газа») входит в учебные планы многих машиностроительных, энергетических и теплотехнических специальностей и направлений подготовки бакалавров. Методы гидрогазодинамики широко применяются в энергомашиностроении, атомной энергетике, гидроэнергетике, авиации, космонавтике, кораблестроении, трубопроводном и пневмотранспорте, системах автоматического регулирования и управления, водоснабжении и многих других отраслях техники. В процессе изучения студент должен овладеть основными теоретическими и экспериментальными методами механики жидкости и газа. Изучение этого курса должно подготовить будущего специалиста к решению задач по расчету, проектированию, исследованию и эксплуатации машин и технических систем, где в качестве рабочего тела применяются жидкости и газы, или устройств, взаимодействующих с жидкостями и газами в процессе функционирования.
     В условиях ограниченности времени на изучение дисциплины необходимым элементом успешного обучения является активная самостоятельная работа над курсом. Теоретический материал усваивается прочно и эффективно, если он сопровождается самостоятельным решением практических задач. Предлагаемое пособие ставит целью помочь студентам понять основные идеи и методы механики жидкости и газа путем знакомства с подробными решениями конкретных практических задач.
     Задачи, собранные в пособии, имеют разный уровень сложности. Все задачи сопровождаются подробными решениями, цель которых - изложить основные принципы и методы решения задач; показать не только разнообразие, но и единство идей и методов гидрогазодинамики. Основное назначение сборника - дать студентам, изучающим гидрогазодинамику, материал, который позволит выработать навыки применения теоретических сведений к решению конкретных технических задач.
     Автор сознательно отказался от теоретического введения к каждому разделу, предполагая, что решение задач будет сопровождаться параллельной работой с учебником. Тем не менее, основные

4

теоретические положения часто включаются в решение задачи. Пособие снабжено необходимым справочным материалом, приведенным в приложении.
     Пособие предназначено для студентов, обучающихся по программам подготовки бакалавров по направлениям 13.03.03 - «Энергетическое машиностроение», 15.03.01 - «Машиностроение», 15.03.03 -«Прикладная механика», может быть полезно студентам других специальностей и направлений, изучающим гидрогазодинамику, механику жидкости и газа или гидравлику.
     Автор выражает глубокую благодарность профессору А. И. Кириллову и кафедре «Прикладная механика и физика» БГИТУ за замечания, сделанные ими при рецензировании рукописи; студентам П. А. Гришанову и П. А. Яськову за выполненные для рукописи рисунки.

5

1. ФИЗИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ЖИДКОСТЕЙ И ГАЗОВ


     Задача 1. Емкость объёмом 2 м³ заполнена водой доверху. При нагревании от 10 до 20 °C через край емкости вылилось 3 л воды. Найти коэффициент температурного расширения воды в указанном диапазоне температур. Объём емкости считать неизменным [2].
     Решение. Температурный коэффициент объёмного расширения воды

1 AV

V дс

1 3-10-³
2' 10

1,5 ■ 10⁻⁴ К-¹.



     Задача 2. В отопительный котел поступает вода в объёме V - 50 м³ при температуре t = 70 °C. Сколько кубических метров воды V₁ будет выходить из котла, если нагревать ее до температуры 90 °C (температурный коэффициент объёмного расширения воды в данном температурноминтервалепринять pₜ - 0,00065 град"¹).
     Решение. Объём воды, выходящей из котла,
V₁ = V + АV = V + PₜVAt = 50 + 0,00065 • 50• 20 = 50,65 м³.

     Задача 3. Определить объем воды, который необходимо подать при гидравлических испытаниях в водовод диаметром d - 500 мм и длиной l = 1 км для повышения давления до р = 5 • 10⁶ Па. Водовод заполнен водой при атмосферном давлении ра = 760 мм рт. ст. Принять коэффициент объемного сжатия воды р ₋ 5 • 10 ¹⁰ Па⁻¹. Деформацией трубопровода пренебречь.
     Решение. Определяем объем водовода
V - — l - ³,¹⁴ •⁰,⁵ 10³ -196,25 м³.
4       4
Дополнительный объем воды найдем по формуле AV - рр • V'• Др - рр (V + AV)Др,

где V' = V + ду,Рр - коэффициент объемного сжатия, Др = р - ра -изменение давления. Отсюда

