Аналитическая геометрия и линейная алгебра

 
ǫȅǩȕȒȑȕȉDZǩǪȇȒȚȔȕȉȇ 
 
 
 
 
 
 
ǧǴǧDzǯǹǯǾǬǸDZǧȆǪǬǵdzǬǹǷǯȆ 
ǯDzǯǴǬǰǴǧȆǧDzǪǬǨǷǧ 
 
 
 
ǺȞȌȈȔȕȌȖȕȘȕȈȏȌ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
dzȕȘȑȉȇ    ǩȕȒȕȊȋȇ 
ªǯȔțȗȇ-ǯȔȍȌȔȌȗȏȦ« 
2024 
 

УДК 512.64 
ББК 22.143 
 
В67 
 
 
 
 
 
 
 
Р е ц е н з е н т ы : 
доктор физико-математических наук, профессор, заслуженный деятель науки,  
профессор кафедры геометрии РГПУ им. А. И. Герцена  
Алексей Леонидович Вернер; 
кандидат технических наук, доцент, заместитель директора ИМОП СПбГПУ  
Виктор Владимирович Краснощеков 
 
 
 
 
 
 
Волков, Д. Ю. 
В67  
Аналитическая геометрия и линейная алгебра : учебное пособие / Д. Ю. Волков, 
К. В. Галунова. – Москва ; Вологда : Инфра-Инженерия, 2024. – 116 с. : ил., табл. 
 
 
ISBN 978-5-9729-1894-2 
 
Рассматриваются вопросы, которые изучаются в разделах «Аналитическая геометрия» и «Линейная алгебра» курса высшей математики. Пособие состоит из трех 
частей, в которых содержатся теоретические сведения, примеры выполнения заданий 
и контрольные материалы по рассматриваемым темам.  
Для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлению подготовки бакалавров «Экономика» и «Менеджмент», а также «Бизнес-информатика», 
«Торговое дело», «Товароведение», «Государственное и муниципальное управление», 
«Управление персоналом». 
 
УДК 512.64 
ББК 22.143 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ISBN 978-5-9729-1894-2 
‹ Волков Д. Ю., Галунова К. В., 2024 
‹ Издательство «Инфра-Инженерия», 2024 
‹ Оформление. Издательство «Инфра-Инженерия», 2024 
2 

 
 
 
ǵǪDzǧǩDzǬǴǯǬ 
 
Введение ............................................................................................................... 4 
 
Часть 1. ПЛОСКОСТЬ ......................................................................................... 5 
1.1. Понятие системы координат 
................................................................. 5 
1.2. Уравнение линии на плоскости .......................................................... 11 
1.3. Прямая на плоскости 
........................................................................... 13 
 
Часть 2. ПРОСТРАНСТВО 
................................................................................ 24 
2.1. Системы координат в пространстве ................................................... 24 
2.2. Векторы 
................................................................................................ 30 
2.3. Плоскость 
............................................................................................. 40 
2.4. Прямая в пространстве 
........................................................................ 45 
 
Часть 3. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА 
....................................................................... 52 
3.1. Комплексные числа 
............................................................................. 52 
3.2. Линейные пространства ...................................................................... 64 
3.3. Матрицы и операции над ними .......................................................... 75 
3.4. Определители ...................................................................................... 82 
3.5. Ранг матрицы ....................................................................................... 87 
3.6. Системы линейных уравнений ........................................................... 92 
3.7. Обратная матрица 
.............................................................................. 103 
3.8. Собственные значения и собственные векторы матрицы 
............... 106 
 
Библиографический список 
............................................................................. 111 
Интернет-ресурсы ............................................................................................ 112 
 
 
3 

 
 
