Теория дискретных систем автоматического управления. Часть 2

Московский государственный технический университет
имени Н.Э. Баумана
В.А. Иванов, М.А. Голованов
ТЕОРИЯ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ
АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
Часть 2
Рекомендовано Научно-методическим советом
МГТУ им. Н.Э. Баумана в качестве учебного пособия
по курсу «Теория автоматического управления»
Москва
Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана
2012

УДК 517(075.8)
ББК 22.176
И20
Рецензенты: В.Л. Афонин, Б.И. Шахтарин
И20
Иванов В. А.
Теория дискретных систем автоматического управления :
учеб. пособие : в 2 ч. – Ч. 2 / В.А. Иванов, М.А. Голованов. —
М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2012. — 98, [2] с. : ил.
Исследована устойчивость линейных дискретных систем автоматического управления (САУ), рассмотрены алгебраические и частотные
критерии устойчивости, а также метод синтеза дискретных САУ с
использованием логарифмических частотных характеристик (построение желаемых частотных характеристик, реализация последовательных и параллельных корректирующих устройств). Достаточно подробно изложен метод пространства состояний для дискретных САУ
.
Приведены способы определения уравнений состояний дискретных
САУ с одним входом и одним выходом, критерии управляемости и
наблюдаемости как для нестационарных, так и для стационарных линейных дискретных систем. Описана процедура синтеза модального
управления и рассмотрено построение наблюдающих устройств полного и неполного порядка.
Для студентов, изучающих курс «Теория автоматического управления».
УДК 517(075.8)
ББК 22.176
c
⃝МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2012

1. УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ
ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ
1.1. Устойчивость движения по Ляпунову
1.1.1. Основные понятия и определения
Предположим, что дискретная система автоматического управления (САУ) описывается системой разностных уравнений
xi[n + 1] = fi(n, x1[n], . . . , xk[n]) (i = 1, 2, . . . , k).
(1.
.1)
Правые части уравнений (1.1) полагаются однозначными непрерывными функциями переменных n, x1, . . . , xk. Тогда для любых заданных начальных условий
x1[n0] = x10, . . . , xk[n0] = xk0
(1.
.2)
существует и притом единственное решение системы разностных
уравнений (1.1), удовлетворяющее этим начальным условиям. Систему уравнений (1.1) можно записать в векторной форме:
x[n + 1] = f(n, x[n]),
где x[n] =
⎡
⎤
⎡
⎤
⎣
x1[n]
. . .
xk[n]
⎦; f(n, x[n]) =
⎣
f1(n, x1[n], . . . , xk[n])
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
fk(n, x1[n], . . . , xk[n])
⎦.
Начальные условия (1.2) примут вид x[n0] = x0. Пусть
x = ξ
ξ
ξ[n]
(1.
.3)
— некоторое решение системы (1.1), удовлетворяющее начальным
условиям в векторной форме
ξ
ξ
ξ[n0] = x0.
(1.
.4)
3

Решение называется устойчивым по Ляпунову, если для любого
числа ε > 0 существует такое число δ > 0, зависящее от ε, что
для любого другого решения x = ϕ
ϕ
ϕ[n], удовлетворяющего в начальный момент времени n0 неравенству

x0 −ϕ
ϕ
ϕ[n0]

 < δ, будет
справедливо неравенство ∥ξ
ξ
ξ[n] −ϕ
ϕ
ϕ[n]∥< ε для всех n ⩾n0.
Решение (1.3) называется неустойчивым по Ляпунову, если существует такое число ε > 0, что для любого числа δ > 0 найдется
такой момент времени n1 > n0, что будет справедливо неравенство
∥ξ
ξ
ξ[n1] −ϕ
ϕ
ϕ[n1]∥⩾ε, несмотря на то что имело место неравенство

x0 −ϕ
ϕ
ϕ[n0]

 < δ.
Решение (1.3) называется асимптотически устойчивым, если:
1) это решение устойчиво;
2) существует такое число A > 0, что для любого решения x = ϕ
ϕ
ϕ[n], удовлетворяющего при n = n0 неравенству


x0 −
−ϕ[n0]


