Теория подобия, тепловые, деформационные, трибологические и диффузионные процессы при резании материалов

 
 
 
 
 
 
 
 
А. Н. Рыкунов, Д. И. Волков 
 
 
 
 
 
ТЕОРИЯ ПОДОБИЯ, ТЕПЛОВЫЕ, ДЕФОРМАЦИОННЫЕ, 
ТРИБОЛОГИЧЕСКИЕ И ДИФФУЗИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ 
ПРИ РЕЗАНИИ МАТЕРИАЛОВ 
 
 
Монография 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Москва    Вологда 
«Инфра-Инженерия» 
2024 
1 

 
УДК 621.9.01 
ББК 34.63 
Р94 
 
 
 
Рецензенты: 
кафедра «Технология машиностроения» Нижегородского государственного 
технического университета; 
д-р техн. наук, главный технолог ОАО «НПО – Сатурн» В. А. Полетаев 
 
 
 
 
 
 
 
 
Рыкунов, А. Н. 
Р94  
Теория подобия, тепловые, деформационные, трибологические и диффузионные процессы при резании материалов : монография / А. Н. Рыкунов, Д. И. Волков. – Москва ; Вологда : Инфра-Инженерия, 2024. – 
128 с. : ил., табл. 
ISBN 978-5-9729-2064-8 
 
Описан метод подобия, позволяющий объединить достоверность экспериментального и общность теоретического подходов к исследованию процессов механической обработки металлов. Рассмотрены условия исключения ошибок в его использовании, связанных с произвольным комплектованием безразмерных, но физически не 
отражающих суть процессов критериев подобия. Представлены методы аналитического исследования вопросов распространения тепла, деформаций, законов трения и 
диффузии. 
Для аспирантов и учёных, работающих в рамках специальности 2.5.5 «Технология 
и оборудование механической и физико-технической обработки», а также инженернотехнических работников, ведущих исследовательскую работу в области обработки 
металлов резанием. Может служить учебным пособием для магистров и специалистов 
технических университетов, обучающихся по направлению подготовки 15.03.05 
«Конструкторско-технологическое обеспечение машиностроительных производств». 
 
УДК 621.9.01 
ББК 34.63 
 
 
 
 
ISBN 978-5-9729-2064-8 
© Рыкунов А. Н., Волков Д. И., 2024 
 
© Издательство «Инфра-Инженерия», 2024 
 
© Оформление. Издательство «Инфра-Инженерия», 2024 
2 

 
ВВЕДЕНИЕ 
 
В процессе обработки резанием в зоне контакта происходят сложные 
физико-механические процессы, связанные с взаимодействием контактирующих тел: материала детали, инструмента, охлаждающей жидкости и отделяемой стружки. В зоне контакта в результате трения выделяется теплота, которая в виде тепловых потоков распределяется между контактирующими телами, вызывая нагревание последних и оказывая влияние на ход процесса. Кроме того, вследствие необратимых пластических взаимодействий теплота выделяется также в зонах первичной и вторичной деформации обрабатываемого 
материала и стружки. Развитие высоких температур на контактных поверхностях инструмента и в зоне стружкообразования способствует интенсификации 
диффузионных процессов. В связи с этим существует необходимость изучения 
указанных физических явлений и проведения глубоких экспериментальных и 
теоретических исследований в области механических, тепловых и диффузионных процессов при резании.  
Предлагаемые вниманию дополнительные главы, посвященные вопросам 
распространения тепла, деформаций, обобщению законов трения и диффузии, а 
также существующим на сегодня методам аналитического исследования 
данных физических явлений, будут полезны при подготовке к экзаменам по 
специальности для магистров и аспирантов.  
Круг рассматриваемых в пособии вопросов ориентирован на получение 
теоретических знаний, позволяющих установить физический механизм взаимодействия инструмента с обрабатываемой заготовкой и определить соотношение между скоростью резания и скоростью подачи, соответствующее 
наилучшим условиям обработки. Принципиальная возможность определения 
оптимального соотношения параметров режима резания основывается на разработке общей теории процесса, элементы которой в виде отдельных математических моделей представлены в ряде работ ученых ФГБОУ ВО «Рыбинский 
государственный авиационный технический университет имени П. А. Соловьева» ([10, 11, 46–50, 52, 53 и др.]). 
Изложение предлагаемых в работе разделов базируется на основе корректного использования фундаментальных теоретических положений в области 
физики и высшей математики, а также знаниях из специальных дисциплин, таких как теория резания, информатика, режущие инструменты, технологии конструкционных материалов и технология машиностроения. 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 

 
1. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПОДОБИЯ  
И ПРИНЦИПЫ ЕЕ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ  
ПРИ ИЗУЧЕНИИ ПРОЦЕССОВ РЕЗАНИЯ МЕТАЛЛОВ 
 
 
Теория подобия рассматривает методы научного обобщения данных единичного опыта. Как известно, при изучении различных физических явлений и 
процессов используются два принципиально отличных метода исследования: 
экспериментальный и теоретический. В первом случае используют экспериментальное изучение конкретных свойств явления, во втором – исходят из теоретического исследования рассматриваемой проблемы. 
 
