Сопротивление материалов. Практикум для студентов строительных специальностей

 
 
 
 
 
А. Г. Уложенко 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ 
ПРАКТИКУМ ДЛЯ СТУДЕНТОВ СТРОИТЕЛЬНЫХ СПЕЦИАЛЬНОСТЕЙ 
 
 
Учебное пособие  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Москва    Вологда 
«Инфра-Инженерия» 
2024 
1 
 

УДК 539.3/.6 
ББК 30.121  
У49 
 
 
Рецензенты: 
д. т. н., профессор, профессор кафедры теоретической механики и сопротивления материалов 
(МГУ им. адм. Г. И. Невельского, г. Владивосток) И. Б. Друзь; 
д. т. н., профессор, профессор отделения машиностроения, морской техники и транспорта 
Политехнического института (ДВФУ, г. Владивосток) Ю. Я. Фершалов  
 
 
 
 
 
 
 
Уложенко, А. Г. 
У49  
Сопротивление материалов. Практикум для студентов строительных 
специальностей : учебное пособие / А. Г. Уложенко. – Москва ; Вологда : 
Инфра-Инженерия, 2024. – 216 с. : ил., табл. 
ISBN 978-5-9729-1727-3 
 
Практикум содержит одиннадцать заданий по девяти основным темам курса сопротивления материалов, изучаемым в техническом вузе. Задача каждого задания 
имеет сто вариантов исходных данных. Каждая тема сопровождается комментариями 
и методическими рекомендациями, а также подборкой оригинальных вопросов для 
самоконтроля и подготовки к защите задания. Приводится решение заданий с подробными пояснениями по каждой теме курса.  
Для студентов строительных специальностей направления 08.03.01 «Строительство» и 08.05.01 «Строительство уникальных зданий и сооружений», изучающих курс 
сопротивления материалов. 
 
УДК 539.3/.6 
ББК 30.121  
 
 
 
 
 
 
ISBN 978-5-9729-1727-3 
” Уложенко А. Г., 2024 
 
” Издательство «Инфра-Инженерия», 2024 
 
” Оформление. Издательство «Инфра-Инженерия», 2024 
2 
 

 
СОДЕРЖАНИЕ 
 
ПРЕДИСЛОВИЕ 
.......................................................................................................... 6 
 
Часть I. ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ 
.......................... 9  
Тема 1. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ 
 ПЛОСКИХ СЕЧЕНИЙ ........................................................................................ 10      
Задание 1. Определение главных центральных моментов инерции 
сечения и положения главных центральных осей сечения ................................ 13  
 Контрольные вопросы ..................................................................................... 17  
 
Тема 2. ОСЕВОЕ РАСТЯЖЕНИЕ-СЖАТИЕ 
..................................................... 19  
Задание 2а. Определение размеров сечений стержней 
статически определимой стержневой конструкции ...................................... 21  
Задание 2б. Определение размеров сечений стержней  
статически неопределимой стержневой конструкции .................................  26 
Задание 2в. Определение напряжений в сечениях  
статически неопределимой системы сходящихся стержней ........................ 32 
Контрольные вопросы ...................................................................................... 35 
 
Тема 3. ПОПЕРЕЧНЫЙ ИЗГИБ БРУСА ПОСТОЯННОГО СЕЧЕНИЯ ......... 36 
Задание 3. Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов. 
Определение размеров поперечного сечения  
балки постоянного сечения .............................................................................. 37 
Контрольные вопросы .....................................................................................  43 
 
Тема 4. НЕРАЗРЕЗНАЯ БАЛКА. УРАВНЕНИЕ ТРЕХ МОМЕНТОВ ........... 44 
Задание 4. Раскрытие статической неопределимости  
балок с помощью уравнения трех моментов 
.................................................. 46  
Контрольные вопросы  ..................................................................................... 52 
 