 < A, будет справедливо равенство lim
n→∞∥ξ[n] −ϕ[n]∥= 0.
Движение, соответствующее решению (1.3), обычно называют
невозмущенным движением. Другие решения (x = ϕ
ϕ
ϕ[n]), которые
могут быть получены при изменении начальных условий (1.2),
соответствуют возмущенным движениям. С помощью замены переменных
y = x −ξ
ξ
ξ[n]
(1.
.5)
исследование устойчивости решения (1.3) можно свести к исследованию устойчивости тривиального решения. При замене (1.5)
система уравнений (1.1) примет вид
y[n + 1] = f(n, y[n] + ξ
ξ
ξ[n]) −f(n, ξ
ξ
ξ[n]),
или y[n + 1] = g(n, y[n]),
(1.
.6)
где g(n, y[n]) = f(n, y[n] + ξ
ξ
ξ[n]) −f(n, ξ
ξ
ξ[n]).
Очевидно, что g(n, 0) = 0, т. е. система уравнений (1.6) имеет
тривиальное решение y[n] = 0. Если решение x = ξ
ξ
ξ[n] системы
уравнений (1.1) устойчиво или асимптотически устойчиво, то будет соответственно устойчивым или асимптотически устойчивым
и тривиальное решение системы уравнений (1.6). Дадим определения устойчивости, неустойчивости и асимптотической устойчи4

вости тривиального решения. Пусть система уравнений
x[n + 1] = f(n, x[n])
имеет тривиальное решение x[n] = 0, т. е. f(n, 0) = 0. Правильное
решение называется устойчивым по Ляпунову, если для любого
ε > 0 существует такое число δ > 0, зависящее от ε, что для любого другого решения x = ϕ
ϕ
ϕ[n], удовлетворяющего в начальный
момент времени n0 неравенству ∥ϕ[n0]∥< δ, будет справедливо
неравенство ∥ϕ
ϕ
ϕ[n]∥< ε для всех n ⩾n0.
Тривиальное решение называется неустойчивым по Ляпунову,
если существует такое число ε > 0, что для любого числа δ > 0
найдется такой момент времени n1 > n0, что будет справедливо
неравенство ∥ϕ
ϕ
ϕ[n1]∥⩾ε, несмотря на то что имело место неравенство ∥ϕ
ϕ
ϕ[n0]∥< δ.
Тривиальное решение называется асимптотически устойчивым, если:
1) это решение устойчиво;
2) существует такое число A > 0, что для любого решения
x = ϕ
ϕ
ϕ[n], удовлетворяющего при n = n0 неравенству ∥ϕ
ϕ
ϕ[n0]∥< A,
будет справедливо lim
n→∞∥ϕ[n]∥= 0.
Далее будем рассматривать устойчивость тривиального решения автономной системы разностных уравнений
x[n + 1] = f(x[n]).
(1.
.7)
1.1.2. Теоремы Ляпунова об устойчивости и неустойчивости
Введем некоторые новые понятия. Функция V (x1, . . . , xk) называется знакоположительной (знакоотрицательной) в некоторой
области G фазового пространства X, если эта функция удовлетворяет неравенству V (x1, . . . , xk) ⩾0 (V (x1, . . . , xk) ⩽0) для всех
точек этой области.
Функция V (x1, . . . , xk) называется определенно положительной (определенно отрицательной) в области G, если для всех точек области, кроме начала координат, функция V (x1, . . . , xk)) > 0
(V (x1, . . . , xk) < 0), а в начале координат, т. е. при x1 = . . . = xk = 0,
функция V (x1, . . . , xk) = 0. Функции первого типа называются
5

также знакопостоянными, а функции второго типа — знакоопределенными.
Первой разностью функции V (x1, . . . , xk), взятой в силу системы уравнений (1.7), называется функция
ΔV (x1, . . . , xk) = V (x1[n + 1], . . . , xk[n + 1]) −V (x1[n], . . . , xk[n]) =
= V (f1(x1[n], . . . , xk[n]), . . . , fk(x1[n], . . . , xk[n])) −
−V (x1[n], . . . , xk[n]).
Следующая теорема определяет условия устойчивости тривиального решения системы разностных уравнений (1.7).
Теорема 1.1. Если в некоторой окрестности начала координат
существует знакоопределенная функция V (x1, . . . , xk), такая, что
ее первая разность в силу системы уравнений (1.7) является знакопостоянной функцией противоположного знака, то тривиальное
решение системы (1.7) устойчиво.
Д о к а з а т е л ь с т в о.
Пусть область G существования знакоопределенной функции V (x1, . . . , xk), удовлетворяющей
условию теоремы, определяется неравенством ∥x∥⩽H. Обозначим l = inf V (x)
∥x∥=ε
. Таким образом, для всех точек сферы ∥x∥= ε
функция V (x) ⩾l. Выберем теперь такое число δ > 0, чтобы сфера
∥x∥= δ целиком лежала внутри области G1, для которой V (x) < l.
В силу свойств функции V (x) такое число δ всегда существует. Далее выберем начальное значение x[n0] = x0 таким образом, чтобы
выполнялось неравенство ∥x0∥< δ. Тогда для любого n > n0 будет
иметь место неравенство ∥x[n]∥< ε, что и означает устойчивость
тривиального решения. В самом деле, первая разность функции
V (x[n]) будет иметь вид
ΔV (x[n]) = V (x[n + 1]) −V (x[n]) = −W(x[n]),
причем функция W(x) знакоположительная. Тогда
V (x[n]) −V (x[n0]) = −
i=n0
W(x[i]) ⩽0.
n−1