 
ǩǩǬǫǬǴǯǬ 
 
Учебное пособие посвящено разделам вузовской дисциплины «Высшая 
математика» для студентов экономических специальностей, в которых изучается аналитическая геометрия и линейная алгебра. Содержание пособия ориентировано на программу курса «Высшая математика», читаемого одним из 
авторов в Политехническом университете Петра Великого. Пособие предназначено как для самостоятельной работы студентов при подготовке к контрольным мероприятиям по рассматриваемым темам, так и для преподавателей, поскольку содержит варианты контрольных материалов. Контрольные 
материалы могут быть использованы преподавателем для оценки уровня сформированности математических компетенций студентов по различным группам 
направлений подготовки бакалавров.  
Пособие состоит из трех частей. В первой части рассматривается аналитическая геометрия плоскости, во второй части – геометрия пространства, 
здесь рассматриваются только объекты первого порядка ввиду ограниченности времени, выделяемого в общем курсе на аналитическую геометрию. В третьей части пособия рассматриваются некоторые вопросы линейной алгебры. 
В тексте приводятся краткие теоретические сведения и даются методические 
указания по выполнению практических заданий.  
В конце пособия приводится список рекомендуемой литературы и интернет-ресурсов. Учебники [1–6, 9–18] могут предоставить студенту более подробный материал при изучении аналитической геометрии и линейной алгебры. Дополнительные задачи по рассматриваемой тематике можно найти в 
задачниках [7, 8]. 
 
 
 
 
4 

 
 
 
ǾȇȘșȣ ǶDzǵǸDZǵǸǹȃ 
 
 ǶȕȔȦșȏȌȘȏȘșȌȓȢȑȕȕȗȋȏȔȇș 
 
Определение 1.1.1. Говорят, что на прямой l задана система координат, 
если:  
1) выбрана точка О, которая называется началом координат; 
2) выбрано положительное направление; 
3) выбрана единица масштаба е. 
 
 
ǷȏȘ  
 
Координатой точки М, лежащей на прямой l, называют число x, которое 
определяется следующим образом:  
1) абсолютная величина x равна отношению длины отрезка [
]
OM  к 
длине единичного отрезка e: 
;
OM
x
e
 
 
2) координата х положительна, если направление от точки О к точке М 
совпадает с положительным направлением на прямой, и отрицательна 
в противоположном случае. 
Пусть на прямой задано две точки 
1
(
)
A x  и 
2
(
).
B x
 Расстояние между этими 
точками вычисляется по формуле  
 
1
2 .
AB
x
x


 
(1.1.1) 
Пример 1.1.1. Пусть 
(1),
A
 ( 3),
B 
 тогда 
1
( 3)
4.
AB   

 
Пусть для заданных точек 
1
(
)
A x  и 
2
(
)
B x
 	

2
1
x
x

 требуется найти 
точку C, лежащую между ними и делящую отрезок [ ,
]
A B  в отношении M : 
 
,
AC
CB
M

 
(1.1.2) 
5 

где M  – заданное вещественное число. Обозначим неизвестную координату 
точки C  как x  и запишем равенство (1.1.2) через координаты:  
1
2
.
x
x
x
x
M



Отсюда получаем 
 
1
2 .
1
x
x
x
M
M



 
(1.1.3) 
Пример 1.1.2. Пусть 
( 2),
(6).
A
B

 Найдем середину отрезка [ ,
].
A B  Подставляя в формулу (1.1.3) 
1
M 
и координаты точек A и B, получаем координату середины отрезка: 
2
6
2.
1
1
x
 



 
Определение 1.1.2. На плоскости задана система координат, если:  
1) заданы две взаимно перпендикулярные прямые (точка их пересечения называется началом координат О); 
2) на каждой из прямых выбрано положительное направление; 
3) выбрана единица масштаба e . 
 
