Численные методы в теории управления : модули 1 и 2

Федеральное государственное бюджетное 
образовательное учреждение высшего образования 
«Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана 
(национальный исследовательский университет)»
Численные методы 
в теории управления  
Модули 1 и 2
Учебное пособие

УДК 518.12(075.8)
ББК 22.193
Ч-67
Издание доступно в электронном виде по адресу
https://bmstu.press/catalog/item/6643
Факультет «Специальное машиностроение»
Кафедра «Автономные информационные и управляющие системы»
Рекомендовано Научно-методическим советом 
МГТУ им. Н.Э. Баумана в качестве учебного пособия
Авторы:
Г.Л. Павлов, В.Б. Сучков, И.В. Муратов, Ю.В. Каракулин
Ч-67
 
	
	
Численные методы в теории управления : Модули 1 и 2 : 
учебное пособие / [Г. Л. Павлов и др.] — Москва : Издательство 
МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2020. — 55, [5] с. : ил.
ISBN 978-5-7038-5349-8
Рассмотрены основные способы интерполирования: Лагранжа, Эйткена, Ньютона, Г
аусса и Стирлинга, метод сплайна, а также применение 
метода наименьших квадратов. Показано практическое применение указанных методов на многочисленных примерах, представлены фрагменты 
программ в пакетах MAPLE и MATLAB, реализующие описанные алгоритмы. 
Для студентов, обучающихся по направлению «Управление в технических системах». 
УДК 518.12(075.8)
ББК 22.193 
© МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2020
© Оформление. Издательство
 МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2020
ISBN 978-5-7038-5349-8

Предисловие
Учебное пособие предназначено для самостоятельной проработки студентами дисциплины «Управление в технических системах», 
входящей в образовательную программу бакалавриата по направлению подготовки 27.03.04 «Управление в технических системах», 
профиль «Автономные информационные и управляющие системы».
Цель изучения дисциплины — приобретение знаний в области 
современных методов управления, обработки информации и построения систем управления техническими объектами.
Для изучения дисциплины и, соответственно, материалов пособия 
необходимо предварительное освоение следующих дисциплин.
1. Математический анализ («Дифференциальное исчисление»).
2. Аналитическая геометрия («Векторная алгебра», «Матрицы 
и системы линейных алгебраических уравнений»).
3. Интегралы и дифференциальные уравнения.
4. Информатика.
5. Физика (модули «Электрический ток», «Электромагнитные 
волны», «Колебания и волны»).
6. Электроника и микроэлектроника.
Пособие включает последовательно изучаемые модули 1 и 2, 
которые помогут студентам овладеть важным инструментом анализа технических систем.
Модуль 1 «Численные методы интерполяции» посвящен описанию наиболее распространенных способов интерполяции функций, описывающих системы управления, а также рассмотрению 
примеров практического применения данных способов.
В модуле 2 «Среднеквадратические приближения функций» 
описана методика построения линий регрессии по методу наименьших квадратов, способы решения общей задачи приближения 
и решения линейных алгебраических уравнений методом наименьших квадратов, приведены примеры приближения исходных функций с помощью тригонометрических многочленов.
3

Каждый модуль завершается списком контрольных вопросов и 
задач, которые необходимо проработать самостоятельно, поскольку аналогичные задания будут предложены при текущем контроле 
усвоения каждого модуля дисциплины. Их следует выполнять строго по графику учебной работы, обсуждая результаты на семинарах 
и консультациях.
После изучения материала учебного пособия студенты овладеют:
•	базовыми методами интерполяции функций;
•	принципами использования метода наименьших квадратов для 
решения задачи приближения и линейных алгебраических уравнений;
•	основами регрессионного анализа.

Введение
Необходимость автоматизации вычислений при обработке 
больших цифровых массивов возникла в XVII в. Первые задачи 
обработки данных наблюдений естественным образом соответствовали уровню развития математики и заключались в выполнении 
арифметических и алгебраических операций. Именно таким путем 
на основании уникальных по точности астрономических измерений Тихо Браге (датский астроном, астролог и алхимик эпохи Возрождения), полученных без оптических приборов (телескоп еще 
не был изобретен), Иоганн Кеплер открыл три закона, положивших начало небесной механике.
Проблема обработки информации существенно возросла, когда потребовалось многократное повторение операций математического анализа и, в частности, численного решения дифференциальных уравнений. Г
ромоздкость алгоритмов приводила к ошибкам, 
заставлявшим вновь и вновь повторять их.
Решение проблемы автоматизации монотонных вычислений 
началось с использования аппарата математической логики. Вместе с двоичной системой счисления это привело к появлению настольных калькуляторов, заменивших шумные и недостаточно точные арифмометры. Возникла и возможность существенного 
повышения точности вычислений. Создание миниатюрных логических блоков в виде больших интегральных схем (причем слово 
«больших» относилось не к их размерам, а к объему решаемых ими 
задач) привело к распространению персональных компьютеров с 
удобным способом ввода исходных данных с клавиатуры или от 
внешних носителей. Персональные компьютеры быстро потеснили большие (на этот раз по размерам) электронно-вычислительные 
машины (ЭВМ), размещавшиеся нередко в середине XX столетия 
в отдельных зданиях. Первоначальный способ ввода данных с помощью специальных перфокарт породил профессию программистов, занимавшихся переводом задач с привычного языка формул 
и уравнений на язык ЭВМ. Персональные компьютеры и разработка алгоритмических языков высокого уровня открыли возмож5

ность для математиков, физиков и инженеров, решающих прикладные задачи, обходиться без посредников.
Языки высокого уровня обычно содержат обширную библиотеку стандартных программ наиболее часто используемых математических операций: интерполирование между дискретными значениями, решение алгебраических и дифференциальных уравнений, 
выполнение интегральных преобразований, разложение функций в 
ряд и т. п. Интерполирование в начале развития вычислительной математики играло значительную роль, так как при составлении таблиц 
можно было ограничиться сравнительно большим шагом, оставляя 
пользователю возможность уплотнения таблиц путем интерполирования. По мере повышения быстродействия компьютеров эта роль 
интерполирования отошла на второй план, уступив место среднеквадратическому приближению и аппроксимации функций. Основой 
такого приближения явился метод наименьших квадратов.
Исторически метод наименьших квадратов, открытый К. Г
ауссом и независимо от него А. Лежандром, вначале возник также в 
астрономии. Этот метод был впервые успешно применен для вычисления орбитальных параметров комет по трем наблюдениям. 
Теоретическая глубина метода обнаружилась при анализе характера сходимости ряда, состоящего из взаимно ортогональных функций. В свою очередь это позволило обобщить понятие вектора и 
скалярного произведения в многомерном пространстве.
Между тем дальнейшее развитие логических методов привело 
также к появлению символьных пакетов, безошибочно выполняющих тождественные преобразования формул, перемножение многочленов, раскрытие скобок, упрощение математических выражений и 
т. д. На первый взгляд, этому достижению техники вычислений не 
стоило бы придавать слишком большого значения. Однако в практической научно-исследовательской работе именно эта функция 
компьютера приводит к значительной экономии времени и затрат 
труда. Часто символьные пакеты позволяют обнаружить новые пути 
реализации самих вычислительных алгоритмов. Например, при выводе рабочих алгоритмов решения дифференциальных уравнений с 
помощью процедуры Рунге – Кутта просматривается некоторое разнообразие значений коэффициентов рекуррентных выражений.
В модулях 1 и 2 пособия рассмотрены численные методы интерполяции: интерполирование функций и среднеквадратические 
приближения функций.
6