Высшая математика

 
 
 
 
А. И. Канарейкин  
 
 
 
 
 
 
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА 
 
 
 
Учебник  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Москва   Вологда 
«Инфра-Инженерия» 
2024 

УДК 51 
ББК 22.1 
К19 
 
 
 
Рецензенты: 
доктор физико-математических наук, профессор кафедры физики и математики  
ФГБОУ ВО «Калужский государственный университет им. К. Э. Циолковского»  
Степович Михаил Адольфович; 
кандидат физико-математических наук, доцент кафедры системы автоматического  
управления Калужского филиала МГТУ им. Н. Э. Баумана 
Серегина Елена Владимировна 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Канарейкин, А. И. 
К19  
Высшая математика : учебник / А. И. Канарейкин. - Москва ; Вологда : Инфра-Инженерия, 2024. - 224 с. : ил. 
ISBN 978-5-9729-1828-7 
 
Изложены все базовые понятия разделов «Основы линейной алгебры», «Основы теории комплексных чисел», «Основы аналитической 
геометрии, математического анализа и основные численные методы». 
Для студентов всех направлений и специальностей, обучающихся по 
дисциплине «Высшая математика». 
 
УДК 51 
ББК 22.1 
 
 
 
 
 
ISBN 978-5-9729-1828-7 
” Канарейкин А. И., 2024 
 
” Издательство «Инфра-Инженерия», 2024 
 
” Оформление. Издательство «Инфра-Инженерия», 2024 

ОГЛАВЛЕНИЕ 
ВВЕДЕНИЕ .................................................................................................................. 5 
РАЗДЕЛ 1. ОСНОВЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ ...................................................... 6 
Лекция № 1. Основные понятия и определения матрицы .................................... 6 
Лекция № 2. Определитель. Основные понятия и определения .......................... 9 
Лекция № 3. Системы линейных уравнений и методы их решения .................. 14 
РАЗДЕЛ 2. ОСНОВЫ ТЕОРИИ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ ............................... 22 
Лекция № 4. Основные понятия и определение комплексных чисел 
................ 22 
Лекция № 5. Тригонометрическая форма комплексного числа ......................... 23 
Лекция № 6. Действия с комплексными числами 
................................................ 24 
Лекция № 7. Показательная форма комплексного числа 
.................................... 26 
Лекция № 8. Разложение многочлена на множители .......................................... 27 
РАЗДЕЛ 3. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ 
.............................................. 29 
Лекция № 9. Основные понятия и определения векторов  
на плоскости и пространстве 
.................................................................................. 29 
Лекция № 10. Векторное пространство и n-мерный вектор ............................... 32 
Лекция № 11. Размерность и базис линейного пространства 
............................. 34 
Лекция № 12. Линейные операторы 
...................................................................... 38 
РАЗДЕЛ 4. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ 
.................... 45 
Лекция № 13. Система координат ......................................................................... 45 
Лекция № 14. Линия на плоскости ........................................................................ 46 
Лекция № 15. Линии второго порядка на плоскости 
........................................... 50 
РАЗДЕЛ 5. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ ................ 58 
Лекция № 16. Уравнение поверхности и линии в пространстве 
........................ 58 
Лекция № 17. Уравнение прямой в пространстве 
................................................ 58 
Лекция № 18. Поверхности второго порядка ....................................................... 64 
РАЗДЕЛ 6. ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА ................................ 73 
Лекция № 19. Множества. Действительные числа .............................................. 73 
Лекция № 20. Функции одной переменной .......................................................... 79 
Лекция № 21. Предел функции .............................................................................. 81 
Лекция № 22. Производная .................................................................................... 90 
Лекция № 23. Производные высших порядков  
................................................... 99 
Лекция № 24. Функции нескольких переменных .............................................. 120 
Лекция № 25. Неопределенный интеграл 
........................................................... 127 
Лекция № 26. Определенный интеграл 
............................................................... 141 
Лекция № 27. Кратные интегралы 
....................................................................... 156 
РАЗДЕЛ 7. ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ ............................... 165 
Лекция № 28. Числовые ряды .............................................................................. 165 
Лекция № 29. Знакочередующиеся и знакопеременные ряды ......................... 171 
Лекция № 30. Степенные ряды  ........................................................................... 173 
Лекция № 31. Ряды Фурье .................................................................................... 179 
РАЗДЕЛ 8. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 
......................................... 187 
Лекция № 32. Дифференциальное уравнение первого порядка 
....................... 187 
Лекция № 33. Дифференциальные уравнения высших порядков 
.................... 193 
3 