6

AV - PpApV - ⁵ '|⁽⁾ '°(5 -10⁶ - 760 -133)196,25 _
1 -pₚAp    1 -5-10⁻¹⁰(5-10⁶ -760-133)
- 0,482 m³.
     Задача 4. Определить повышение давления в воде, находящейся в герметически закрытом полностью заполненном резервуаре, при изменении температуры от 20 до 30 °C. Принять коэффициент температурного расширения воды д _ 150 ₋10⁻⁶ К⁻¹, коэффициент объемного сжатия воды pₚ - 5 -10⁻¹⁰ Па⁻¹. Считать материал резервуара абсолютно жестким.
     Решение. При открытом резервуаре за счет увеличения температуры объем воды увеличился бы на величину
АV - ptAtV,
где V - объем резервуара. Объем воды стал бы равен
V'- V + AV.
     Так как резервуар закрыт, материал резервуара абсолютно жесткий, то объем остается неизменным. При этом возрастет давление воды в резервуаре на величину
А ₋ AV ₋       PₜAV     ₋    PtAt     ₋
p V Pₚ (V ₊ PtAtV )Pₚ (1 ₊ PtAt )Pₚ
-______¹⁵⁰⁻¹⁰⁻⁶⁻¹⁰______-29,96-105 Па.
               (1 +150 -10⁻⁶ -10)5 -10⁻¹⁰
     Задача 5. Определить изменение давления в закрытом резервуаре, полностью заполненном керосином, при изменении температуры от 20 до 70 °C. Плотность керосина при 20 °C р = 820 кг/м³, коэффициент объемного расширения pt ₋ 0,96 -10⁻³ К⁻¹. Модуль объемной упругости керосина E ₋1,37 -10⁹ Па. Считать материал резервуара абсолютно жестким.
     Решение. Закон Гука для жидкостей dp _ dp 7 " E ’ где p - давление, р - плотность, dp - изменение давления, dp - изменение плотности, E - модуль объёмной упругости жидкости (в данном случае керосина). Отсюда

7

,  dp- E
dp = —---.
P

С ростом температуры плотность керосина уменьшается, поэтому


Р70°

Р20°
1 + №

---------—----------= 782,4 кг/м³.
1 + 0,96-10 ³(70-20)


     Находим изменение давления:

dp- E dp = —--      Р

(Р - Р )E = 37,6-1,37-10⁹ = 62,8 -106 Па. p                  820

     Задача 6. В замкнутом баллоне находится воздух при давлении р₀ = 1 ■ 10⁵ Па и температуре То = 293 К. Насколько изменится давление в баллоне, если температура воздуха повысится на 20 градусов? Корпус баллона считать абсолютно жестким.
     Решение. При повышении температуры плотность воздуха в замкнутом баллоне остается постоянной, т. е.
= А = _Р_
Р RT₀ RTi
     Отсюда
            _    _   _    ________ Ро,„
ДР = Pi - р₂ = pR(Ti - То) = -°(Ti - То) =
                                      'о
= ^ДТ = ¹¹°1²°= 6,83 кПа.
То      293


     Ответ: ДР = 6,83 кПа.
     Задача 7. Плотность воды вблизи поверхности океана р0 = = 1026 кг/м³. Найти плотность рн воды на дне Марианской впадины в Тихом океане (глубина впадины Н = 11034 м). Принять модуль объёмной упругости для воды Ев = 2,1 ■ 10⁹ Па [2].
Решение. Закон Гука для жидкостей dp dp Рр~Ё^’ где р - давление, Еж - модуль объёмной упругости жидкости (в данном случае воды). Отсюда
dp =    (*)

8

     С другой стороны, приращение давления с увеличением глубины dp = pgdh. (**)
     Приравнивая (*) и (**), получим:
                         E-.dp
----— pgdh.


     Откуда

dp
Р²

- —dLh..
'А

После интегрирования
Рн

/РН

Ро

— dh
Е₃

н

о

получаем

Ро

pH—(l-p°gH)⁻
= 1026/11 -¹⁰²⁶'⁹,⁸-11034 1 = 1083 кг/м³.
I  2,1-10⁹    J


      Задача 8. Один из полетов между пунктами А и В происходил при числе МахаМi = 2 и длился 11 = 13,5 мин, а второй - при числе М2 = 2,2 и продолжался 12 =12 мин. Оба полета совершались в безветренную погоду. Найти соотношение температур атмосферы во время полетов.
      Решение. Обозначим расстояние между пунктами А и В через S. Тогда

S S

S

t 1 ci

a₁M ₁ JRRMМ₁ ’

S

S

S _____ _________
² = c₂ = a₂M₂ = RkRT₂M₂.

9

Разделим первое выражение на второе: h₌м 2 T 12 M1 v/

TL ₌ M¹. £ ₌ ² ⁴³,⁵ ₌ 1,046. T1 м₂² 1₂²      2,2² -12²

     Задача 9. Найти число Маха потока воздуха, при котором удельная кинетическая энергия в 4 раза больше удельной внутренней энергии. Принять модель термодинамически совершенного газа.
     Решение. Удельная кинетическая энергия газа равна c²/2 где c -скорость потока; удельная внутренняя энергия совершенного газа -cᵥT, где cᵥ - теплоемкость газа при постоянном объеме, T - температура. Отношение удельной кинетической энергии к удельной внутренней энергии:    2      2   
                ------ = _c--                2cvT 2RT ■    
                k -1          

     Преобразуем это соотношение, умножив числитель и знаменатель на показатель адиабаты k:

c² _ kc² _ k (k -1) c² _ k (k -1) c² _ k (k -1)M²
           2cᵥT ~ 2kRT ~ 2kRT ~      2a²    "     2
                 k -1

По условию задачи

k (k -1)M² ₌ ₄
2

Откуда

8
k (k -1)

8
1,4 ■ (1,4 -1)

= 14,286.

M²

     Извлекая квадратный корень, получаем:
M = 3,78.
     Задача 10. При изоэнтропическом расширении некоторого газа отношение температур составило T2 / T = 0,7, а отношение давлений p2/ p 1 = 0,221. Найти показатель изоэнтропы [2].

10