Математические модели упругих деформаций деталей и соединений в станках

 
 
 
 
Г. Н. КАНЕВСКИЙ, А. М. КУЗЬМИШИНА 
 
 
 
 
 
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ  
УПРУГИХ ДЕФОРМАЦИЙ ДЕТАЛЕЙ  
И СОЕДИНЕНИЙ В СТАНКАХ 
 
 
Учебное пособие 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Москва    Вологда 
«Инфра-Инженерия» 
2024 
1 


УДК 62-93:539.371 
ББК 22.251 
К19 
 
 
 
Рецензенты: 
кандидат технических наук, начальник управления информационных 
технологий ПАО ПКО «Теплообменник» А. В. Стручков; 
кандидат экономических наук, специалист корпоративного 
учебного центра АО «Нижегородский завод 70-летия Победы» М. В. Сивов 
 
 
 
 
 
 
 
 
Каневский, Г. Н. 
К19  
Математические модели упругих деформаций деталей и соединений 
в станках : учебное пособие / Г. Н. Каневский, А. М. Кузьмишина. - 
Москва ; Вологда : Инфра-Инженерия, 2024. - 124 с. : ил., табл. 
ISBN 978-5-9729-2018-1 
 
Приведены краткие сведения о математическом моделировании, разновидностях 
математических моделей, подходах к работе с моделями. Подробно изложены вопросы 
разработки математических моделей упругих деформаций деталей и соединений,  
а также излагаются расчетные зависимости применительно к конструкциям металло- 
режущих станков. Рассмотрены варианты работы с математическими моделями в задачах проектирования машиностроительных конструкций. Описана организация и приведен план-график выполнения практических работ, даны примеры заданий для практических занятий. Приведены содержание и порядок выполнения лабораторных работ. 
Для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлениям подготовки магистратуры и бакалавриата «Конструкторско-технологическое обеспечение 
машиностроительных производств». Может быть использовано студентами других 
специальностей, изучающих дисциплины конструкторского направления, аспирантами 
и преподавателями технических вузов, инженерно-техническими работниками промышленных предприятий. 
 
УДК 62-93:539.371 
ББК 22.251 
 
 
ISBN 978-5-9729-2018-1 
” Каневский Г. Н., Кузьмишина А. М., 2024 
 
” Издательство «Инфра-Инженерия», 2024 
 
” Оформление. Издательство «Инфра-Инженерия», 2024 
2 


ОГЛАВЛЕНИЕ 
 
 
ВВЕДЕНИЕ……………………………………………………………... 
 
5 
 
7 
1. КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ О МАТЕМАТИЧЕСКИХ  
МОДЕЛЯХ УПРУГИХ ДЕФОРМАЦИЙ……………………….. 
 
1.1. Математическое моделирование. Общие сведения…………. 
7 
1.1.1. 
Основные понятия……………………………………… 
7 
1.1.2. 
Свойства математических моделей……………………. 
9 
1.1.3. 
Акценты изучения материала..………………………… 
13 
1.2. Разновидности математических моделей………………......... 
14 
1.3. Разработка математических моделей………………………… 
1.3.1. Особенности математического моделирования  
на разных стадиях проектирования…..…………………. 
1.3.2. Последовательность разработки математических  
моделей………………………………………………….... 
19 
 
19 
 
20 
1.4. Математическая модель изгиба валов и шпинделей  
на упругих опорах…………………………………………….. 
 
34 
1.5. Математическая модель кручения осей и валов……………..  41 
1.6. Математическая модель растяжения-сжатия осей и валов… 44 
1.7. Математическая модель контактной жесткости…….............. 47 
1.7.1. Понятие контактной жесткости и разновидности  
стыков……………………………………………………. 
 
47 
1.7.2. Упругие деформации в плоских стыках...…………… 
1.7.3. Упругие деформации в цилиндрических соединениях 
1.7.4. Упругие деформации в конических соединениях…….  
1.7.5. Упругие деформации в опорах качения………………. 
49 
50 
52 
56 
1.8. Расчет критической силы……………………………………... 58 
1.9. Параллельное и последовательное соединения элементов 
конструкций………………………………………………........ 
 