Отсюда следует, что
V (x[n]) ⩽V (x[n0]) < l
6

и траектория не достигает границы овала V (x) = l, а значит, и границы сферы ∥x∥= ε. Это свидетельствует о том, что тривиальное
решение x[n] = 0 устойчиво. ■
Рассмотрим теорему об асимптотической устойчивости.
Теорема 1.2. Если в некоторой окрестности начала координат существует знакоопределенная функция V (x1, . . . , xk), первая
разность которой в силу системы уравнений (1.7) является знакоопределенной функцией противоположного знака, то тривиальное
решение системы (1.7) асимптотически устойчиво.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Прежде всего отметим, что в силу теоремы (1.1) тривиальное решение системы уравнений (1.7)
будет устойчивым. Пусть функция V (x) положительно определенная. Тогда согласно условию теоремы ее первая разность в силу
системы уравнений (1.7) будет отрицательно определенной функцией, т. е.
ΔV (x[n]) = V (x[n + 1]) −V (x[n]) = −W(x[n]),
причем функция W(x) положительно определенная. Поэтому имеют место неравенства
V (x[n + 1]) < V (x[n]) < . . . < V (x[n0]).
Отсюда следует, что функция V (x[n]) при n →∞образует монотонно убывающую последовательность, ограниченную снизу, ибо
V (x[n]) ⩾0.
Всякая монотонно убывающая ограниченная снизу последовательность имеет предел, поэтому существует
lim
n→∞V (x[n]) = α.
Покажем, что этот предел равен нулю. В самом деле, пусть α > 0.
Тогда последовательность значений {x[n]} не стремится к нулю
при n →∞и существует область ∥x[n]∥⩽h, куда изображающая
точка не попадает. Отсюда следует, что
−W(x[n]) ⩾l′ > 0
для всех n > n0. Тогда
V (x[n]) < V (x[n0]) −nl′ < 0
7

для достаточно больших значений n. Но это противоречит условию, ибо по условию V (x[n]) ⩾0. Следовательно, α = 0. Тогда и
lim
n→∞x[n] = 0, что и доказывает теорему. ■
Достаточные условия неустойчивости тривиального решения
задаются следующей теоремой.
Теорема 1.3. Если существует такая непрерывная функция
V (x1, . . . , xk), удовлетворяющая условию V (0) = 0, первая разность которой в силу системы уравнений (1.7) является знакоопределенной функцией, причем в любой окрестности начала
координат имеются точки, в которых функция V (x[n]) принимает значения одинакового знака с первой разностью ΔV (x[n]), то
тривиальное решение системы уравнений (1.7) неустойчиво.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть множество точек x, удовлетворяющих неравенству ∥x[n]∥< H, является областью знакоопределенности первой разности ΔV (x[n]). Покажем, что для любого
малого числа δ > 0 всегда найдется такое решение x[n] системы
уравнений (1.7), что, несмотря на выполнение в начальный момент времени n0 неравенства ∥x[n0]∥< δ, в момент времени n1
будет иметь место неравенство ∥x[n1]∥⩾ε. Выберем ε = H и для
определенности положим, что первая разность ΔV (x[n]) является определенно положительной функцией. Начальную точку x[n0]
выберем так, чтобы выполнялось неравенство ΔV (x[n0]) > 0. Cогласно условию теоремы такой выбор начальной точки всегда возможен.
Рассмотрим решение x[n] системы уравнений (1.7), удовлетворяющее выбранному начальному условию. Первая разность
ΔV (x[n]) — определенно положительная функция, поэтому вдоль
решения x[n] функция V (x[n]) возрастает: V (x[n]) > V (x[n0])
при n > n0. Отсюда следует, что решение x[n] не приближается к началу координат, поэтому существует такое число α > 0,
что ∥x[n]∥⩾α > 0. Функция ΔV (x[n]) определенно положительная, поэтому в области, задаваемой неравенствами α ⩽∥x[n]∥⩽
⩽H, выполняется неравенство ΔV (x[n]) ⩾β > 0. Покажем, что
существует такой момент n1 > n0, для которого ∥x[n1]∥= H.
Действительно, пусть для всех значений n > n0 выполняется нера8

