Теория дискретных систем автоматического управления. Часть 1

Московский государственный технический университет
имени Н.Э. Баумана
В.А. Иванов, М.А. Голованов
ТЕОРИЯ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ
АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
В двух частях
Часть 1
Рекомендовано Научно-методическим советом
МГТУ им. Н.Э. Баумана в качестве учебного пособия
Москва
Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана
2010

УДК 517(075.8)
ББК 22.176
И20
Рецензенты: В. Л. Афонин, Б. И. Шахтарин
И20
Иванов В. А.
Теория дискретных систем автоматического управления :
учеб. пособие : В 2 ч. – ч. 1 / В. А. Иванов, М. А. Голованов –
М. : Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2010. – 100 с. : ил.
Рассмотрен математический аппарат, применяемый в теории дискретных систем автоматического управления: элементы теории разностных уравнений, дискретное преобразование Лапласа, его связь
с преобразованием Лапласа непрерывных функций. Дано определение математических моделей дискретных автоматических систем.
Рассмотрены понятия передаточных функций и частотных характеристик дискретных систем, а также способы их определения. Изложены
методы анализа дискретных систем.
Для студентов, изучающих курс «Теория автоматического управления».
УДК 517(075.8)
ББК 22.176
Учебное издание
Иванов Виктор Александрович
Голованов Михаил Алексеевич
ТЕОРИЯ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ
АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
Часть 1
Редактор О.М. Королева
Корректор
Компьютерная верстка В.И. Товстоног
Подписано в печать 14.07.2010. Формат 60×84/16.
Усл. печ. л. 5,8. Тираж 300 экз. Изд. №85.
Заказ
Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана.
Типография МГТУ им. Н.Э. Баумана.
105005, Москва, 2-я Бауманская ул., 5.
c
⃝МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2010

1. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ ТЕОРИИ
ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ
АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
При составлении математических моделей, а также при решении задач анализа и синтеза дискретных систем автоматического управления (САУ) широкое применение находят такие разделы
высшей математики, как теория разностных уравнений и дискретное преобразование Лапласа.
В первой главе пособия изложены необходимые сведения по
теории линейных разностных уравнений как с переменными,
так и с постоянными коэффициентами, рассмотрены дискретное
преобразование Лапласа, его свойства и использование дискретного преобразования Лапласа для решения разностных уравнений.
Даны сведения о преобразовании, связывающем изображения
непрерывных и соответствующих им дискретных функций (Dпреобразование).
1.1. Дискретные функции. Разностные уравнения
1.1.1. Дискретные функции. Конечные разности и суммы
Дискретная, или решетчатая, функция — это функция, которая
отлична от нуля для дискретных равноотстоящих друг от друга значений аргумента. Будем обозначать дискретную функцию x[nT].
Если имеется некоторая непрерывная функция x(t), то, положив t = nT, получим соответствующую ей дискретную функцию
x[nT]. Если перейти к относительному времени τ = t/T, то непрерывной функции xT (τ) = x(T τ) соответствует дискретная функция xT [n] = xT (τ)|τ=n.
Введем понятие смещенной дискретной функции. Положим
t = (n + ε)T, где 0 ⩽ε < 1. Тогда смещенная дискретная функция
3

Рис. 1.1
(рис. 1.1) определится равенством
x(t)|t=(n+ε)T = x[(n + ε)T] = x[nT, εT].
Если перейти к относительному времени τ, то смещенная дискретная функция (рис. 1.2) будет иметь вид
xT [n, ε] = xT (τ)|τ=n+ε.
Рис. 1.2
В дальнейшем индекс T у дискретных функций xT [n] и xT [n,ε]
будем опускать.
Примеры дискретных функций: x[n] = 1[n] (рис. 1.3); x[n] = n
(рис. 1.4); x[n] = eαn (рис. 1.5).
4

Рис. 1.3
Рис. 1.4
Рис. 1.5
Введем понятие конечной разности дискретной функции (аналог производной для непрерывной функции).
Разность 1-го порядка, или первая разность, определяется равенством
Δx[n, ε] = x[n + 1, ε] −x[n, ε].
(1.
.1)
Разность k-го порядка, или k-я разность, имеет вид
Δкx[n, ε] = Δк−1x[n + 1, ε] −Δк−1x[n, ε].
(1.
.2)
5