61 
1.10. Скоростные характеристики механизмов с телами  
качения……………………………………………………....... 
1.10.1. Быстроходность механизмов с телами качения…… 
1.10.2. Критическая частота вращения валов……………… 
 
64 
64 
65 
1.11. Температурные напряжения и деформации……………....... 68 
1.12. Перенос деформаций в пространстве………………………. 69 
1.13. Собственные частоты колебаний …………………………... 73 
1.14. Особенности работы с математической моделью…………. 

79 
3 


2. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ  
ПРАКТИЧЕСКИХ РАБОТ…......................................................... 
 
86 
 
2.1. Предварительный этап………………………………………... 
 
86 
2.2. Уточнение задания…………………………………………….. 
86 
2.3. Изучение конструкции и принципов  
функционирования узла……………………..………………... 
 
87 
2.4. Разработка математической модели………………………….. 
88 
2.5. Апробация модели и вариантные расчеты…………………... 
91 
2.6. План-график и алгоритм выполнения практических работ... 
92 
2.7. Примеры заданий……………………………………………… 
 
94 
3. МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ВЫПОЛНЕНИЮ 
ЛАБОРАТОРНЫХ РАБОТ............................................................ 
 
99 
 
3.1. Основные сведения о конечно-элементном анализе…… 
 
99 
3.2. Содержание лабораторных работ…………………………….. 
  
103 
 
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК…………...………………… 115 
 
ПРИЛОЖЕНИЯ………………………………………………………. 
 
117 



























4 


ВВЕДЕНИЕ 
 
Предметной областью дисциплины «Математическое моделирование 
в машиностроении» являются детали и узлы технологического оборудования, в частности, металлорежущих станков. 
На сегодняшний день имеется достаточно большой набор математических моделей, описывающих базовую, физическую основу функционирования технических объектов и опирающихся на математический аппарат 
различного уровня сложности. В качестве инструмента анализа широко 
применяются программные системы конечно-элементного анализа для 
определения напряженного состояния, динамических, тепловых и упругих 
деформаций как отдельных деталей, так и их жестких соединений.  
Но использование имеющегося аппарата и инструментария для математического моделирования требует прежде всего понимания физических 
процессов, лежащих в основе функционирования конструкции или ее элементов, умения составить расчетную схему, правильно идеализировать 
конструкцию. Также при проектировании часто требуется уметь выполнить 
несложный расчет для предварительной оценки и выбора проектных решений.  
В соответствии с требованиями ФГОС и профессиональными стандартами выпускник - магистрант должен владеть деятельностью,направленной на решение задач аналитического характера, предполагающих выбор и многообразие актуальных способов решения задач, должен обладать 
компетенциями, связанными с разработкой математических моделей, проведением расчетов и исследований на основе математических моделей  
и принятием оптимальных решений. Дисциплина «Математическое моделирование в машиностроении» относится к группе дисциплин научно-исследовательской деятельности и предназначена для получения магистрантом навыка на основе численного анализа функционирования технического 
объекта. 
Принципы и способы принятия оптимальных решений преподаются 
на третьем курсе бакалавриата в дисциплине «Основы принятия решений  
в технологических системах». В данном учебном пособии основной акцент 
делается на разработку моделей для расчетного обоснования проектных решений. 
Основные цели изложения материала в пособии следующие: 
x изучение типовых моделей упругих деформаций основных деталей 
и их соединений на примере металлорежущих станков; 
x формулировка постановки задачи моделирования и приобретение 
навыка разработки расчетных схем для расчета упругих деформаций; 
5 


x отработка техники выполнения вариантных расчетов и обоснования параметров конструкций. 
 