Тема 5. СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМАЯ ПЛОСКАЯ РАМА 
................... 53  
ЗАДАНИЕ 5. Раскрытие статической неопределимости  
рамы методом сил ............................................................................................. 53 
Контрольные вопросы ...................................................................................... 59 
 
Тема 6. РАСЧЕТ БРУСА С ПРОСТРАНСТВЕННО  
ИЗОГНУТОЙ ОСЬЮ НА СЛОЖНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ ............................ 60  
Задание 6. Расчет ломаного бруса на сложное сопротивление .................... 61  
Контрольные вопросы ...................................................................................... 67 
 
Тема 7. ВНЕЦЕНТРЕННОЕ СЖАТИЕ КОЛОННЫ 
.......................................... 69 
Задание 7. Внецентренное сжатие колонны 
................................................... 70  
Контрольные вопросы ...................................................................................... 76 
3 
 

Тема 8. УСТОЙЧИВОСТЬ СЖАТОЙ СТОЙКИ 
................................................ 77  
Задание 8. Расчет устойчивости сжатой стойки ............................................ 77 
Контрольные вопросы ...................................................................................... 82 
 
Тема 9. ДИНАМИЧЕСКОЕ ДЕЙСТВИЕ НАГРУЗКИ 
...................................... 83  
Задание 9. Расчеты при действии ударной нагрузки 
..................................... 84  
 Контрольные вопросы ..................................................................................... 88 
 
Часть II. ПРИМЕРЫ ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЙ 
.......................................... 90  
1. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПЛОСКИХ СЕЧЕНИЙ 
....... 90 
ЗАДАЧА 1. Задание на проектирование  
........................................................ 90 
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЦЕНТРОБЕЖНЫХ МОМЕНТОВ ИНЕРЦИИ  
ПРОКАТНЫХ ПРОФИЛЕЙ .......................................................................... 100  
1. Равнополочный уголок ............................................................................ 100 
2. Неравнополочный уголок ......................................................................  101 
Полезная информация 
..................................................................................... 103  
 
2. ОСЕВОЕ РАСТЯЖЕНИЕ-СЖАТИЕ .......................................................... 104 
ЗАДАЧА 2а. Определение размеров сечения стержней статически  
определимой стержневой конструкции ........................................................ 104 
ЗАДАЧА 2б. Определение размеров сечения стержней статически  
неопределимой стержневой конструкции .................................................... 109  
ЗАДАЧА 2в. Определение напряжений в сечениях статически  
неопределимой системы сходящихся стержней .......................................... 114  
Схема 1. Статически неопределимая система под действием  
внешней активной нагрузки 
........................................................................... 114 
Схема 2. Статически неопределимая система с отклонениями размера 
от номинала 
...................................................................................................... 118  
Схема 3. Статически неопределимая система при температурных  
деформациях .................................................................................................... 121  
 
3. ПОПЕРЕЧНЫЙ ИЗГИБ ПРЯМОГО БРУСА  
ПОСТОЯННОГО СЕЧЕНИЯ 
....................................................................... 125  
 ЗАДАЧА 3а. Однопролетная шарнирно опертая деревянная балка .......... 125 
ЗАДАЧА 3б. Консольный брус 
...................................................................... 134 
ЗАДАЧА 3в. Статически определимый брус ............................................... 139 
 
4. НЕРАЗРЕЗНАЯ БАЛКА 
............................................................................... 144  
ЗАДАЧА 4. Раскрытие статической неопределимости неразрезной балки  
с помощью  уравнения трех моментов.......................................................... 144  
Применение уравнения трех моментов к раскрытию неопределимости 
жестко  защемленной балки с шарнирной опорой на противоположном 
конце ................................................................................................................. 151  
 
5. ПЛОСКАЯ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМАЯ РАМА ........................ 153  
4 
 

 ЗАДАЧА 5. Раскрытие статической неопределимости  
рамы методом сил ................................................................................................. 153 
 