Можно выразить k-ю разность через значения дискретной
функции в точках n, n+1, . . . , n + k:
Δkx[n, ε] =
m=0
(−1)mCm
k x[n + k −m, ε],
(1.
.3)
k
X
где Cm
k =
k!
m!(k −m)!.
Докажем равенство (1.3), используя метод индукции. При k =1
Δx[n, ε] = x[n + 1, ε] −x[n, ε],
т. е. формула (1.3) справедлива.
Допустив справедливость формулы (1.3) при l = k −1, докажем, что она справедлива при l = k:
Δкx[n] = Δк−1x[n + 1] −Δк−1x[n] =
=
m=0
(−1)mCm
k−1x[n + 1 + k −1 −m]−
k−1
X
−
m=0
(−1)mCm
k−1x[n + k −1 −m],
k−1
X
где во второй сумме положим m + 1 = m′. Tогда получим
m=1
(−1)mCm
k−1x[n + k −m] + x[n + k]+
k−1
X
+
m′=1
(−1)m′Cm′−1
k−1 x[n + k −m′] =
k
X
= x[n + k] +
k−1
X
m=1
(−1)m 
Cm
k−1 + Cm−1
k−1

x[n + k −m]+
+(−1)kx[n] =
m=0
(−1)mCm
k x[n + k −m].
k
X
6

В этих равенствах
Cm
k−1 + Cm−1
k−1 =
(k −1)!
m!(k −1 −m)! +
(k −1)!
(m −1)!(k −m)! =
= (k −m)(k −1)!
m!(k −m)!
+ m(k −1)!
m!(k −m)! =
k!
m!(k −m)! = Cm
k .
(1.
.4)
Предположив справедливость формулы
(1.3) для l = k−1, мы доказали ее справедливость при l = k. Отсюда следует ее
справедливость для любого k.
В свою очередь, значение дискретной
функции x[n + k] можно выразить через
конечные разности:
x[n + k] =
m=0
Cm
k Δmx[n].
(1.
.5)
k
X
Рис. 1.6
Докажем это, используя метод индукции.
При k = 1 формула (1.5) справедлива. В самом деле,
x[n + 1] = Δx[n] + x[n].
Полагая, что формула (1.5) справедлива при l = k −1, покажем
ее справедливость при l = k. Из формулы (1.3) следует (рис. 1.6):
x[n + k] = Δкx[n] −
m=1
(−1)mCm
k x[n + k −m] = Δкx[n] −
k
X
−
m=1
(−1)mCm
k
r=0
Cr
k−mΔrx[n] =
k
X
k−m
X
= Δкx[n] −
r=0
Δrx[n]
m=1
(−1)mCm
k Cr
k−m = Δкx[n] +
k−1
X
k−r
X
+
r=0
r=0
Cr
k Δrx[n].
k!
r!(k −r)! Δrx[n] =
k−1
X
k
X
Здесь
Cm
k Cr
k−m =
k!
m!(k −m)!
(k −m)!
r!(k −m −r)! =
k!
m!r!(k −m −r)!.
7

Тогда
m=1
(−1)mCm
k Cr
k−m =
k−r
X
=
#
m=0
=
k!
r!(k −r)!
(k −r)!
m!(k −m −r)!(−1)m −1
" k−r
X
=
k!
r!(k −r)!
h
(1 −1)k−r −1
i
= −
k!
r!(k −r)!.
Помимо конечной разности
Δx[n, ε] = x[n + 1, ε] −x[n, ε],
называемой нисходящей разностью, введем понятие восходящей
разности:
∇x[n, ε] = x[n, ε] −x[n −1, ε].
(1.
.6)
Восходящая разность k-го порядка определяется равенством
∇kx[n, ε] = ∇k−1x[n, ε] −∇k−1x[n −1, ε].
(1.
.7)
Нисходящая и восходящая разности k-го порядка связаны равенством
∇kx[n, ε] = Δkx[n −k, ε].
(1.
.8)
Докажем формулу (1.8) методом математической индукции.
Для k = 1 формула (1.8) верна. В самом деле,
∇x[n, ε] = x[n, ε] −x[n −1, ε] = Δx[n −1, ε].
Следуя методу индукции, положим, что формула (1.8) справедлива при l = k −1. Докажем, что формула (1.8) будет справедлива
при l = k. Имеем
∇kx[n, ε] = ∇k−1x[n, ε] −∇k−1x[n −1, ε] =
= Δk−1x[n −k + 1, ε] −Δk−1x[n −k, ε] = Δkx[n −k, ε].
Отсюда следует, что формула (1.8) справедлива при любом k.
Восходящая разность k-го порядка ∇kx[n, ε] следующим образом выражается через значения функции x[n, ε]:
∇kx[n, ε] =
m=0
(−1)mCm
k x[n −m, ε].
(1.
.9)
k
X
8

