Функции нескольких переменных. Примеры и задачи

Московский государственный технический университет
имени Н.Э. Баумана
А.В. Мастихин, К.Т. Тибилов
Функции нескольких переменных
Примеры и задачи
Методические указания
к решению задач

УДК 518.5
ББК 22.16
       М32
Издание доступно в электронном виде на портале ebooks.bmstu.ru 
по адресу: http://ebooks.bmstu.ru/catalog/109/book1583.html
Факультет «Фундаментальные науки»
Кафедра «Высшая математика»
Рекомендовано Редакционно-издательским советом 
МГТУ им. Н.Э. Баумана в качестве учебно-методического пособия
Мастихин, А. В.
Функции нескольких переменных. Примеры и задачи :  методиM32
ческие указания к решению задач / А. В. Мастихин, К. Т
. Тибилов. — 
Москва: Издательство МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2017. — 
, [ ] с.: ил.
56
4
ISBN 978-5-7038-4588-2
Изложены основные понятия и факты из теории функций нескольких переменных. Приведены примеры, разобраны типовые задачи, даны 
задачи для самостоятельного решения.
Для студентов, изучающих курс «Функции нескольких переменных».
УДК 518.5
ББК 22.16
				
© МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2017
 © Оформление. Издательство 
 
МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2017
ISBN 978-5-7038-4588-2 		

ПРЕДИСЛОВИЕ-  -    -      - -   -     -      - -   
Единство математики обеспечивает наличие общих, фундаментальных идей. В теории функций нескольких переменных (ФНП) рассматриваются известные из одномерного анализа понятия непрерывности, дифференцируемости и другие применительно к многомерному пространству. Функции нескольких переменных были изучены 
в курсах аналитической геометрии и линейной алгебры (уравнения 
прямой и плоскости). 
Г
еометрическая интерпретация рассматриваемых вопросов требует 
представления о свойствах пространств, на которых рассматриваются 
области определения функций нескольких переменных и в которых 
строятся их графики.
Учебное пособие посвящено одному из важнейших разделов курса высшей математики для технических вузов — дифференциальному 
исчислению ФНП. В издании подробно рассмотрены важнейшие понятия предела и непрерывности ФНП, свойства частных производных 
и дифференцируемых ФНП, вопросы поиска абсолютного и условного экстремумов ФНП.
Изложение теории ФНП проводится по той же схеме, что и для 
функций одного действительного переменного. Остаются в силе многие факты и теоремы, известные для дифференцируемых функций 
одного переменного. Но в рассматриваемом случае ФНП появляются 
и заметные отличия. Всем этим аналогиям и различиям в методическом пособии уделяется пристальное внимание. Изложение теории 
сопровождается разбором примеров. В конце каждого раздела приведены вопросы и условия задач для самостоятельного решения.
Содержание учебного пособия соответствует программе курса 
«Функции нескольких переменных» для МГТУ им. Н.Э. Баумана.
Издание предназначено для студентов технических вузов. Может 
быть полезно преподавателям математического анализа.

ТОПОЛОГИЯ В  n
Топология (от греческого τοπος  и  λογος  — знание местности) — 
раздел математики, изучающий явление непрерывности в его полном 
объеме. Топология в  узком смысле исследует набор открытых множеств, понятия замкнутости, границы, связности и т. п. Для рассмотрения этой темы вспомним теорию евклидовых пространств.
Упорядоченный набор из n действительных чисел x
xn
1,...
 задает 
вектор 
…
x
x
xn
= (
)
1,
,  называемый также точкой P из n-мерного евклидова пространства n.  Числа x
xn
1,...
 называются координатами точки P в стандартном базисе пространства.
Расстояние между двумя точками P и Q определяется по формуле
n
2
2 .
n
n
= (
) =
−
=
−
+
+
−
PQ
P Q
x
y
x
y
x
y
i
i
i
1
1
1
=
∑
ρ
,
(
)
(
)
... (
)
2
Открытым шаром радиусом R с центром в точке P
0  в  n  называется множество
O
P
P
PP
R
R
n
(
)
,|
|
.
0
0
=
∈
<
{
}

Шар радиусом ε с центром в точке называется ε-окрестностью этой 
точки. Если всякая точка множества M имеет окрестность, целиком 
лежащую в этом множестве, то точка называется внутренней точкой 
этого множества. Множество внутренних точек обозначается M
° .
Множество называется открытым, если все его точки внутренние.
Открытая окрестность точки — открытое множество, содержащее 
эту точку.
Точка называется граничной точкой множества, если в  любой ее 
окрестности есть точки, как принадлежащие, так и не принадлежащие 
ему.
Множество всех граничных точек множества M составляет его границу ∂M.
4

Замыканием множества называют объединение M и его границы:
M
M
M
=
∪∂
.
Множество называется замкнутым, если совпадает со своим замыканием.
Множество называется связным, если две любые его точки можно 
соединить непрерывной кривой, целиком лежащей в этом множестве.
Открытое связное множество называется областью.
Область называется односвязной, если ее граница — связное множество. Граница многосвязной области (см. пример 1) распадается 
на объединение непересекающихся множеств.
Множество называется ограниченным, если существует шар, содержащий его целиком.
Замкнутое ограниченное множество в  n  называется компактом.
Пример 1. Кольцо K
K
P
P r
PP
R
R
r
=
=
<
{
}
(
)
,
|
|
0
0 m
 является многосвязным (двусвязным, так как его граница состоит из двух окружностей) ограниченным множеством в  n,  его внутренность K
° =
= P r
PP
R
,
|
|
<
<
{
}
0
, его замыкание K
P r
PP
R
={
}
,
|
|
m
m
0
 (рис. 1).
Рис. 1
Контрольные вопросы
1.	
Что такое открытые и закрытые множества в  n ?
2.	
Что такое пересечения и объединения открытых и замкнутых 
множеств? Назовите их свойства.

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ, 
ЛИНИИ УРОВНЯ
Если каждой точке P x
xn
1,...
(
)  множества D из  n  сопоставлено 
определенное число u∈,  то говорят, что на D определена функция 
точки u = f (P) или функция n переменных u
f x
xn
=
(
)
1,...
.
Множество D называется областью определения.
Гиперповерхностью уровня называется множество точек в  n,  в которых функция принимает постоянное значение f (P) = с. Для n = 2 и 

n = 3 их называют линиями уровня и поверхностями уровня соответственно.
Для функции двух переменных u = f (x, y) графиком называется 
множество Γ = (
)
∈
{
}
x y f x y
x y
D
, ,
( , ) ,( , )
,  представляющее собой некоторую поверхность в  3.
Уравнение линий уровня на плоскости XOY имеет вид
f (x, y) = c.
Уравнение поверхностей уровня в трехмерном пространстве OXYZ 
можно записать как
f (x, y, z) = c.
Нахождение линий уровня показано в примерах 2 — 6.
Пример 2. Найти область определения и построить линии уровня 
для функции z
y
x
= arcsin
.
Решение. Функция определена при −1
1
m
m
y
x
,  x ≠0.  Следовательно, получаем два сектора с выколотым началом координат: −x
y
x
m m
 
при x > 0 и  x
y
x
m m−
 при x < 0. Семейство линий уровня имеет вид 

c
y
x
= arcsin
 или y = x sin (c) — прямые линии, где c∈−






π π
2 2
,
 (рис. 2). 
Построим несколько прямых для табличных значений синуса:
6