венство ∥x[n]∥< H. Из формулы
V (x[n]) = V (x[n0]) +
i=n0
ΔV (x[i]) ⩾V (x[n0]) + β(n −1 −n0)
n−1

следует, что функция V (x[n]) неограниченно возрастает при
n →∞. Получено противоречие, так как из неравенства ∥x[n]∥<
< H следует ограниченность функции V (x[n]). Теорема доказана. ■
1.1.3. Исследование устойчивости по уравнениям
линейного приближения
Выделив в уравнениях (1.7) линейную часть, получим
xi[n + 1] =
j=1
pijxj[n] + ϕi(x1[n], . . . , xk[n])
k

(i = 1, 2, . . . , k),
(1.
.8)
или в векторной форме
x[n + 1] = P x[n] + ϕ
ϕ
ϕ(x[n]).
Предположим теперь, что система уравнений (1.8) имеет тривиальное решение x[n] = 0. Это означает, что имеют место равенства
ϕi(0, 0, . . . , 0) = 0 (i = 1, 2, . . . , k).
(1.
.9)
Выполним исследование устойчивости тривиального решения
системы уравнений (1.8). Линейная система разностных уравнений
xi[n + 1] =
j=1
pijxj[n] (i = 1, 2, . . . , k)
(1.
.10)
k

называется системой линейного приближения для системы уравнений (1.8). Далее будем рассматривать такие системы разностных
уравнений вида (1.8), для которых нелинейные члены ϕi(x1, . . . , xk)
имеют более высокий порядок малости, чем ∥x∥, т. е. справедливы
равенства
lim
∥x∥→0
|ϕi(x)|
∥x∥
= 0 (i = 1, 2, . . . , k).
(1.
.11)
9

Для этих систем устойчивость тривиального решения определяется устойчивостью системы линейного приближения.
Теорема 1.4. Если все характеристические числа матрицы P
расположены внутри единичного круга, т. е. имеют место неравенства |λi| < 1 (i = 1, 2, . . . , k), то тривиальное решение системы
уравнений (1.8) асимптотически устойчиво.
Д о к а з а т е л ь с т в о.
Для упрощения доказательства
теоремы рассмотрим случай, когда характеристическое уравнение
имеет только простые корни. Однако теорема справедлива и в случае кратных корней характеристического уравнения. Если все характеристические числа матрицы P простые, то существует такая
невырожденная матрица T , что
T −1P T = Λ,
где
Λ
Λ
Λ =
⎤
⎡
λ1
0
. . .
0
0
λ2
. . .
0
.
.
.
.
0
0
. . .
λk
⎥
⎥
⎦
⎢
⎢
⎣
— диагональная форма матрицы P (см., например, в работе [1, т. 1,
§ 2.2, в]). Выполним замену переменных:
x = T y.
(1.
.12)
Тогда система уравнений (1.8) преобразуется к виду
y[n + 1] = T −1P T y[n] + T −1ϕ
ϕ
ϕ(T y[n]),
или
y[n + 1] = Λ
Λ
Λy[n] + η
η
η(y[n]),
(1.
.13)
где η
η
η(y[n]) = T −1ϕ
ϕ
ϕ(T y[n]).
Из равенств (1.11) следует, что компоненты ηi(y) векторной
функции η
η
η(y) удовлетворяют равенствам
lim
∥y∥→0
|ηi(y)|
∥y∥
= 0 (i = 1, 2, . . . , k).
(1.
.14)
Матрица T в преобразовании переменных (1.12) невырожденная, поэтому исследование асимптотической устойчивости триви10