6. РАСЧЕТ БРУСА С ПРОСТРАНСТВЕННО ИЗОГНУТОЙ ОСЬЮ ........ 164 
    ЗАДАЧА 6. Расчет ломаного бруса на сложное сопротивление 
.................... 164  
 
7. ВНЕЦЕНТРЕННОЕ СЖАТИЕ КОЛОННЫ 
............................................... 175   
    ЗАДАЧА 7. Проверить прочность каменной колонны ................................... 175  
 
8. УСТОЙЧИВОСТЬ СЖАТОЙ СТОЙКИ..................................................... 185  
    ЗАДАЧА 8. Подбор сечения стойки под заданную нагрузку 
......................... 185  
Таблица коэффициентов снижения допускаемого напряжения ..................... 187  
 
9. РАСЧЕТЫ ПРИ ДЕЙСТВИИ УДАРНОЙ НАГРУЗКИ ............................ 190  
ЗАДАЧА 9. Подбор сечения бруса, воспринимающего усилие  
от падающего груза ............................................................................................. 190 
 
ЗАКЛЮЧЕНИЕ ....................................................................................................... 197 
 
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 
....................................................................................... 199  
 
ПРИЛОЖЕНИЕ: Сортамент прокатной стали ..................................................... 200  
ГОСТ 8239-89 Двутавры стальные горячекатаные ........................................... 201  
ГОСТ 8240-89 Швеллеры стальные горячекатаные.......................................... 202  
ГОСТ 8509-93 Уголки стальные горячекатаные равнополочные ................... 205  
ГОСТ 8510-86 Уголки стальные неравнополочные 
.......................................... 210  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5 
 

 
ПРЕДИСЛОВИЕ 
 
       Сопротивление материалов – базовый курс в цикле инженерных дисциплин, формирующих специалистов строительного направления.  
       Инженерные знания в состоянии активного доступа позволяют инженеру 
видеть окружающие рукотворные сооружения с точки зрения прочности и 
надежности, как говорится, насквозь. На этом уровне доступа знания уже не 
разделяются на отдельные изученные дисциплины. Они составляют единый аппарат инженерного мышления, который позволяет специалисту увидеть инженерную проблему, когда непосвященные даже не подозревают о её существовании, ясно и четко сформулировать задачу в виде расчетной схемы и найти 
наиболее удобный способ получения решения, обеспечивающий требуемый 
уровень точности. 
       Специалист, подготовленный наилучшим образом, имеет в активной памяти больше разделов математики, физики, химии, теоретической механики и 
изучаемого в настоящий момент сопротивления материалов и в совершенстве 
может пользоваться языком инженерного общения – инженерной графикой. 
       В курсе сопротивления материалов обосновываются правила и приемы составления расчетной схемы из реальной конструкции, а также приемы и методы 
расчета этой схемы. Невозможно овладеть методами сопротивления материалов, не решая задачи собственными силами. Только самостоятельно полученный результат позволяет обрести навыки и уверенность в своих возможностях, 
готовность к постановке и решению реальных инженерно-конструкторских 
проблем. 
       Предлагаемые варианты индивидуальных заданий предназначены для самостоятельной работы студентов инженерных специальностей строительного 
направления по курсу «Сопротивление материалов». Темы заданий охватывают 
основные разделы курса: геометрические характеристики плоских сечений, статически определимые и неопределимые стержневые системы, плоский поперечный изгиб, неразрезная многопролетная балка, плоская статически неопределимая рама, пространственно изогнутый брус, внецентренное сжатие колонны, устойчивость сжатой стойки, расчеты при действии ударных нагрузок. Выполнение достаточно сложных заданий позволит студентам закрепить и развить 
навыки, полученные при решении простейших инженерных задач лекционнопрактического курса. Постигая основные приемы сопротивления материалов 
при решении задач осевого растяжения-сжатия и изгиба, студенты применяют 
их при выполнении заданий по темам: «Внецентренное растяжение-сжатие», 
«Ломаный брус», «Статически неопределимая рама», «Устойчивость стержней», «Действие ударной нагрузки на стержневые конструкции». Решение задач 
по темам «Статически неопределимая рама», «Неразрезная многопролетная 
балка» закрепляет навыки по применению Метода сил к раскрытию статической неопределимости конструкций. Задача о деформировании пространственно изогнутого бруса заставляет включить пространственное воображение, чтобы представить деформацию простейшей конструкции в системе простран6 
 