Лекция № 34. Линейные дифференциальные уравнения  
высших порядков 
................................................................................................... 197 
Лекция № 35. Решение ДУ второго порядка с постоянными  
коэффициентами 
.................................................................................................... 199 
Лекция № 36. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения 
........ 202 
Лекция № 37. Системы дифференциальных уравнений ................................... 209 
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 
....................................................................................... 219 
 
 
4 

ВВЕДЕНИЕ 
Математика одна из самых древних наук и появилась в связи с необходимостью количественных расчетов в окружающем человека мире. Наиболее простейший расчет - определение хотя бы числа пальцев на руке, количество добытой дичи и т. п. По мере развития общества появилась необходимость во все более сложной системе расчетов, обусловленных зарождаемым строительством, 
торговлей и, например, морским плаванием. 
Основная цель изучения высшей математики в высших учебных заведениях 
состоит в том, чтобы дать студентам набор математических знаний и навыков, 
необходимых для изучения других программных дисциплин, использующих в 
той или иной мере математику, для умения выполнять практические расчеты, для 
формирования и развития логического мышления. 
Настоящее пособие предназначено для преподавателей и студентов. С его помощью можно организовать работу на парах по изучению нового материала; работу студентов дома, если эта тема была пропущена ранее. Пособие служит для 
оказания помощи в подготовке к занятиям, для закрепления полученных знаний, 
умений и навыков. Пособие будет полезно студентам, как справочный материал, 
позволяющее быстро восстановить в памяти то, что было изучено ранее. 
В конце каждой темы даны образцы решения примеров и вопросы для самоконтроля. Это пособие - самоучитель. 
5 

РАЗДЕЛ 1. ОСНОВЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ 
Лекция № 1. Основные понятия и определения матрицы 
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ 
Определение. Матрицей размера mîn называется прямоугольная таблица 
чисел, содержащая m строк одинаковой длины n-столбцов. Числа, составляющие 
матрицу, называются элементами матрицы. Матрица записывается в виде: 
a
a
a
n
11
12
1
a
a
a
n
21
22
2
 
A= 
a
a
a
m
m
mn
1
2
§
·
¨
¸
¨
¸
¨
¸
¨
¸
©
¹
или сокращенно А = (aij), где i = 1, m (т. е. i = 1, 2,…m) - номер строки, j = 1, n  
(т. е. j = 1, 2, 3,…n) - номер столбца. Матрицу А называют матрицей размера m×n 
и пишут Amîn. Элементы, стоящие на диагонали, идущей из верхнего угла, образуют главную диагональ.  
Определение. Матрицы равны между собой, если равны все соответствующие элементы этих матриц, т. е. А = В, если aij = bij, где i = 1…m, j = 1…n.  
Определение. Матрица, у которой число строк равно числу столбцов называется квадратной. Квадратную матрицу размера nîп называют матрицей  
n-порядка. 
Определение. Квадратная матрица, у которой все элементы кроме элементов 
главной диагонали равны нулю, называется - диагональной. 
Определение. Диагональная матрица, у которой каждый элемент равен единице, называется единичной. Обозначают буквой Е. Например: 
 
Е3î3 = 
1
0
0
 - единичная матрица 3-его порядка; 
0
1
0
0
0
1
§
·
¨
¸
¨
¸
¨
¸
©
¹
 
Еnîn= 
 - единичная матрица n-го порядка. 
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
§
·
¨
¸
¨
¸
¨
¸
¨
¸
©
¹
Определение. Квадратная матрица называется треугольной если все элементы, расположенные по одну сторону от главной диагонали равны 0 (нулю). 
Определение. Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой. Обозначается буквой О. Имеет вид: 
0
0
0
0
0
0
О = 
 
0
0
0
§
·
¨
¸
¨
¸
¨
¸
¨
¸
©
¹
6 

В матричном исчислении матрицы О и Е играют роль чисел 0 и 1 в арифметике. 
Определение. Матрицу, содержащую один столбец или одну строку, называют вектором (или вектор - столбец или вектор - строка соответственно). Их 
вид: 
1
a
a
2
А = 
#
 или B = 
1
2
(
.......
)
n
b b
b
 
a
m
§
·
¨
¸
¨
¸
¨
¸
¨
¸
©
¹
Матрица размера 1î1, состоящая из одного числа отождествляется с этим 
числом, т. е. (5)1î1 = 5. 
Определение. Матрица, полученная из данной, заменой каждой её строки 
столбцом с тем же номером, называется транспонированной к данной. Обозначается АТ  
0
§ ·
¨ ¸
© ¹
, то АТ = 

