Применение теории пластичности в технологических процессах обработки металлов давлением

 
 
 
 
 
 
 
Т. В. Бровман 
 
 
 
 
ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ПЛАСТИЧНОСТИ 
В ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ПРОЦЕССАХ 
ОБРАБОТКИ МЕТАЛЛОВ ДАВЛЕНИЕМ 
 
 
Учебное пособие 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Москва    Вологда 
«Инфра-Инженерия» 
2024

УДК 621.771.0 
ББК 34.447 
Б88 
 
 
 
Рецензенты: 
главный специалист департамента качества и эксплуатационной надежности 
ООО «КСК», к. т. н. Кузьмин Д. Г.;  
 
заведующий лабораторией института металлургии РАН им. А. А. Байкова, 
д. т. н. Юсупов В. С. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Бровман, Т. В.  
Б88  
Применение теории пластичности в технологических процессах обработки металлов давлением : учебное пособие / Т. В. Бровман. - Москва ; 
Вологда : Инфра-Инженерия, 2024. - 136 с. : ил., табл. 
ISBN 978-5-9729-1724-2 
 
Рассмотрены общие закономерности построения кинематически допустимых полей скоростей, при обжатии и одновременном движении заготовки. Даны решения технологических задач обработки металлов давлением, связанные с определением энергосиловых параметров.  
Для студентов, обучающихся по направлению подготовки «Машиностроение». 
 
УДК 621.771.0 
ББК 34.447 
 
 
 
 
ISBN 978-5-9729-1724-2 
© Бровман Т. В., 2024 
 
© Издательство «Инфра-Инженерия», 2024 
 
© Оформление. Издательство «Инфра-Инженерия», 2024 



Оглавление 
 
Введение ....................................................................................................................... 4
Глава 1. Деформация анизотропных тел 
................................................................... 5
1.1. Решение пластической деформации анизотропной среды при сжатии 
тонкого слоя между жесткими плитами ................................................................... 5
1.2. Теоретические и экспериментальные исследования функциональной 
симметрии энергосиловых параметров пластической деформации металлов ... 13
1.3. Динамические задачи осесимметричной нестационарной деформации ...... 18
1.4. Деформация шара при его симметричном нагружении ................................. 24
1.5. Деформация поковок в штампах с отрицательным выпуском ...................... 25
1.6. Деформация металла при поперечной прокатке 
............................................. 33
1.7. Определение сопротивления деформации при прокатке 
............................... 44
Глава 2. Исследование устойчивости процесса непрерывной прокатки 
............. 53
2.1. Контактные деформации при качении цилиндрических  
жесткопластических тел ........................................................................................... 56
2.2. Определение усилий при вдавливании штампов в полуплоскость .............. 62
2.3. Исследование процесса клеймения заготовок 
................................................. 65
2.4. Использование обратных задач теории пластичности для анализа  
процесса прокатки ..................................................................................................... 70
Глава 3. Методика расчета энергосиловых параметров закатки баллонов 
......... 79
Глава 4. Фрикционный процесс обработки давлением ......................................... 88
Глава 5. Определение силовых воздействий на непрерывных заготовочных 
станах .......................................................................................................................... 92
Глава 6. Энергетические методы расчета энергосиловых параметров 
пластической деформации 
........................................................................................ 99
6.1. Определение верхних оценок мощности при обработке металлов  
давлением ................................................................................................................... 99
6.2. О напряженном состоянии в процессе волочения при симметричной 
деформации .............................................................................................................. 104
6.3. О движении пластической массы в криволинейном канале 
........................ 112
Глава 7. О влиянии электрического тока на процесс пластической  
деформации .............................................................................................................. 118
Глава 8. О влиянии характера внешнего нагружения и скорости  
прокатки на коэффициенты перегрузки для станов горячей прокатки ............. 123
Литература ............................................................................................................... 130
 
 
 
3 

Введение 
 
Связь теории пластичности и методов обработки давлением прослеживается 
не только с применяемыми для решения задач положениями деформационной 
теории, теорий Леви-Мизеса и Прандля-Рейса, но и с ограничениями внешних 
зон, без рассмотрения которых получаемые значение характеризуются завышенными показателями энергосиловых параметров.  Поэтому комплексное рассмотрение поставленных задач реальных процессов обработки металлов давлением 
носит учебный и исследовательский характер. Рассмотрены общие закономерности построения кинематически допустимых полей скоростей, при обжатии и одновременном движении заготовки. Показано, что главная трудность заключается 
в удовлетворении краевых условий на границах жестких зон, соблюдении условия непрерывности скоростей. Цель проведенных исследований - установить характер течения металла, его напряженное состояние, выявить условия возникновения дефектов. 
 