Достоинством экспериментального метода исследования является достоверность и наглядность полученных результатов. Кроме того, при выполнении 
эксперимента легко сосредоточить основное внимание на отыскании непосредственной связи между величинами, представляющими наибольший интерес в 
данном конкретном случае. Основной недостаток экспериментального метода 
заключается в том, что результаты любого данного эксперимента не могут быть 
использованы применительно к другому явлению, которое, пусть даже в деталях, отличается от изученного. 
 
Основным достоинством теоретического метода исследования является 
исключительно большая общность получаемых результатов. Однако он обладает тем недостатком, что иногда не может быть эффективно применён к изучению сложных физических процессов, например в связи с чрезмерной сложностью их математического описания. Кроме того, теоретические решения в 
большинстве случаев громоздки, мало наглядны, что затрудняет их практическое использование. 
Теория подобия – наука, соединяющая в себе положительные качества 
обоих методов исследования: общность теоретического подхода и достоверность экспериментального. Она основана на обработке результатов экспериментов с помощью безразмерных комплексов: симплексов (отношение двух однородных величин) и критериев подобия, составленных из разнородных физических величин, включающих в себя все основные параметры изучаемого процесса. Часто им присваивают имена известных ученых: Re – критерий Рейнольдса, Pe – критерий Пекле и т. д. Критерии подобия всегда безразмерны и имеют 
определенный физический смысл. При этом критерии подобия, включающие в 
себя только величины, известные до опыта, получили название определяющих. 
Критерии, содержащие одну или несколько величин, подлежащих определению, называются неопределяющими или определяемыми. 
 Критерии подобия находятся путём специального анализа общих теоретических уравнений процесса, записанных в дифференциальной или конечной 
формах. Поскольку правильно составленные теоретические равнения обычно 
описывают весьма широкий класс изучаемых явлений, то получаемые из них 
безразмерные критерии обладают большой общностью и универсальностью. 
4 

 
 Конкретная количественная связь устанавливается на основе экспериментального метода исследования, но результаты опытов обрабатываются не в 
виде зависимостей между параметрами процесса, а в виде зависимостей между 
критериями подобия, каждый из которых включает в себя большой комплекс 
параметров изучаемого процесса. Очевидно, их количество всегда окажется в 
несколько раз меньше количества размерных физических величин. 
 
1.1. Общие сведения и понятийный аппарат 
 
 
Во многих случаях связь между физическими величинами может быть 
представлена в виде уравнений, получивших название уравнений связи. В современной математической или теоретической физике наиболее широко применяются дифференциальные уравнения. При их выводе используются самые 
общие законы природы. 
Приложение этих законов к изучаемым явлениям позволяет получить 
наиболее общие связи между физическими параметрами явления. Примером 
может служить вывод известного дифференциального уравнения теплопроводности Фурье (
τ
∂
∂
=
∇
⋅
/
2
t
t
a
), при котором не учитывалась конкретная обстановка явления и рассматривался только выделенный дифференциальный объём 
тела dV. Для вывода уравнения потребовался единственный опытный факт, что 
перераспределение энергии в среде возможно только при наличии градиентов 
температуры. Дифференциальное уравнение не содержит сведений о конкретных значениях физических параметров, характерных для какого-либо конкретного единичного явления. Поэтому оно представляет собой наиболее общую 
связь между существенными для явления величинами и характеризует свойства, присущие всем явлениям данного класса. Под классом понимается такая 
совокупность явлений, которая характеризуется одинаковым механизмом процессов и их одинаковой физической природой. В данном примере речь идёт о 
классе явлений теплопроводности. 
 