1 0  
Так если А = 1 2
3 4
§
·
¨
¸
©
¹
, то АТ = 1 3
2 4
§
·
¨
¸
©
¹
, если А = 1
Транспонированная матрица обладает следующим свойством: (АТ)Т = А 
ДЕЙСТВИЯ НАД МАТРИЦАМИ 
а) сложение 
Операции сложения проводятся только для матриц одинаковых размеров. 
Суммой двух матриц Аmîn = (aij) и Bmîn = (bij) называется матрица Cmîn = (cij) такая, что cij = aij  bij (i = 1…m, j = 1…n). 
Пример 1 
2
30
3
3
1
5 0 1
4
5 6
2
5 4
2 010



§
·
§
·
§
·

 
¨
¸
¨
¸
¨
¸


©
¹
©
¹
©
¹
. 
Аналогично производится и вычитание матриц. 
б) умножение на число 
Произведение матрицы Аmn = (aij) на число К называется матрица Bmîn = (bij) 
такая, что bij = kîaij (i = 1…m, j=1…n). 
Пример 2 
0
12
А
3
4 5

§
·
 ¨
¸
©
¹
, k = 2; 
4
А
1
āК
0
2
6
8 0

 §
·
¨
¸
©
¹
. 
Определение. Матрица -А = (-1)А называется противоположной матрице А. 
Операции сложения и умножения матрицы на число обладают обычным 
набором арифметических свойств: 
10. 
$

%
 
%

$
 
20. 




С
С
$  % 
 $  % 
 
30. 
0
$ 
 $ 
40. 
0
$  $  
 
7 

50. 1˜ $  $ 
60. 

$  %  
˜ $ 
˜%
D
D
D
 
70. 


$  
$ 
$
D
E
D
E
 
80. 



$  
$
D E
DE
 
Здесь А, В, С - матрицы, а Į, ȕ - числа. 
в) элементарные преобразования матриц 
Элементарными преобразованиями матриц являются: 
- перестановка двух параллельных рядов матриц; 
- умножение всех элементов матрицы на число отличное от нуля; 
- прибавление ко всем элементам ряда матрицы соответствующих элементов параллельного ряда умноженных на одно и тоже число. 
Определение. Две матрицы называют эквивалентными если одна из них получается из другой с помощью элементарных преобразований, записывается 
А a В. 
При помощи элементарных преобразований любую матрицу можно привести 
к матрице, у которой в начале главной диагонали стоят подряд несколько единиц, 
а все остальные элементы равны нулю. Такую матрицу называют канонической. 
Например: 
1 0 0 0
0 1 0 0
 
0 0 1 0
0 0 0 0
§
·
¨
¸
¨
¸
¨
¸
¨
¸
©
¹
Пример 3. Привести к каноническому виду  
2
3
1 2
1
3
22
1
3
2 2
1
0
0 0
А
0
2
11
1
2
01
0
5
2 3
0
5
2 3
4
0
5 1
5
0
41
0
15
6 9
0
3
3 3
§
· §
· §
· §
·
¨
¸ ¨
¸ ¨
¸ ¨
¸
 


¨
¸ ¨
¸ ¨
¸ ¨
¸
¨
¸ ¨
¸ ¨
¸ ¨
¸

 

 
©
¹ ©
¹ ©
¹ ©
¹
 
a
a
a
a
a
a
1
0
0 0
1
0
00
11
12 13
0
1
1 1
0
1
11
21
22 23
0
3
3 3
0
0
00
§
· §
· §
·
¨
¸ ¨
¸ ¨
¸
¨
¸ ¨
¸ ©
¹
¨
¸ ¨
¸

 
©
¹ ©
¹
г) произведение матриц 
Умножение двух матриц А и В возможно только для случая, когда число 
столбцов первой матрицы равно числу строк второй (в этом случае матрица А 
называется согласованной с В). В этом случае произведение матрицы Аm×n = (aij) 
на Bn×p = (bjk) называется матрица Cm×p=(cik) такая, что cik = ai1b1k + ai2b2k +…+ 
+ ainbnk, (i = 1…m, k = 1…p).  
Т. е. элемент i строки и k-го столбца матрицы С, равен сумме произведений 
элементов i-й строки А на соответствующие элементы k-го столбца В. 
 