ственных сил. Подбор размеров поперечных сечений частей конструкции в виде ломаного бруса позволяет лучше понять такие разделы сопромата, как объемное напряженно-деформированное состояние и теории прочности. Самостоятельное выполнение предлагаемых задач создает солидный фундамент для 
освоения специальных дисциплин. 
       При выполнении заданий студенты получают первые навыки по оформлению результатов своих микроисследований в соответствии с требованиями к 
расчетно-проектировочной документации.  
       Решение задания выполняется на листах формата А4. Допускается запись с 
обеих сторон листа. Слева оставляется поле для подшивания шириной 30 мм, 
сверху и снизу – по 20 мм, справа – 10 мм. Оставить поля и нарисовать рамку 
на листе формата А4 – это не одно и то же. Рамка с полями 20 мм слева и с трех 
сторон по 5 мм плюс основная надпись – это требования ГОСТов ЕСКД, а размеры полей, порядок написания текста и формул определяются руководящим 
нормативным документом «Общие требования и правила оформления материалов дипломных и курсовых работ».  
Перед решением задачи полностью выписывается условие задания, исходные данные, приведенные к одной системе единиц и к одной размерности. Составляется четкий эскиз в масштабе или в выдержанных пропорциях, а на нем 
указываются в символах и числах все величины, необходимые для расчета.  
Каждый параметр на эпюрах строится в определенном масштабе: для линейных размеров свой масштаб, для поперечных сил – свой, для моментов – 
свой. 
В 
этом 
случае 
на 
графиках 
будет 
отражаться 
интегральнодифференциальная 
зависимость 
между 
интенсивностью 
распределенной 
нагрузки q, поперечной силой Q и изгибающим моментом M.  
Желательно решение сопровождать краткими комментариями, что позволит студенту научиться излагать ход своих размышлений, искать аргументы 
для обоснования выбора того или иного метода решения. Решение уравнений и 
неравенств выполняется в общем аналитическом виде. В конечное выражение, 
полученное после всех преобразований, подставляются числовые значения параметров в порядке следования их символов, и сразу записывается ответ без 
промежуточных вычислений. Результат обязательно должен сопровождаться 
размерностью величины. Одним из способов проверки правильности используемой формулы является согласование размерностей входящих величин и размерности получаемого результата. 
       При решении задач сопротивления материалов необходимо всегда помнить 
о допущениях и упрощениях, которые приняты при выполнении расчетов. 
Обоснованность этих упрощений подтверждена исторической практикой. 
Необходимо помнить и о том, что результат вычисления не может быть точнее 
исходных данных. Погрешности, полученные при снятии размеров, накопленные ошибки округления промежуточных результатов, не дают основания считать, что число, считываемое с экрана калькулятора, точное настолько, 
насколько допускает разрядность экрана. Калькулятор точно обрабатывает ту 
числовую информацию, которую мы ему даем, совершенно не заботясь о ее исходной истинной точности. Современный калькулятор дает ответы с невероят7 
 

ным количеством значащих цифр, которые гипнотизируют и завораживают 
своей точностью. И человек непроизвольно верит в это. Для того чтобы 
научиться бороться с этим наваждением, нужно при решении задач сопротивления материалов смело оставлять только три значащие цифры, три первые 
цифры справа после нулей, если такие присутствуют в записи числа. Эти три 
цифры было можно считывать при пользовании логарифмической линейки – 
основного счетного устройства инженера со времен формирования «Сопротивления материалов» как расчетного аппарата инженера. 
Чтобы избежать систематического накопления ошибки, нужно помнить о 
том, что цифра «5», стоящая на четвертой позиции, просто отбрасывается, если 
перед ней четная цифра, а нечетная увеличивается на единицу и становится 
четной. С остальными цифрами поступают известным образом: меньшие «5» 
просто отбрасываются, а больше «5» – отбрасываются, но добавляется единица 
в предыдущем разряде.  
 