При интегрировании любого дифференциального уравнения можно получить бесчисленное множество различных решений. Чтобы из этого множества 
выделить одно частное, следует знать все характерные особенности данного 
явления. Эти дополнительные условия, выделяющие его из всего класса однородных явлений, описываемого дифференциальным уравнением, получили 
название условий однозначности. Их характеризуют: 
− геометрические условия (форма и размеры тела или системы тел); 
− физические условия, в которых находятся тела данной системы; 
− граничные условия (условия взаимодействия системы с окружающей 
средой); 
− временные (начальные) условия, характеризующие протекание процесса в начальный момент времени по всему объёму системы.  
Математическая сложность подобных решений очевидна и зачастую допускает лишь приближённые решения. Кроме того, далеко не всегда удаётся с 
достаточной степенью адекватности математически описать условия однознач5 

 
ности, что при интегрировании приводит к недопустимо большим погрешностям.  
 
Теория подобия, представляя собой универсальный аппарат для изучения 
различных физических явлений, позволяет из анализа дифференциальных 
уравнений и условий однозначности сделать ряд выводов, не прибегая к интегрированию. Это даёт надёжную теоретическую базу для постановки опытов и 
обработки экспериментальных данных.  
 
Помимо класса и единичного явления, в теории подобия введено понятие 
группы явлений, под которым понимают совокупность физических процессов, 
описываемых одинаковыми по форме и содержанию размерными условиями 
однозначности и одинаковыми дифференциальными уравнениями. Группа явлений объединяет все процессы, на которые возможно распространение результатов единичного опыта. Различие между группами состоит лишь в разных 
численных значениях величин, входящих в условия однозначности. Понятие 
группы уже понятия класса, но шире единичного явления. 
 
Например, понятие «прямоугольник» определяет класс плоских фигур, 
объединённых тем общим свойством, что все их углы прямые. Чтобы выделить 
из этого класса единичную фигуру, необходимо задать численные значения 
сторон а1, а2, которые являются условиями однозначности. Группа подобных 
фигур получится, если стороны основной фигуры умножить на величину  
Ка  =  а1*/а2*  =  а1**/а2** =  а1***/а2***. При этом каждой точке одной фигуры, отличающейся от другой лишь масштабом, соответствует сходственная точка 
другой. 
 
Безразмерные соотношения параметров, характеризующих процесс, которые у подобных явлений в сходственных точках имеют численно одинаковые 
значения, называются числами подобия. Безразмерные числа подобия представляют собой новые переменные, введение которых значительно уменьшает число величин под знаком функции. Количественная связь между числами подобия 
определяется опытным путём.  
 
Указания о том, в каком направлении следует вести эксперимент, даются 
теориями размерностей и подобия. 
 
Обе теории позволяют получить искомые связи между физическими величинами для исследуемых явлений в виде зависимостей между безразмерными комплексами, составленными из этих величин. Однако исходные предпосылки и методы получения безразмерных комплексов различны. 
 
Теорию размерностей применяют тогда, когда уравнения связи неизвестны, когда рассматривается новый сложный процесс, для которого ещё не существует аналитического описания. В этом случае необходимо лишь наличие 
полного списка величин, существенных для исследуемого явления, из которых 
интуитивно составляются безразмерные комплексы и соответствующие уравнения подобия. Достоинство метода – простота и наглядность. Слабой стороной этой теории является возможность получения неточных и даже ошибочных 
решений, если использованы не все величины, характеризующие процесс, а его 
физическая сущность ясна не полностью. 
6 

 
 
Теория подобия применима тогда, когда не только известен список необходимых величин, но и имеется система дифференциальных уравнений с математически записанными условиями однозначности. Основным достоинством 
теории подобия является надёжность решений, получаемых при её применении. 
 
1.2. Теоремы подобия 
 
 
Основу теории подобия физических явлений составляют три теоремы. 
Первые две, рассматривая явления, подобие которых известно заранее, формулируют их основные свойства, третья – устанавливает признаки подобия. 
 
1. Первая теорема подобия для подобного течения двух жидкостей была 
высказана И. Ньютоном в 1686 г. и доказана Ж. Бертраном в 1848 г. Она гласит: 
«У подобных явлений индикаторы подобия равны единице, а числа подобия численно равны». 
 