 
4 

Глава 1. Деформация анизотропных тел 
 
1.1. Решение пластической деформации анизотропной среды при сжатии 
тонкого слоя между жесткими плитами 
 
При прокатке, прессовании, волочении ряда цветных металлов, например, 
цинка, латуни, мельхиора, анизотропия весьма существенно влияет на процесс 
деформации. Анизотропия наблюдается при деформации тонких листов из 
стали, меди, алюминия, а также для слитков. Последнее имеет большое значение, 
так как сейчас ведутся работы по совмещению процессов непрерывной разливки 
и прокатки [1]. 
У ряда металлов, первоначально изотропных, анизотропия появляется в самом процессе деформации. 
При плоской деформации имеем систему уравнений [2, 3]: 
 
0;
0;
xy
y
xy
x
x
y
y
x
∂τ
∂σ
∂τ
∂σ +
=
+
=
∂
∂
∂
∂
 
 
(
)
2
2
2
4
( );
x
y
xy
Y
σ −σ
+ τ
=
ϕ  
 
∂
ε =
=λ σ −σ +
τ
∂
ϕ
 
(1.1) 
 
1
;
x
x
x
y
xy
v
dY
x
Y d
§
·
¨
¸
©
¹
 
∂
ε =
=λ σ −σ −
τ
∂
ϕ
 
1
;
y
y
y
x
xy
v
dY
y
Y d
§
·
¨
¸
©
¹
 
∂
∂
γ
=
+
=λ
τ −
σ −σ
∂
∂
ϕ
 
(
)
1
4
,
y
x
xy
xy
x
y
v
v
dY
y
x
Y d
ª
º
«
»
¬
¼
 
где ıx, ıy, IJxy - компоненты тензора напряжений; 
vx, vy - компоненты скорости течения вдоль осей; 
x, y, İx, İy, Ȗxy - компоненты тензора скорости деформации; 
Ȝ - неизвестная функция координат; 
Y(ij) - предел текучести при плоской деформации; 
Y - может зависеть от координат (например, при неравномерном нагреве) и 
от угла ij, который составляет наибольшее главное напряжение с осью x: 
 
xy
 
2
1 arctg
.
2
x
y
τ
ϕ =
σ −σ
 
(1.2) 
 
Следовательно, системы (1.1), (1.2) дают возможность учесть и неоднородность, и анизотропию механических свойств. 
5 

2
;
;
2
;
xy
y
x
b
ay
G
ax
G
ax
k
ay
b
τ
=
+
σ = −
−
σ = −
−
+
−
+
 
 
Рис. 1.1 Схема деформации 
 
Некоторые методы решения системы (1.1) изучены в работах [2-7]. 
О. Д. Григорьев решил задачу о сжатии длинного плоского слоя толщиной 2h и 
длиной 2l (рис. 1.1). Если трение на верхней поверхности полосы при y = h равно 
mkn, а на нижней при y = - h; - nk
n; 0 ” m ” 1,0; 0 ” n ” 1,0; kn, k
n - пределы текучести на сдвиг на верхней и нижней поверхностях, m, n - постоянные, характеризующие трение, то: 
 
(
)
 
( )
1
0
0
;
;
x
y
x
y
v
G
v
f
y
v
v
h
h
=
+
+
= −
 
 
2
2
(
)
(
)
( )
0
2
2
0
1
4
2
;
1
2
(
)
(
)
y
dk
ay
b
k
ay
b
v
k d
f
y
dy
dk
h
k
ay
b
ay
b k d
+
−
−
+
ϕ
=
−
+
+
+
ϕ
³
 
 
 
(
)
(
)
1
1
;
;
2
2
n
n
n
n
a
mk
nk
b
mk nk
h
=
+
=
′
′
  
(1.3) 
 
( )
( )
0,5
.
k
Y
ϕ =
ϕ  
 
Если условия трения на обеих поверхностях одинаковы, то m = n, kn = k
n. 
Среднее удельное давление: 
 
+
h
n
n
cp
h
mk
mk y
l
p
Y
G
dy
h
h
h
−
=
+
=
ϕ
³
 
1
;
.
2
tg2
 
Но из формулы (1.2) следует: 
 
 
ϕ =
=
ϕ
2
2
tg2
;
sin 2 .
n
n
n
−
mk y
mk y
k
h
mk y
h k
h
§
·
¨
¸
©
¹
 
(
)
при
;
0,5 ;
sin 2
2 cos2
,
n
h
dk
y
h
dy
k
d
mk
d
§
·
¨
¸
©
¹
=
ϕ =
=
ϕ+
ϕ
ϕ
ϕ
 