 
8 

Пример 4 
 
b b
a
a b
a b
a b
a b
a
a
a b
a b
b b
a
a b
a b
a b
a b
a
a
a b
a b
b b
11 12
13
13 31
11 12
12 22
13 32
11
12
11 11
12 21
21 22
23
23 31
21 12
22 2
23 32
21
22
21 11
22 21
31 32
2
§
·




§
·
§
·
¨
¸
u
 
¨
¸
¨
¸
¨
¸




©
¹
©
¹
¨
¸
©
¹
Для умножения матриц справедливы еще четыре арифметические операции: 
1. 




C
C
$˜ %˜
 $˜% ˜
 
2. 


С
С
$ % 
 $%  %
 
3. 
C
С
$  %
 $%  $
 
4. 



D
D
$˜%  
˜ $ % 
Для операции транспортирования верны свойства: 
1. (А  В)Т = АТ  ВТ 
2. (АÂВ)Т = 
T
T
A
B
˜
 
Лекция № 2. Определитель. Основные понятия и определения 
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ  
При решении систем уравнений, о которых мы будем говорить позже, необходимо ввести понятие определителя - числа сопоставляемого с квадратной 
матрицей А. Обозначается определитель так - _A_, ¨ или det A. Сопоставление 
должно происходить следующим образом:  
А) Матрица порядка n = 1, A = (а1), det A = а1  
Б) 
11
12
21
22
A
a
a
a
d t
a
e
 
= а11 а 22 - а 12 а 21. 
21
22
n
2 A
a
a
a
a
§
·
¨
¸
 
 
©
¹
 
11
12
a
a
a
11
12
13
a
a
a
A
В) n = 3   
 
;  
21
22
23
a
a
a
31
32
33
§
·
¨
¸
¨
¸
¨
¸
©
¹
11
12
13
etA
 
 




21
22
23
11 22 33
12 23 31
21 32 13
31 22 13
 
a
a
a
a
a
a
a a a
a a
d
a
a a a
a a a
a
a
a
31
32
33
a a
a
a
a
a


21 12
33
32 23 11
При вычислении определителей третьего порядка удобно пользоваться правилом треугольников (Саррюса). 
 
9 

Свойства определителей (необходимы для вычисления определителей) 
1. Определитель не изменится, если его строки заменить столбцами и наоборот. 
a
a
a
a
11
12
11
21
a
a
a
a
 
 
21
22
12
22
a
a
a
a
a
a
11
12
13
11
21
31
a
a
a
a
a
a
 
 
21
22
23
12
22
32
a
a
a
a
a
a
31
32
33
13
23
33
В дальнейшем строки и столбцы будем называть просто рядами. 
2. При перестановке двух параллельных рядов определитель меняет знак. 
3. Определитель, имеющий два одинаковых ряда равен нулю. 
4. Общий множитель элементов, какого - то ряда определителя можно вынести за знак определителя. 
Из свойств 3 и 4 следует, что если все элементы некоторого ряда пропорциональны соответствующим элементам параллельного ряда, то такой определитель 
равен нулю. 
Пример 5 
a
a
a
a
a
a
11
12
13
11
12
13
ka
ka
ka
a
a
a
K
K 0
0
 
u
 
˜
 
 
11
12
13
11
12
13
a
a
a
a
a
a
31
32
33
31
32
33
5. Если элементы какого-либо ряда определителя представляют собой суммы 
двух слагаемых, то определитель может быть разложен на сумму двух соответствующих определителей. 
Пример 6 

a
a
a
b
a
a
a
a
a
b
11
12
13
11
12
13
11
12
a
a
a
c
a
a
a
a
a
c

 

 
21
22
23
21
22
23
21
22
a
a
a
d
a
a
a
a
a
d

31
32
33
31
32
33
31
32
6. Определитель не изменится, если к элементам одного ряда прибавить соответствующие элементы параллельного ряда, умноженные на любое число. 
Пример 7 
a
a
a
a
a
a
ka

11
12
13
11
12
13
12
a
a
a
a
a
a
ka
 

 
21
22
23
21
22
23
22
a
a
a
a
a
a
ka

31
32
33
31
32
33
32
 
 
10