Применение методов топологической оптимизации для решения задач проектирования элементов промышленных объектов

 
 
 
 
С. В. КАРПУШКИН, С. В. КАРПОВ, А. О. ГЛЕБОВ 
 
 
 
 
 
 
 
ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ  
ТОПОЛОГИЧЕСКОЙ ОПТИМИЗАЦИИ  
ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПРОЕКТИРОВАНИЯ ЭЛЕМЕНТОВ 
ПРОМЫШЛЕННЫХ ОБЪЕКТОВ 
 
Монография 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Москва     Вологда 
«Инфра-Инженерия» 
2024 
1 
 

Рекомендовано научно-техническим советом федерального 
государственного бюджетного образовательного учреждения 
высшего образования «Тамбовский государственный  
технический университет» (протокол № 2 от 20.09.2023 г.) 
УДК 519.863 
ББК 34.5 
К26 
 
 
 
 
 
Р е ц е н з е н т ы :  
д. т. н., профессор, зав. кафедрой «Процессы, аппараты и техносферная безопасность» 
ФГБОУ ВО «Тамбовский государственный технический университет»  
Гатапова Наталья Цибиковна; 
д. т. н., профессор кафедры «Компьютерно-интегрированные системы   
в машиностроении» ФГБОУ ВО «Тамбовский государственный технический университет» 
Соколов Михаил Владимирович  
 
 
 
 
 
 
Карпушкин, С. В. 
К26  
Применение методов топологической оптимизации для решения задач 
проектирования элементов промышленных объектов : монография / 
С. В. Карпушкин, С. В. Карпов, А. О. Глебов. - Москва ; Вологда :  
Инфра-Инженерия, 2024. - 116 с. : ил., табл.  
ISBN 978-5-9729-1901-7 
 
Монография посвящена представлению математических постановок и разработке 
методики решения задач оптимизации распределения материала в теплообменных и 
опорных элементах промышленных объектов. Особо отмечена необходимость исследования эффективности различных методов топологической оптимизации применительно к конкретным элементам промышленных объектов. Методика топологической 
оптимизации рассматривается на примерах известных тестовых задач: стационарной 
теплопроводности и изгиба опорной балки.  
Для специалистов, занимающихся проблемами оптимального проектирова- 
ния элементов промышленных объектов, работников проектно-конструкторских отделов промышленных предприятий, а также для студентов, обучающихся в магистра- 
туре по направлению 15.04.01 «Машиностроение», в аспирантуре по специально- 
стям 1.2.2 «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», 2.5.21 «Машины, агрегаты и технологические процессы». 
 
УДК 519.863 
ББК 34.5 
 
ISBN 978-5-9729-1901-7 
” Карпушкин С. В., Карпов С. В., Глебов А. О., 2024 
 
” Издательство «Инфра-Инженерия», 2024 
” Оформление. Издательство «Инфра-Инженерия», 2024
2 
 

 
СОДЕРЖАНИЕ 
 
1. ВВЕДЕНИЕ 
............................................................................................................. 3 
 1.1. Оценка результатов топологической оптимизации ......................................... 4 
 1.2. Методология топологической оптимизации .................................................... 6 
 1.3. Постобработка результатов топологической оптимизации 
............................ 7 
 
2. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ СТАЦИОНАРНОЙ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ 
........ 9 
 2.1. Постановка и решение задачи топологической оптимизации  
теплопроводности пластины 
............................................................................ 9 
 2.2. Постобработка результатов топологической оптимизации  
теплопроводности пластины  
......................................................................... 16 
 2.3. Изготовление топологически оптимизированного образца ......................... 20 
 
3. ПРОЕКТИРОВАНИЕ УСТРОЙСТВ РАВНОМЕРНОГО  
СТАЦИОНАРНОГО НАГРЕВА 
........................................................................... 24 
 3.1. Постановка задачи 
............................................................................................. 26 
 3.2. Метод решения задачи 
...................................................................................... 27 
 3.3. Алгоритм решения задачи топологической оптимизации 
............................ 32 
 3.4. Тестирование предложенной методики топологической оптимизации 
...... 33 
 