 
0,5arcsin
 
0
2
cos2
sin2
2 cos2
.
m
ϕ
=
ϕ+
ϕ
ϕ
ϕ
³
  
(1.4) 
n
hm
dk
G
k
d
h
mk
d
§
·
¨
¸
©
¹
6 

Если ввести коэффициент напряженного состояния как отношение среднего 
удельного давления к пределу текучести вдоль оси x, то: 
 
m
cp
cp
0,5arcsin
2
 
(
)
( )
0,5
1
1
1
1
0,25
;
2
x
x
0
p
p
l
n
m
f
d
m
Y
k
m
h
σ
ª
º
ª
º
«
»
«
»
«
»
«
»
¬
¼
¬
¼
=
=
=
+α + α −
−
ϕ
ϕ+
′
′
α′
³
 (1.5) 
 
где 
x
x
y
y
Y
k
Y
k
α =
=
′
 - отношение пределов текучести вдоль осей x, y. Если же ввести 
cp
p
n
k
σ =
 то: 
1
,
2
n
0,5arcsin
 
 
( )
1
0
1
0,25
;
m
l
n
f
d
m
m
h
σ =
ϕ
ϕ +
³
  
(1.6) 
 
 
( )
1
2
cos2
sin2
cos2
.
k
dk
k
f
k
k
d
k
ϕ =
ϕ
ϕ+
ϕ
ϕ
  
(1.7) 
n
n
n
§
·
¨
¸
©
¹
 
Если k = kn = const, то получаем решение для изотропной среды. Для дальнейшего анализа необходимо выбрать функцию Y(ij), описывающую характер 
анизотропии предела текучести. Примем для описания зависимости Y(ij) функцию. 
 
 
( )
(
)
(
)
max
max
min
min
min
cos
1
cos
,
2
2
1
Y
Y
Y
Y
Y
Y
t
t
ª
º
¬
¼
+
−
ϕ =
+
ϕ =
+β
ϕ
−β
  
(1.8) 
x
где 
(
)
max
1,
,
при
2,0  и 
 совадают ,
1
y
Y
Y
t
Y
Y
α −
β =
α =
= α
=
α
α
′
′
α +
 
min
t - постоянная, характеризующая характер изменения анизотропии. Случаи 
t = 2, t = 4, t = 6 показаны на рис. 1.2.  
 
 
 
Рис. 1.2 Схема анизотропии механических свойств 
 
При t = 2,0 из выражений (1.4) и (1.5) получаем: 
 
7 

(
)
(
)
(
)
2
2
2
2
2
m
n
m
m
m
m
m
σ
ª
º
«
»
¬
¼
=
+β
+ β
−
+
−
+ β −
+
+β
+β
−
 
2
0,25
arcsin
2
4
2
1
2 3
2
1
1
1
(
)(
)
 
 
(
)
m
m
l
h
β
−
+
+β
  
(1.9) 
2
0,25
1
1
,
1
 
а при наибольших возможных силах трения, когда m = 1,0: 
 
 
2
1
0,25
.
1
4
8
l
n
h
σ
§
·
¨
¸
©
¹
π
π
=
+β +
β +
+β
  
(1.10) 
 
Для изотропной среды при 
1,0;
0;
0,25
4
u
l
n
h
σ
π
α =
β =
=
+
. Удобно ввести коσ
эффициент влияния анизотропии 
a
u
n
n
n
σ
=
, характеризующий, насколько усилие 
деформации для анизотропной среды больше (или меньше) чем для изотропной. 
На рис. 1.3, а приведены графики na в функции от Į для 
1,0;
10
l
l
h
h
=
=
 при 
m = 1,0, а на рис. 1.3, б графики na при 
5,0
l
h =
 для различных m, что позволяет 
оценить влияние трения. 
 
 
 
Рис. 1.3 Графики na при t = 2 (а, б) и t < 2 (в, г) 
 
Рассмотрим случай, когда анизотропия механических свойств носит более 
сложный характер (см. рис. 1.2, б, в). При m = 1,0 (при максимальном трении): 
8 

cp
x
π
πβ
β
π
β
π
=
+
+
+
+
π
+β
+β
 
(
)
2
2
1
2 sin
sin
2
4
8
4
4
2
1
1
cos 4
p
t
t
n
t
k
t
t
σ
ª
º
«
»
§
· ¬
¼
¨
¸
©
¹
 
t
l
h
π
+β
+
+β
 
(1.11) 
1
cos 4 0,25 .
1
 
Пусть t = 2i, i - нечетное (t = 2, 6, 10, 14…) (i = 1, 3, 5, 7): 
 
cos
cos
0, sin
1,0.
4
2
2
t
i
i
π
π
π
=
= ±
 
 
Тогда из уравнений (1.11) имеем: 
 