ǷȏȘ 
 
Указанные в определении прямые называются координатными осями. 
Одна из них называется осью абсцисс (ось Ox), другая – осью ординат (ось Oy). 
Пусть M – точка плоскости. Опустим из этой точки перпендикуляры на оси Ox 
и Oy. Точки P и Q пересечения перпендикуляров с координатными осями будем называть проекциями точки M на соответствующие оси. Пусть x – координата точки P на оси Ox, а y – координата точки Q на оси Oy. Упорядочен- 
ная пара чисел (x, y) называется координатами точки M. Число x – абсцисса 
точки M, y – ордината точки M. Между точками плоскости и парами координат 
существует взаимно однозначное соответствие; каждой точке соответствует 
единственная пара координат и каждой паре координат соответствует единственная точка плоскости. 
6 

Пусть на плоскости задано две точки 
1
1
(
,
)
A x y
 и 
2
2
(
,
).
B x
y
Найдем расстояние между этими точками. Построим прямую, проходящую через точку A 
параллельно оси Ox, и через точку B – параллельно оси Oy. Точку их пересечения обозначим как C. 
 
 
ǷȏȘ 
Отрезок AB – гипотенуза прямоугольного треугольника ABC. Легко видеть, что длины его катетов 
2
1 ,
AC
x
x


2
1 .
BC
y
y


 По теореме Пифагора получаем длину гипотенузы 
 
2
2
2
1
2
1
(
)
(
) .
AB
x
x
y
y




(1.1.4)
Пример 1.1.3. Найдем расстояние между точками 
(1,1)
A
и 
(4,5)
B
:
2
2
(4
1)
(5
1)
5.
AB 




Пусть для заданных точек 
1
1
(
,
)
A x y
и
2
2
(
,
),
B x
y
требуется найти точку C, 
лежащую между ними, и делящую отрезок [ , ]
A B  в заданном отношении 
:
M  
.
AC
CB
M

 
Обозначим неизвестные координаты точки C как (x, y). Опустим из точек A, B, C перпендикуляры на ось Ox и обозначим проекции этих точек P1, P2, 
P соответственно.  
Прямые 
1
2
(
), (
) и (
)
AP
BP
CP параллельны и, следовательно, 
1
2
.
AC
PP
CB
PP

 
Отрезок 
1
2
[
,
]
P P  принадлежит координатной прямой и координату x точ- 
ки P, делящей его в отношении ,
M  можно найти по формуле (1.1.3). Найденная величина является искомой абсциссой точки C. Аналогично можно найти 
7 

вторую координату этой точки. Т. о., координаты точки C находим по формулам 
 
1
2
1
2
,
.
1
1
x
x
y
y
x
y
M
M
M
M






 
 (1.1.5) 
 
 
ǷȏȘ 
 
Пример 1.1.4. Пусть
(1,2),
(3,
4).
A
B

Найдем середину отрезка [ , ].
A B  
Подставляя в формулу (1.1.5) 
1
M 
и координаты точек A и B, получаем координаты середины отрезка:  
1
3
2
( 4)
2,
1.
1
1
1
1
x
y

 






 
Определение 1.1.3. Будем говорить, что на плоскости задана полярная система координат, если:
1) задана точка O, называемая полюсом; 
2) задан луч [OP), называемый полярной полуосью; 
3) выбрана единица масштаба e. 
 
 
ǷȏȘ 
 
Полярными координатами точки M плоскости называются полярный радиус, равный расстоянию от точки O до точки M: 
;
r
OM

 полярный угол – 
угол 
,
K  на который нужно повернуть луч [OP) для того, чтобы он совпал с 
лучом [OM). 
Каждой точке M плоскости соответствует единственное значение полярного радиуса r. Полярный угол K определен с точностью до периода 2 ,
Q  
8 

обычно выбирают 
(
, ],
K
Q Q
‰ 
кроме точки, совпадающей с полюсом. Для 
этой точки r = 0, а угол K не определен. Упорядоченной паре чисел ( , )
r K соответствует единственная точка плоскости M. 
Пусть на плоскости одновременно заданы полярная и декартова прямоугольная системы координат, причем начало декартовой системы координат 
совпадает с полюсом, а полярная ось лежит на оси абсцисс. Пусть точка M 
имеет декартовы координаты (x, y) и полярные координаты ( , ).
r K  По известным полярным координатам ( , )
r K  можно найти декартовы координаты точки 
(см. рис. 1.1.6). 
 