4. ИССЛЕДОВАНИЕ ЭФФЕКТИВНОСТИ КОНСТРУКЦИЙ  
ПАССИВНОГО ОХЛАЖДЕНИЯ  ....................................................................... 43 
 4.1. Топологически оптимизированная конструкция радиатора  
........................ 45 
 4.2. Традиционные конструкции радиаторов пассивного охлаждения  ............. 47 
 4.3. Экспериментальная установка и методика исследований ............................ 49 
 4.4. Сравнение расчётных и экспериментальных данных ................................... 52 
 
5. ИССЛЕДОВАНИЕ ВЛИЯНИЯ ВНУТРЕННЕЙ СТРУКТУРЫ  
ТОПОЛОГИЧЕСКИ ОПТИМИЗИРОВАННЫХ КОНСТРУКЦИЙ  
НА НАПРЯЖЁННО-ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕ  ..................... 57 
3 
 

 5.1. Постановка и решение задачи Мессершмитта - Бёлькова - Блома  
............ 60 
 5.2. Влияние внутренней структуры элементов оптимальной топологии  
на максимальную воспринимаемую нагрузку ............................................... 62 
 5.3. Влияние типа внутренней пористой структуры топологически 
оптимизированных конструкций на напряжённо-деформированное  
состояние  
........................................................................................................... 68 
 
6. СРАВНЕНИЕ ЭФФЕКТИВНОСТИ ПРИМЕНЕНИЯ МЕТОДОВ  
ТОПОЛОГИЧЕСКОЙ ОПТИМИЗАЦИИ  
НА ПРИМЕРЕ ТРАВЕРСЫ КОЛОННОГО ПРЕССА  
..................................... 
83 
 6.1. Постановки задачи топологической оптимизации  
напряженно-деформированного состояния  
................................................. 85 
 6.2. Результаты расчетов напряженно-деформированного  
состояния траверсы  ........................................................................................ 90 
 
ЗАКЛЮЧЕНИЕ ....................................................................................................... 97 
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ..................................................................................... 97 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 
 

 
1. ВВЕДЕНИЕ 
 
Топологическая оптимизация (ТО) - сравнительно новая методика поиска 
оптимальных конструкций технических систем, обеспечивающая значительное 
снижение материалоёмкости и энергопотребления. В общем случае это инструмент, основанный на совместном использовании численного анализа методом 
конечных элементов (МКЭ) и градиентных методов оптимизации распределения материала, обеспечивающего экстремум отклика объекта исследования  
на заданные условия функционирования [1] 
За последние 15 лет опубликовано большое количество работ, посвящённых применению методологии ТО для решения широкого спектра научнотехнических задач. Например, работа [2] посвящена применению ТО для проектирования стальных перфорированных двутавровых металлических профилей. Постановка и решение задачи ТО в этом случае позволили более глубоко 
понять механизмы напряжённо-деформированного состояния металлических 
балок при приложении нагрузок на изгиб и срез. В работе [3] рассмотрено применение ТО для создания радиаторов охлаждения. В качестве основных расчётных соотношений использованы уравнения Навье - Стокса при допущении 
о стационарном ламинарном течении несжимаемой среды. По мнению авторов, 
ТО является целесообразным подходом к решению задач моделирования тепловых процессов естественной конвекции. Авторы [4] исследовали ТО электромагнитных систем на примере бесщёточного электродвигателя постоянного 
тока. 
Целью ТО является определение наилучшего распределения материала в 
области с фиксированными геометрическими размерами при заданных нагрузках и удовлетворении ограничений. Как правило, для решения системы уравнений математической модели исследуемого объекта используется метод конечных элементов (МКЭ). Наиболее популярными методами ТО являются  
5 
 

SIMP-метод (SolidIsotropicMaterialwithPenalty) [5] и метод гомогенизации [6], 
использующие в качестве варьируемых переменных параметры элементов расчётной системы. Реализация процедуры оптимизации предусматривает установление отношений между плотностью материала и другими физическими 
свойствами (например, модулем Юнга или теплопроводностью). Далее на основе выбранного метода оптимизации происходит итерационное перераспределение материала внутри расчётной области. 
Задачи ТО предусматривают большое количество варьируемых переменных, поэтому для их решения используются специальные методы оптимизации. 
Наиболее часто применяется метод подвижных асимптот (MMA), который 
впервые был предложен Сванбергом [7], а затем развит этим же автором в работе [8]. Выбор метода обусловлен его применимостью для решения задач  
с сотнями и даже тысячами варьируемых переменных при незначительном увеличении объема вычислений. В литературе этот метод получил название 
GCMMA (глобально сходящийся метод скользящих асимптот) [9].  
 