Первая значащая цифра – это первая ненулевая цифра в числе, стоящая 
справа от последнего нуля. Не рекомендуется большие числа записывать с 
множеством нулей. Например, модуль Юнга для стали правильнее записать 
2,10u1011 Па, а не 21000000000000 Па. Аналогично поступают с малыми числами, например, ǻL = 1,56u10–3м.  
Количество задач в задании и сложность расчетной схемы определяет ведущий преподаватель в соответствии с требованиями учебного плана специальности. 
 
 
 
8 
 

 
Часть I. ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ 
 
Тема 1. Геометрические характеристики плоских сечений. 
 
Тема 2. Осевое растяжение-сжатие. 
 
Тема 3. Поперечный изгиб прямого бруса постоянного сечения. 
 
Тема 4. Статически неопределимая неразрезная балка. 
 
Тема 5. Статически неопределимая плоская рама. 
 
Тема 6. Расчет бруса с пространственно изогнутой осью. 
 
Тема 7. Внецентренное сжатие колонны. 
 
Тема 8. Устойчивость сжатой стойки. 
 
Тема 9. Расчет плоской рамы на динамическое действие нагрузки. 
  
 
9 
 

 
Тема 1 
 
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПЛОСКИХ СЕЧЕНИЙ 
 
Рассматриваемое поперечное сечение состоит из трех частей. Для упрощения анализа состава сечения на схеме между элементами выделены зазоры, которые фактически отсутствуют, поэтому при определении размеров конструкции следует считать примыкание элементов плотным, без зазоров. Вычерчивая 
контуры составных частей, уклоны и сопряжения можно выполнять условно, 
поскольку точная графика не является целью задания. На чертеж выносятся все 
размеры, необходимые для определения координат центров тяжести отдельных 
частей в общей системе координат. Информации, считываемой с чертежа, 
должно быть достаточно для заполнения ячеек табл. 1.1. Табличная форма решения задачи позволяет значительно сократить объем пояснительной записки, 
сделать решение легко читаемым и, самое главное, легко проверяемым. Прививая навыки табличного оформления расчетной документации, мы повышаем 
культуру инженерно-конструкторской деятельности. Табличная форма представления решения сокращает время, требуемое на многократное переписывание формул, снижает вероятность совершения случайной ошибки, позволяет 
контролировать процесс вычисления на любом его шаге. Предлагается форма 
табл. 1.1. 
Определяем координаты центра тяжести составного сечения по формулам 
 
,
2
6
6
 
 F
Sx
c
y
               
.
3
6
6
 
 F
Sy
c
x
    
(1.1) 
1
1
 
 
Главные моменты инерции сечения можно вычислять по формулам, в которых отсутствуют тригонометрические функции:  
 
º
2
1
,
xy
I
y
I
x
I
y
I
x
I
v
u
I
 или 


»
»
«
«
ª

¸
¹
·
¨
©
§

r

 
2
4
2
¼
¬
 
ª
»
¼
º
«
¬
ª
6

6

6
r
6

6
 
2
12
4
2
11
10
11
10
2
1
,v
u
I
.  
   (1.2) 
º
«
¬




»
¼
 
 
Вывести формулу (1.2) не составит большого труда, если студент разобрался с ее графическим представлением на круге Мора. Круг Мора – это диаграмма в координатах: осевой момент инерции – центробежный момент инерции (рис. 1.1). 
Слагаемое перед знаком радикала представляет собой координату центра 
круга Мора, точки С на рис. 1.1. Значение, получаемое из-под радикала, определяет радиус круга Мора и одновременно наибольший центробежный момент 
10