cos
sin
x
r
y
r
K
K
£ 
¦
¦
¤
¦ 
¦
¥
 
(1.1.6) 
 
 
ǷȏȘ 
 
Если заданы декартовы координаты точки (x, y), то полярный радиус 
находим по формуле 
 
2
2 ,
r
x
y
 

(1.1.7) 
после этого, при известной величине r, находим угол 
,
K  удовлетворяющий 
системе уравнений (1.1.6). 
Пример 1.1.5. Пусть полярные координаты точки 
(4,
/ 3).
M
Q
 Декартовы 
координаты этой точки определяем по формулам (1.1.6): 
x
Q
4cos(
/ 3)
2
y
Q
4sin(
/ 3)
2 3
£ 

¦
¦
¤
¦ 

¦
¥
. 
Пример 1.1.6. Пусть декартовы координаты точки 
( 2, 2).
M  
 Находим 
полярный радиус 
2
2
( 2)
( 2)
2 2.
r 

 

 Подставляя найденную величину и декартовы координаты точки в систему (1.1.6), получаем 
2
2 2 cos
K
2
2 2sin
K
£
¦ 
¦
¤
¦ 
¦
¥
. 
 
9 

Отсюда 
K
 
K
2
cos
2 ,
2
sin
2
£
¦
¦

¦
¦
¦
¤
¦
¦
¦

¦
¦
¥
следовательно, 
3
4
Q
K 
. Полярные координаты точки 
(2 2,
3 / 4)
M
Q

. 
Текст задания 1.1. Точки 
1 1
1
( ,
)
M
r K
 и 
2
2
2
( ,
)
M
r K
 заданы своими полярными координатами. Найти декартовы координаты этих точек и середину отрезка 
1
2
[
,
].
M M
 
 
Варианты задания № 1.1  
№ 
r1 
1
K  
r2 
2
K  
1 
2 3  
/ 6
S
 
4 3  
5 / 6
S
 
2 
2 2  
/ 4
S
 
6 3  
/ 6
S
 
3 
2 3  
2 / 3
S
 
4 3  
/ 3
S
 
4 
4 3  
5 / 6
S
 
2 3  
2 / 3
 S
 
5 
6 3  
/ 6
S
 
2 3  
5 / 6
 S
 
6 
4 3  
/ 3
S
 
2 2  
/ 4
S
 
7 
2 3  
2 / 3
 S
 
4 3  
2 / 3
S
 
8 
6 3  
5 / 6
 S
 
4 3  
5 / 6
S
 
9 
2 3  
/ 3
S
 
2 2  
/ 4
S
 
10 
4 
/ 2
S
 
2 
/ 2
S
 
11 
2 2  
3 / 4
S
 
4 2  
3 / 4
 S
 
12 
2 
S 
2 3  
/ 3
S
 
13 
4 2  
/ 4
S
 
2 
/ 2
S
 
14 
3 
/ 2
S
 
2 2  
3 / 4
S
 
15 
4 2  
3 / 4
 S
 
2 
Q  
16 
2 3  
/ 3
S
 
2  
/ 4
S
 
17 
3 
/ 2
S
 
1 
/ 2
S
 
18 
2 2  
3 / 4
S
 
2  
3 / 4
 S
 
19 
2 
Q  
2 3  
/ 6
S
 
20 
2  
/ 4
S
 
3 
/ 2
S
 
21 
2 
/ 2
S
 
2 3  
/ 3
S
 
22 
2  
3 / 4
 S
 
2 2  
3 / 4
S
 
23 
4 3  
/ 6
S
 
2 
Q  
24 
2 2  
/ 4
S
 
4 3  
/ 6
S
 
10