1.1. Оценка результатов топологической оптимизации 
Решением задачи ТО является распределение условной плотности материала в расчётной области. В качестве критериев оптимальности в прочностных 
задачах могут выступать минимум потенциальной энергии деформации, минимум объёма изделия, а в качестве ограничений - допускаемые диапазоны значений перемещений, прочностных характеристик. 
В каждой точке расчётной системы возможно одно из квазидискретных 
состояний: в ней либо содержится конструкционный материал, либо нет. Такая 
дискретность может привести к ухудшению сходимости алгоритма оптимизации, поэтому используется понятие промежуточной плотности.  
Эффективность и точность ТО сильно зависит от первоначального распределения материала, выбранной сетки конечных элементов и процедур фильтрации получаемых результатов [10]. SIMP-метод получил широкое распро6 
 

странение благодаря простоте применения, вычислительной эффективности и 
относительно простой интеграции в существующие алгоритмы КЭ-анализа [11]. 
Часто оценка результатов ТО основывается лишь на визуальном анализе 
полученных результатов распределения материала. Авторы [10] приходят к выводу о некорректности подобного подхода: на конкретном примере показано, 
что алгоритм ТО быстро находит «относительно хорошее» решение, а далее 
требуется большое количество итераций для его незначительного улучшения  
с точки зрения целевой функции, но распределение материала изменяется существенно. Результаты ТО при анализе напряжённо-деформированного состояния, полученные на 100-й итерации и на финальной 1562-й, визуально очень 
схожи, значения целевой функции - 1,46 и 1,54 соответственно, т. е. финальный 
вариант лучше полученного на 100-й итерации всего на 5,5 , но распределения плотности материала в этих вариантах значительно различаются. В связи с 
этим авторы приходят к выводу, что анализировать решения задач ТО следует 
не только качественно, но и количественно.  
Результаты решения задач ТО чаще всего представляют в виде растрового изображения - бинарной картины распределения материала внутри расчётной области: значению «1» соответствует наличие материала, значению «0» - 
его отсутствие, значениям внутри интервала (0,1) - области с промежуточной 
плотностью. В практике численного решения задач ТО принято считать, что 
области со значением плотности [0; 0,4] соответствуют отсутствию материала, 
области в диапазоне [0,4; 0,6] являются переходными, а области [0,6; 1] соответствуют наличию материала. Для оценки решения задачи ТО интерес представляют две последние области. Будем называть данную шкалу представления 
данных «топологической».  
На основании вышесказанного можно сделать вывод, что задача разработки эффективного метода количественного и качественного анализа оценки 
результатов ТО является актуальной. Основными требованиями к этому методу 
являются простота реализации и универсальность (применимость для решения 
широкого спектра задач). 
7 
 

1.2. Методология топологической оптимизации 
Основой для разработки метода оценки результатов ТО является анализ 
растровых изображений результатов решения задач. Изображения часто представляются с помощью аддитивной цветовой модели RGB, которая ставит в соответствие каждому пикселю значение интенсивности красного r, зелёного g  
и голубого b цвета в виде [r, g, b]. Данную шкалу будем называть растровой. 
В этой шкале чёрному цвету соответствует тройка значений [0, 0, 0], белому - [255, 255, 255]. В связи с этим интересующие нас области [0,4; 0,6]  
и [0,6; 1] по топологической шкале будут иметь цветовую интенсивность  
[102, 153] и [153, 255] соответственно.  
Идея метода количественной оценки состоит в следующем. Необходимо 
представить результаты ТО в виде растровой графики, например, в распространённом формате JPG. Изображения должны быть идентичными, т. е. иметь 
одинаковый физический размер и разрешение. Далее осуществляется расчёт 
количества пикселей, которые соответствуют областям [0.4;1] и [0.6;1] по топологической шкале. Для этого вводится значение допуска “tol: если контрольный чёрный пиксель имеет цветовую интенсивность [r, g, b], то в выделение 
попадут пиксели, имеющую цветовую интенсивность [r “ tol,g “ tol,b “ tol]. Поэтому доля материала по топологической шкале [0.6;1] (mat1) и [0.4;1] (mat2) 
составит соответственно: 
mat1 = (px51/PX)Â100 , 
mat2 = (px77/PX)Â100 , 
где  PX - общее число пикселей растрового изображения, 
px77, px51 - число выделенных пикселей с допуском 77 и 51 соответственно. 
Оценка качественного сравнения результатов ТО строится на свойстве 
аддитивности цветовой модели RGB. Идея состоит в наложении одного растрового изображения на другое и вычитании значения цветовой интенсивности 
второго изображения из соответствующих значений первого. Получаемое  
8 
 