В данном пособии излагаются следующие вопросы: 
x общие сведения о математическом моделировании, разновидности 
моделей; 
x последовательность и рекомендации разработки математических 
моделей; 
x модели упругих деформаций некоторых типовых деталей и их соединений: подвижных и неподвижных, беззазорных, с зазором, 
натягом; 
x приведение деформаций в различные точки пространства, что 
имеет значение для оценки упругого смещения инструмента относительно заготовки; 
x проведение вариантных и оптимизационных расчетов; 
x приобретение навыка конечно-элементного анализа для оценки 
напряженного состояния и упругих деформаций деталей станков; 
x методические рекомендации к выполнению практических и лабораторных работ; 
x организация проведения практических работ, подробный план-график выполнения работ и образцы заданий. 


























6 


ГЛАВА I 

ˇ̸̡̛̛̛̖̭̜̚
̨̡̻̖̯̍

ʽ̡̻̖̯̍ʹ
̨̥̖̣̔̽
ˁ̵̨̨̭̯̔̏
КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ О МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЯХ 
УПРУГИХ ДЕФОРМАЦИЙ  
 
 
1.1. Математическое моделирование. 
Общие сведения 
 
1.1.1. Основные понятия 
 
Модель. Рассмотрим основные особенности понятия модели технических объектов. 
а. Если с точки зрения целей исследования между двумя объектами 
есть сходство, то вместо одного можно исследовать другой. Первый называется оригиналом (физическим объектом), а второй - моделью. Модель - 
это заместитель оригинала, позволяющий изучить его свойства в определенных условиях (рис. 1.1). 
 
  
 
 
 
 
 
Рис. 1.1. Соответствие моделей 
 
б. При этом следует отметить, что сходство может быть не по всем 
характеристикам: геометрии, цвету, структуре и т. п. Достаточно, чтобы 
сходство было лишь в тех свойствах, которые являются объектом данного 
исследования. Так, например, для изучения процесса упругой изгибной деформации вала станка можно воспользоваться сходством этого явления с 
изгибной упругой деформацией струны.  
Следует особо отметить, что данное определение модели является не 
только строгим, но и исчерпывающим.  
в. Не существует моделей «вообще» - не предназначенных для определенных конкретных исследований. Даже детские игрушки предназначены для изучения окружающего мира. Не создаются модели, которые воспроизводили бы все свойства оригинала. Любая модель, в том числе и математическая, отражает или описывает реальный объект лишь с точки зрения того свойства, которое предполагается изучить. 
Математическая модель (ММ) технического объекта есть совокупность математических объектов (чисел, переменных, матриц, множеств 
7 


и т. п.) и отношений между ними, которая адекватно отображает определенные свойства технического объекта. 
Моделирование - это процесс выбора или построения модели для исследования определенных свойств оригинала в определенных условиях.  
 
Математическое моделирование 
 
Под математическим моделированием в отличие от понятия «расчет» 
будем понимать: 
а) процесс создания математической модели, т. е. установления соответствия данному реальному объекту некоторого математического объекта, называемого математической моделью; 
б) исследование этой модели, позволяющее получать характеристики 
рассматриваемого реального объекта.  
Вид математической модели зависит как от природы реального объекта, так и от задач исследования объекта и требуемой достоверности и точности решения этой задачи.  
Как отмечалось ранее, при моделировании стремятся к тому, чтобы 
модель достаточно хорошо отражала исследуемую сторону функционирования объекта, так как в этом случае абсолютного подобия нет. 
Таким образом, можно сделать вывод, что моделирование - творческий процесс познания, состоящий в создании и исследовании упрощённых 
заменителей реальных объектов. 
При этом главная задача - это адекватная замена исследуемого технического устройства или процесса соответствующей математической моделью. Исследование технического объекта выполняется с использованием 
различных методов вычислительной математики с привлечением средств 
современной вычислительной техники. Поэтому изучение математической 
модели можно рассматривать как проведение численного эксперимента 
при помощи вычислительно-логических алгоритмов. В этом смысле термин «вычислительный эксперимент» часто выступает как синоним термина 
«математическое моделирование».  
В результате возникла материальная база для становления и быстрого 
развития математического моделирования и появились реальные предпосылки для использования вычислительного эксперимента не только  
в качестве расчетно-теоретического сопровождения на стадии отработ- 
ки технического устройства, но и при его проектировании, подборе и оп- 
тимизации его эксплуатационных режимов, анализе надежности и прогнозировании отказов и аварийных ситуаций, а также при оценке возможностей форсирования характеристик и модернизации технического устройства. 
8 