Рассмотрим пример на основе второго закона Ньютона. Предположим, 
имеется случай подобного движения двух механических систем, описываемых 
одинаковыми уравнениями: 
 
∗
∗
∗
d
d
m
f
 
(1) 
 
;
τ
ω
⋅
=
 
 
.
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
τ
ω
⋅
=
d
d
m
f
 
 (2) 
 
 
Существование подобия между явлениями налагает на них следующие 
условия: 
 
 
;
∗
∗
∗
⋅
=
f
C
f
f
 
∗
∗
∗
⋅
=
m
C
m
m
;
∗
ω
∗
∗
ω
⋅
=
ω
С
; 
∗
τ
∗
∗
τ
⋅
=
τ
C
. 
 (3) 
 
Подставим выражения для величин второго явления через величины первого из (3) в уравнение (2): 
 
C
C
⋅
∗
∗
∗
f
. 
 (4) 
  
∗
d
d
m
f
C
C
§
⋅
m
ω
·
¨
¨
©
τ
τ
ω
⋅
=
⋅
¸
¸
¹
 
Уравнения (4) и (1) тождественны при условии 
 
 
C
C
⋅
f
  =  C  =  1 , 
 (5) 
τ
C
C
§
⋅
m
ω
·
¨
¨
©
 
 
¸
¸
¹
 
где C – индикатор подобия (англ. «idem» § «то же самое»). 
7 

 
 
Если в выражение (5) подставить зависимость (3), обнаружим также равенство чисел подобия одному числу, получившему название число Ньютона 
(Ne): 
 
∗
∗
∗
∗
∗
∗
 
(6) 
∗
∗
∗
∗
∗
∗
 
.
idem
m
f
Ne
m
f
m
f
=
ω
⋅
τ
⋅
=
=
ω
⋅
τ
⋅
ω
⋅
τ
⋅
=
 
 
 
В 1949 г. М. В. Кирпичев привёл ещё одну формулировку той же теоремы, в настоящее время чаще использующуюся: «Если совокупность явлений, 
определяемых системами дифференциальных уравнений и условиями однозначности, образует группу подобных явлений, то величины, входящие в определяющую дифференциальную систему, должны образовывать комплексы, сохраняющие одно и то же численное значение для заданной совокупности явлений». 
Эти комплексы, получившие название «инварианты подобия», могут быть зависимыми и независимыми. 
 
2. Вторая теорема подобия впервые была доказана в 1911 г. русским учёным А. Федерманом. Она гласит: «Если физическое явление описывается системой дифференциальных уравнений, то всегда существует возможность 
представления их в виде уравнений подобия».  
 
Теорема утверждает, что операция интегрирования не изменяет вида чисел подобия. Из неё следует, что если результаты любого эксперимента обработать в числах подобия K1, K2, K3,… Kn, то зависимость между ними необходимо 
выражать в виде уравнения подобия. Уравнением подобия называют такое 
уравнение, которое любую зависимость между величинами, характеризующими 
данное явление, представляет зависимостью между числами подобия: f(K1, K2, 
K3… Kn)  =  0. 
 
3. Третья теорема, доказанная в 1933 г. М. В. Кирпичевым, устанавливает 
необходимые условия подобных явлений: «Два явления подобны, если они описываются одной и той же системой дифференциальных уравнений, имеют подобные условия однозначности и числа подобия, составленные из условий однозначности, численно одинаковы». 
 
Если условия однозначности подобны и определённые из них числа подобия численно равны, то это влечёт за собой равенство всех определяемых чисел подобия. Следовательно, каждое из определяемых чисел есть однозначная 
функция совокупности определяющих чисел подобия. 
 
Таким образом, теория подобия даёт общие методические указания по 
анализу описывающих явление уравнений, устанавливает пути для правильных 
подходов к постановке опыта и обработке полученных результатов, а также 
определяет условия, при которых полученные результаты можно распространять на другие подобные явления.  
  
 
 
8 

 
1.3. Приведение дифференциальных уравнений  
конвективного теплообмена и условий однозначности  
к безразмерному виду 
 
Допустим, математическое описание процесса содержит систему из четырёх уравнений. 
1. Уравнение движения вязкой жидкости Навье–Cтокса вдоль оси х 
 
2
2
2
§
x
x
x
x
x
z
x
y
x
x
x
. 
(7) 
2
2
z
y
x
x
p
g
z
y
x
§
∂
ω
∂
ω
+
∂
ω
∂
ω
+
∂
ω
∂
ω
+
τ
∂
ω
∂
⋅
ρ
2
·
¨
¨
©
∂
ω
∂
+
∂
ω
∂
+
∂
ω
∂
⋅
μ
+
∂
∂
−
⋅
ρ
=
¸
¸
¹
·
¨
¨
©
 
¸
¸
¹
 
2. Уравнение сплошности для несжимаемой жидкости  
 
z
y
x
. 
 (8) 
 