в итоге результирующее изображение будет иметь цветовую интенсивность  
[_r1 - r2_, _g1 - g2_, _b1 - b2_]. 
Таким образом, одинаковые области на двух изображениях будут иметь 
чёрный цвет, различающиеся по интенсивности - серый, значительно отличающиеся (например, «0» и «1») - белый. По количеству и геометрии белых областей на наложенных друг на друга изображениях можно судить о качественных 
различиях решений задачи ТО. Для количественного анализа достаточно рассчитать количество белых пикселей с известным значением допуска интенсивности (77 или 51). Отметим, что в некоторых работах расчётная плотность, относящаяся к отсутствию материала, принималась в диапазоне [0; 0,1] по топологической шкале [12, 13]. В представленном методе оценки это повлияет лишь  
на значение допуска tol. 
 
1.3. Постобработка результатов  
топологической оптимизации 
Методология ТО успешно используется при конструировании новых технических систем, обеспечивая уменьшение капитальных и эксплуатационных 
затрат при выполнении широкого спектра ограничений. Однако, в большинстве 
случаев, такие конструкции можно считать лишь концептом ввиду необходимости проведения постобработки результатов. Эти «доработки» геометрии во 
многих случаях могут сильно повлиять на эффективность конструкции, в том 
числе и негативно [14]. Как отмечено в [15], существует потребность в надёжных и доступных методах, позволяющих осуществить геометрическое отображение результатов ТО для проведения конечно-элементного (КЭ) анализа.  
О необходимости проведения операций постобработки результатов ТО 
заявлено, например, в [16]. В работе [17] предлагается не только простое отображение полученных результатов в данные о геометрии, но и учёт аспектов изготовления и практического использования созданных конструкций. Последние 
исследования сделали возможным в некоторых случаях реализацию ТО без  
9 
 

постобработки результатов [14]. Например, возможно внесение в постановку 
задачи ТО ограничений, отражающих особенности технологического процесса 
изготовления. Это гарантирует возможность изготовления рассматриваемых 
изделий заявленным способом. В некоторых случаях это влияет на стадию подготовки технологического оборудования, например, можно исключить необходимость оптической коррекции фотолитографического оборудования. Тем не 
менее, даже в этих случаях, для конечного изготовления физических образцов 
необходима информация о геометрии в виде CAD файлов, поэтому задача геометрического отображения результатов ТО является актуальной.  
Авторы работы [18] используют свободно распространяемый графический редактор InkSkape для создания точных векторных отображений результатов ТО стационарной теплопроводности. Однако они не приводят никакой информации о непосредственной процедуре извлечения геометрических данных. 
Известны работы, посвящённые извлечению геометрических данных для трёхмерных задач [19]. Разработанный алгоритм включает три этапа: определение 
замкнутых геометрических изоповерхностей для генерации оптимизированных 
моделей, определение их характерных особенностей, создание параметрической твердотельной CAD-модели, в виде поверхностных полиномов восьмой 
степени. Одним из недостатков трёхмерной постановки является требовательность к вычислительным ресурсам [17].  
Оптимизированные конструкции в тепловых задачах имеют комплекс- 
ную геометрию, схожую с дендрическими структурами. Они могут быть изготовлены при помощи аддитивных технологий (АТ), а в случаях, когда изготовление образцов предусматривает обработку листовых материалов (например, 
лазерная резка полимерных и металлических материалов), возможна постановка двумерных задач и получение достаточно точных решений за разумное  
время.  
10