Формулу (1.9) также докажем методом индукции. При k = 1
формула верна:
∇x[n, ε] = x[n, ε] −x[n −1, ε] = ∇x[n, ε].
Положим, что формула (1.9) справедлива при r = k −1. Докажем ее справедливость при r = k. Имеем
∇kx[n, ε] = ∇k−1x[n, ε] −∇k−1x[n −1, ε] =
=
m=0
(−1)mCm
k−1x[n −m, ε] −
m=0
(−1)mCm
k−1x[n −m −1, ε] =
k−1
X
k−1
X
=
m=0
(−1)mCm
k−1x[n −m, ε] +
m′=0
(−1)m′Cm′−1
k−1 x[n −m′, ε] =
k−1
X
k−1
X
= x[n, ε] +
m=1
(−1)m[Cm
k−1 + Cm−1
k−1 ]x[n −m, ε] +
k−1
X
+ (−1)kx[n −k, ε] =
m=0
(−1)mCm
k x[n −m, ε].
k
X
При доказательстве использовано равенство (1.4).
Смещенная дискретная функция x[n −k, ε] выражается через
восходящие разности:
x[n −k, ε] =
m=0
(−1)mCm
k ∇mx[n, ε].
(1.
.10)
k
X
Для доказательства формулы (1.10) также применим метод индукции. При k = 1 получим
x[n −1, ε] = x[n, ε] −∇x[n, ε] = x[n −1, ε].
Далее, положив, что формула (1.10) справедлива при r = k −1,
докажем ее справедливость при r = k. Из формулы (1.9) найдем
(−1)kx[n −k, ε] = ∇kx[n, ε] −
m=0
(−1)mCm
k x[n −m, ε] =
k−1
X
= ∇kx[n, ε] −
m=0
(−1)mCm
k
l=0
(−1)lCl
m∇lx[n, ε].
k−1
X
m
X
9

Переменим в этом выражении порядок суммирования, (рис. 1.7) получим
(−1)kx[n −k, ε] = ∇kx[n, ε]−
−
l=0
(−1)l∇lx[n, ε]
m=l
(−1)mCm
k Cl
m.
k−1
X
k−1
X
Рис. 1.7
(1.
.11)
Обозначим m′ = m −l. Тогда
m=l
(−1)mCm
k Cl
m =
m′=0
(−1)m′+lCm′+l
k
Cl
m′′+l =
k−1
X
k−l−1
X
=
m′=0
(−1)m′+lCm′+l
k
Cl
m′′+l −(−1)kCk
kCl
k =
k−l
X
=
m′=0
(−1)m′+l
k!
(k −m′ −l)!m′!l! −(−1)k
k!
(k −l)!l! =
k−l
X
m′=0
(−1)k−m′−l
(k −l)!
(k −m′ −l)!m′! −1
#
k!
(k −l)!l! =
= (−1)k
" k−l
X
= −(−1)k
k!
(k −l)!l!.
Подставим это выражение в равенство (1.11), получим
l=0
(−1)l∇lx[n, ε]
k!
(k −l)!l!,
(−1)kx[n −k, ε] = ∇kx[n, ε] + (−1)k
k−1
X
или
x[n −k, ε] = (−1)k∇kx[n, ε] +
l=0
(−1)l∇lx[n, ε]Cl
k =
k−1
X
=
l=0
(−1)lCl
k∇lx[n, ε].
k
X
C учетом равенства (1.9) формула (1.10) может быть записана
в следующем виде:
10