0
=
∂
ω
∂
+
∂
ω
∂
+
∂
ω
∂
z
y
x
 
3. Уравнение энергии потока жидкости 
 
2
2
§
 
 
.
2
2
2
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
⋅
=
∂
∂
ω
+
∂
∂
ω
+
∂
∂
ω
+
τ
∂
∂
z
t
y
t
x
t
a
z
t
y
t
x
t
t
z
y
x
 
 (9) 
·
¨
¨
©
2
¸
¸
¹
 
 
4. Уравнение теплообмена на границе твёрдого тела с окружающей средой 
 
 
.
.
поверхн
x
t
t
¸
¹
·
¨
©
§
∂
∂
λ
−
=
Δ
⋅
α
 
 (10) 
 
Процессы, протекающие во второй (подобной) системе, описываются 
уравнениями того же вида (7–10), что и процессы в первой, но их сходственные 
величины численно отличаются, что отражает индекс ( * ), а, следовательно, образуют систему уравнений (7*–10*). 
На основании подобия процессов сходственные величины систем связаны 
попарно множителями подобного преобразования:  
 
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
y
z
;
;
;
;
;
ω
ρ
τ
C
g
g
C
C
C
C
z
z
y
y
x
x
ω
=
ω
ω
=
τ
τ
=
=
=
=
=
ρ
ρ
=
ω
ω
=
ω
x
y
g
z
x
l
  
(11)  
 
 
 
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
.
;
;
;
;
;
t
a
p
μ
λ
α
C
C
C
t
t
t
t
C
a
a
C
C
p
p
=
α
α
=
λ
λ
=
=
Δ
Δ
=
=
μ
μ
=
 
 
9 

 
Подставим выражения (11) в систему уравнений (7*–10*): 
 
2
C
C
C
C
ω
ρ
ω
ρ
x
C
z
y
x
C
ω
∂
⋅
ω
+
∂
ω
∂
⋅
ω
⋅
ρ
⋅
⋅
+
τ
∂
ω
∂
⋅
ρ
⋅
⋅
§
∂
ω
∂
⋅
ω
+
∂
z
z
y
y
x
x
l
τ
=
¸
¸
¹
·
¨
¨
©
 
 
 
 (12) 
2
2
2
C
C
§
x
x
x
C
g
C
C
p
x
g
ω
μ
ρ
2
2
2
.
2
x
p
C
z
y
x
C
∂
ω
∂
+
∂
ω
∂
+
∂
ω
∂
⋅
μ
⋅
⋅
+
∂
∂
⋅
−
⋅
ρ
⋅
⋅
=
l
l
·
¨
¨
©
¸
¸
¹
 
 
ω
∂
+
∂
ω
∂
⋅
ω
z
y
x
C
C
z
y
x
§
∂
ω
∂
+
∂
l
 
(13) 
 
.
0
=
¸
¸
¹
·
¨
¨
©
 
 
2
2
2
§
t
t
  
(14) 
  
.
2
2
2
§
∂
∂
⋅
ω
+
∂
∂
⋅
ω
+
∂
∂
⋅
ω
⋅
⋅
+
τ
∂
∂
⋅
ω
t
a
z
y
x
l
l
·
¨
¨
©
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
⋅
⋅
⋅
=
¸
¸
¹
τ
z
t
y
t
x
t
a
C
C
C
z
t
y
t
x
t
C
C
C
t
C
C
·
¨
¨
©
2
¸
¸
¹
 
 
 
.
x
t
C
C
C
t
C
C
t
t
a
∂
∂
⋅
λ
⋅
⋅
−
=
Δ
⋅
α
⋅
⋅
λ
 
 (15) 
l
 
Из условия тождественности уравнений (7–10) и (13–15) следует, что 
комплексы, составленные из множителей подобного преобразования, должны 
быть равны между собой: 
 
2
C
C
C
C
C
C
ω
μ
ω
ρ
ω
⋅
=
=
⋅
=
⋅
=
⋅
 
(16) 
 
.
2
C
C
C
C
C
C
p
C
p
g
p
l
l
l
τ
 
Сгруппируем члены этих соотношений по два. 
 
C
C
C
C
2
ω
 
 
ω
⋅
=
⋅
  или 
1
=
⋅
τ
ω
p
p
C
C
l
l
C
C
C
.  
 (17) 
τ
 
2
p
C
C
g
l
. 
 (18) 
  
ω
⋅
=
⋅
 или 
1
2
=
⋅
C
C
C
C
C
p
g
l
ω
C
 
C
p
 
 
C p
 
(19) 
C
l
C
l
C
C
=
⋅
ω
ρ
2
 или 
.
1
2 =
⋅
ω
ρ C
C
 
10