Математическое описание объекта 
 
 В математическое описание входят взаимосвязи параметров объекта, 
характеризующих особенности его функционирования. Такие связи могут 
представляться в виде аналитических зависимостей:  
- вектор - функций ࢟ൌࢌሺ࢞ǡ ࢚ሻǡ  
- неявных функций ࡲሺ࢟ǡ ࢞ǡ ࢚ሻൌ૙ǡ 
- дифференциальные уравнения различного типа или других видов 
(см. тему «Классификация ММ»). 
Математическое описание включает в себя:  
x взаимосвязь элементов и параметров объекта (законы и закономерности), 
x полный набор числовых и функциональных данных объекта (характеристики, начальные, граничные, конечные условия, ограничения), 
x методы вычисления выходных параметров модели.  
 
Таким образом, под математическим описанием понимается полная 
совокупность данных, функций и методов вычисления, позволяющая получать результат. 
 
1.1.2. Свойства математических моделей 
 
Из изложенного ранее следует, что при изучении реально существующего или мыслимого технического объекта (ТО) математические методы 
применяют к его математической модели (ММ). Это применение будет эффективным, если свойства ММ удовлетворяют определенным требованиям. Рассмотрим основные из этих свойств. 
 
Универсальность ММ. Степень универсальности характеризует полноту отражения в модели свойств реального объекта.  
Степень универсальности – применимость ММ к анализу более или 
менее многочисленной группе однотипных объектов или ко многим режимам функционирования. 
Математическая модель отражает лишь только определенные свойства объекта. Например, если математическая модель отображает геометрические свойства объекта, то она предназначена для их описания в форме 
чертежа; если описывает физические процессы, протекающие в объекте, то 
с помощью такой модели можно исследовать поведение объекта в различных условиях.  
 
9 


Если модель содержит информацию о способах и операциях, используемых при изготовлении объекта, то с помощью такой модели, как правило, разрабатывают технологические процессы механической обработки 
и сборки изделий. 
 
Полнота ММ позволяет отразить в достаточной мере именно те характеристики и особенности ТО, которые интересуют нас с точки зрения 
поставленной цели проведения.  
Например, модель может достаточно полно описывать протекающие 
в объекте процессы, но не отражать его габаритные, массовые или стоимостные показатели. Так, ММ резистора в виде хорошо известной форму- 
лы ܷ ൌ ܫܴ (закон Ома) обладает свойством полноты лишь с точки зрения 
установления связи между падением электрического напряжения U на резисторе, его сопротивлением R и протекающим через него током силой I, 
но не дает никакой информации о размерах, массе, теплостойкости, стоимости и других характеристиках резистора, по отношению к которым она 
не является полной. 
 
Точность ММ дает возможность обеспечить приемлемое совпадение 
реальных и найденных при помощи ММ значений выходных параметров 
ТО.  
Точность ММ - свойство, отражающее степень совпадения значений 
параметров, рассчитанных с помощью ММ, с истинными значениями этих 
параметров. 
Точность İ математической модели оценивается степенью совпадения значений выходных характеристик реального объекта Ж௝଴ и значений 
тех же характеристик, рассчитанных с помощью модели Ж௝௠: 
 
Ǥ 
И୨ൌЖ௝௠ െ Ж௝଴
Ж௝଴
  
Адекватность ММ - это способность ММ описывать выходные параметры ТО с относительной погрешностью не более некоторого заданного 
значения.  
Адекватность ММ – способность отражать заданные свойства 
объекта с погрешностью не выше заданной. 
В более общем смысле под адекватностью ММ понимают правильное 
качественное и достаточно точное количественное описание именно тех характеристик ТО, которые важны в данном конкретном случае. Модель, 
адекватная при выборе одних характеристик, может быть неадекватной при 
выборе других характеристик того же ТО. 
 
10