Примеры решения задач оптимального управления

Московский государственный технический университет 
имени Н.Э. Баумана 
А.Ю. Бушуев, В.А. Кутыркин 
Примеры решения задач  
оптимального управления  
Методические указания к решению задач 
 по дисциплине «Оптимальное управление» 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 

УДК 517.977.5 (075.8) 
ББК 22.18 
 
Б94 
Издание доступно в электронном виде на портале ebooks.bmstu.ru 
по адресу: http://ebooks.bmstu.ru/catalog/96/book1435.html 
Факультет «Фундаментальные науки» 
Кафедра «Вычислительная математика и математическая физика» 
Рекомендовано Редакционно-издательским советом  
МГТУ им. Н.Э. Баумана в качестве методических указаний  
 
 
Бушуев, А. Ю. 
Б94   
Примеры решения задач оптимального управления : методические указания к решению задач по дисциплине «Оптимальное управление» / А. Ю. Бушуев, В. А. Кутыркин. — 
Москва : Издательство МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2016. — 
40, [4] с. : ил.  
ISBN 978-5-7038-4425-0 
В пособии приведены краткие теоретические сведения по аналитическим 
методам решения задачи Лагранжа с использованием метода множителей Лагранжа и принципа максимума Понтрягина, примеры решения задач оптимального управления. Рассматривается линеаризованный принцип максимума, на основе которого строятся градиентные методы решения задач оптимального управления. Приведены необходимый теоретический материал, 
примеры решения типовых задач, материал для самоконтроля и варианты индивидуальных домашних заданий. Предназначены для помощи студентам по 
направлению подготовки «Математика и компьютерные науки». 
Для студентов МГТУ им. Н. Э. Баумана, изучающих дисциплину «Оптимальное управление». 
 
 УДК 517.977.5 (075.8) 
 
 ББК 22.18 
 
 
 
© МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2016 
 
© Оформление. Издательство  
ISBN 978-5-7038-4425-0 
 
МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2016 
2 

Предисловие 
Оптимальное управление — важный и востребованный раздел 
математики, имеющий разнообразные приложения к задачам экономики, управления, техники и к самой математике.  
Методы оптимизации и оптимального управления являются 
рабочим аппаратом инженеров — исследователей и конструкторов, создающих новые машины, материалы и технологии.  
Эффективным методом получения необходимых условий оптимальности в конечномерных задачах оптимизации и в вариационном исчислении является метод множителей Лагранжа. Использование данного метода позволяет решить ряд частных задач оптимального управления, в которых отсутствуют ограничения на 
управления.  
В практических задачах на множество управлений накладываются некоторые ограничения. Для решения такого рода задач оптимального управления широко используется метод, обобщающий 
методы классического вариационного исчисления. Основой нового 
метода является принцип максимума Л.С. Понтрягина — необходимое условие оптимальности. 
Задача методических указаний заключается в помощи студентам в освоении основных понятий теории оптимального управления, отработке начальных навыков аналитического решения задач оптимального управления с использованием метода множителей Лагранжа и принципа максимума Понтрягина, а также 
знакомство с градиентными методами решения задач на основе 
линеаризованного принципа максимума.  
Данные методические указания предназначены студентам 
университетов, обучающихся по направлению подготовки «Математика и компьютерные науки» при выполнении индивидуальных домашних заданий по дисциплине «Оптимальное управление». 
3 

В конце издания приведены варианты индивидуальных домашних заданий, составленных из задач, предложенных в источниках [4–6]. В список литературы внесены наиболее известные 
учебники и задачники, широко используемые в учебном процессе. 
Так, в книге [3] излагаются основные идеи и методология теории 
оптимального управления. В учебнике [2] подробно излагаются 
методы решения задач оптимального управления, включая численные. В учебном пособии [1] приводится доказательство принципа максимума Понтрягина. 
 
4 

1. Вариационный метод  
в оптимальном управлении 
Задача Лагранжа в форме Понтрягина [3]. 
Рассмотрим задачу вида 
t
1
  




t
x u
F t x u dt



 
(1.1) 
0
Ф
,
 
, ,
 
min, 
где  
 






т
т
1
1
,
,
;   
,
,
;  
, ,
,






n
r
x
x
x
u
u
u
x
f t x u
 
 (1.2) 
с граничными условиями 
 







0
1
0;  
 
0,
x t
x t




 
 (1.3) 
где 




т
т
1
1
,...,
  
,...,
;
,
.
;  
k
l
k l
n





 
Предполагается, что все функции 
,
 (
1, ),
,


i
F
f
i
n
 дважды 
непрерывно 
дифференцируемы, 


1
2]
( )
[ ,
,
;

n
f x
C
t
t
R
 
( )
u t  


1
2
 
[ ,
],
.

r
C t
t
R
 
В такой постановке задача Лагранжа отличается от задач оптимального управления только классом допустимых функций (в 
задаче оптимального управления фазовые координаты 

x t
PC

 
являются кусочно-гладкими функциями, а управление 

u t
PC

 
кусочно-непрерывными функциями), а также отсутствует ограничение на фазовые координаты и управления. 
Применим для решения задач (1.1)–(1.3) метод Лагранжа. Составим вспомогательный функционал 
t
1
т
т
0
1
 






x u
Ldt
x t
x t





 
(1.4) 
0
Ф
,
 
 
( )
( ) ,
5