 
a
β
+
+
β ±
=
+β
+
  
(1.12) 
2
2
0,785
0,25
0,39
.
1
0,75
0,25
(
)
l
h
t
n
l
h
§
·
¨
¸
©
¹
 
На рис. 1.3, в приведены графики na при t = 2, t = 6 (i = 1,3). При tĺ’ na стремится к функции, показанной на рис. 1.3, в штрихами. (В выражении (1.12) от t 
зависит только последнее слагаемое числителя, которое с возрастанием t стремится к нулю.) 
Если i число четное, то примем i = 2j, t = 4j. Когда i - четное, t = 8, 16, 24, то 
в уравнении (1.11): 
 
cos
cos
1,0, sin
sin
0, sin
0,
4
4
4
t
t
t
j
j
π
π
π
=
π = +
=
π =
=
 
 
2
2
 
(
)
a
2
+
β +
+β
=
+β
+
 
(1.13) 
0,785
0,39
1
0,25
.
1
0,785
0,25
(
)
l
h
n
l
h
§
·
¨
¸
©
¹
 
При этом na не зависит от t. График na(Į) (один для всех t при t = 4j, j четном) 
приведен на рис. 1.3, г (кривая 1). 
Если j нечетное, то в уравнении (1.11): 
 
sin
sin
0, cos
1,0,
4
4
t
t
j
π
π
=
π =
= −
 
 
2
2
 
(
)
a
2
+
β +
−β
=
−β
+
  
(1.14) 
0,785
0,39
1
0,25
.
1
0,785
0,25
(
)
l
h
n
l
h
§
·
¨
¸
©
¹
 
И в этом случае na не зависит от t. 
График na приведен на рис. 1.3, г (кривая 2). При i нечетном и j четном с 
ростом Į, na асимптотически стремится к некоторой величине. При j нечетном 
j = 1, 3, 5 … t = 4, 12, 20 (сюда относится и ортотропная среда) na имеет при не9 

котором Į минимуме, а далее возрастает (рис. 1.3, г). Функции na, характеризующие особенности анизотропной среды, позволяют легко обобщить результаты, 
Полученные для изотропной среды, для случая анализа деформации анизотропного металла. Аналогично [2] получено решение о течении металла в сходящемся канале (применительно к волочению, прессованию). Графики na для того 
случая близки к графикам, приведенным на рис. 1.3. Расхождение не превышает 
7·8 . Следовательно, характер влияния анизотропии на nı для случаев осадки 
и волочения примерно одинаков. 
Укажем, что если трение равно нулю, то из выражений (1.3) и (1.9) следует 
pср = 2kx = Yx. На первый взгляд, этот результат является неожиданным, казалось 
бы, что при одноосном сжатии вдоль оси y без трения (в условиях плоской деформации) мы должны были бы получить предел текучести вдоль этой же 
оси - y. Но поскольку при сжатии вдоль оси y наибольшее главное напряжение - ıx (оно равно нулю, а ız < 0, ıx < 0) совпадает с осью x, ij = 0, pср = Yx. Если 
бы мы осуществляли растяжение вдоль оси y, наибольшее главное напряжение 
ıy составило бы угол 
2
π
ϕ =
 с осью x и имело бы место pср = Yy. В условиях плоской деформации предел текучести на растяжение вдоль оси x - Yx равен пределу 
текучести на сжатие вдоль перпендикулярной оси y - Y
y, kx = k
y, Yx = Y
y. 
Аналогично, предел текучести на растяжение вдоль оси y равен пределу текучести на сжатие вдоль оси x. ky = k
x, Yy = Y
x. Это отмечено и в работе [4]. Если 
пределы текучести на растяжение (или сжатие) вдоль двух перпендикулярных 
осей различны, то различны пределы текучести на растяжение и сжатие вдоль 
одного и того же направления (при плоской деформации), т. е. материал по-разному сопротивляется растяжению и сжатию. Анизотропия тесно связана с различием пределов текучести на растяжение и сжатие. 
При экспериментальном исследовании мы обычно определяем пределы текучести вдоль различных направлений при одноосном растяжении (сжатии), а не 
в условиях плоской деформации. Поэтому надо иметь критерий, позволяющий 
по величинам пределов текучести по осям x, y, z, ıSx, ıSy, ıSz определять пределы 
текучести при плоской деформации по тем же направлениям: Yx, Yu. Если x, y, 
z - направления главных напряжений, то условие пластичности [2]: 
 
 
(
)
(
)
(
)
2
2
2
1,0,
x
y
y
z
z
x
H
F
Y
σ −σ
+
σ −σ
+
σ −σ
=
  
(1.15) 
 
H, F, Y - параметры, описывающие анизотропию. При ıy = ız = 0, ıx = ıSx, 
2
1
Sx
Y
H
+
= σ
. 
Испытывая образцы, вырезанные вдоль осей x, y, z, и определив их пределы 
текучести, выразим через них H, F, Y. 
 
2
2
2
1
1
1
1
;
2
Sy
Sz
Sx
F
§
·
¨
¸
¨
¸
©
¹
=
+
+
σ
σ
σ
 
10