Теория дискретных систем автоматического управления. Часть 3

Московский государственный технический университет
имени Н.Э. Баумана
В.А. Иванов, М.А. Голованов
ТЕОРИЯ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ
АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
Часть 3
Рекомендовано Научно-методическим советом
МГТУ им. Н.Э. Баумана в качестве учебного пособия
по курсу «Теория автоматического управления»
Москва
Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана
2013

УДК 517(075.8)
ББК 22.176
И20
Рецензенты: В.Л. Афонин, Б.И. Шахтарин
И20
Иванов В. А.
Теория дискретных систем автоматического управления :
учеб. пособие. — Ч. 3. / В. А. Иванов, М. А. Голованов. — М. :
Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2013. — 155, [5] с. : ил.
ISBN 978-5-7038-3669-9
Рассмотрен анализ и синтез линейных дискретных автоматических
систем при случайных воздействиях. Дан вывод уравнения Винера–
Хопфа, приведено решение этого уравнения для стационарной одномерной задачи. Описано решение задачи оптимальной фильтрации
для линейных дискретных систем, получено уравнение фильтра Калмана для стационарной задачи. Изложены метод фазовой плоскости
для дискретных систем и способы построения фазовых траекторий
нелинейных дискретных систем второго порядка. Приведен анализ
устойчивости нелинейных дискретных систем с помощью прямого
метода Ляпунова, в том числе анализ абсолютной устойчивости. Изложены методы гармонической линеаризации для дискретных автоматических систем и принцип максимума для дискретных систем
управления. Рассмотрена задача синтеза дискретных систем, оптимальных по быстродействию и по квадратичному критерию.
Для студентов МГТУ им. Н.Э. Баумана, изучающих курс «Теория
автоматического управления».
УДК 517(075.8)
ББК 22.176
ISBN 978-5-7038-3669-9
c
⃝МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2013

Глава 1. АНАЛИЗ И СИНТЕЗ ЛИНЕЙНЫХ ДИСКРЕТНЫХ
СИСТЕМ ПРИ СЛУЧАЙНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ
1.1. Дискретные случайные функции
1.1.1. Дискретные случайные функции
и линейные операции над ними
Дискретной случайной функцией называется последовательность случайных величин X[nT]. В частном случае можно принять
T = 1. Дискретная случайная функция может быть образована из
непрерывного случайного процесса X(t), если принять t = nT.
Случайная последовательность X[n] полностью характеризуется k-мерной функцией распределения вероятностей
Fk (x1, . . . , xk, n1, . . . , nk) = P {X[n1] < x1, . . . , X[nk] < xk} ,
т. е. дискретная случайная функция X[n] задана полностью, если
для
любого
k
задана
k-мерная
функция
распределения
Fk (x1, . . . , xk, n1, . . . , nk).
Плотность распределения вероятностей случайной последовательности X[n] определяется по формуле
pk (x1, . . . , xk, n1, . . . , nk) = ∂kFk (x1, . . . , xk, n1, . . . , nk)
∂x1 . . . .∂xk
.
Функция распределения вероятностей Fk(x1, . . . , xk, n1, . . . ,
. . . , nk) обладает следующими свойствами:
1) 0 ≤Fk (x1, . . . , xk, n1, . . . , nk) ≤1, как всякая вероятность;
2) если принять все аргументы, кроме xr, равными бесконечности, то получим функцию распределения случайной величины X[r]:
3

Fk (∞, . . . , xr, . . . , ∞) = F1(xr, nr)
— одномерная функция распределения вероятностей;
3)
lim
xr→−∞Fk (x1, . . . , xk, n1, . . . , nk) = 0 для любого r = 1,
Fk (x1, . . . , xk, n1, . . . , nk) = 1;
2, . . . , k;
lim
x1→∞
...
xk→∞
4) функция распределения Fk(x1, . . . , xk, n1, . . . , nk) является
неубывающей по всем аргументам.
Плотность распределения pk(x1, . . . , xk, n1, . . . , nk) имеет следующие свойства:
1)
∞

∞

−∞
dx1 . . .
−∞
pk (x1, . . . , xk, n1, . . . , nk) dxk = 1;
2) pk (x1, . . . , xk, n1, . . . , nk) ≥0;
3) p1 (x1, n1) =
∞

−∞
p2 (x1, x2, n1, n2) dx2.
Математическое
ожидание
дискретной
случайной
функции X[n]
M{X[n]} = mx [n] =
∞

−∞
xp1(x, n)dx,
где p1(x, n) — одномерная плотность распределения вероятностей.
Функция
0
X[n] = X[n] −mx[n], имеющая нулевое математическое ожидание, называется центрированной дискретной случайной
функцией.
Корреляционной функцией дискретной случайной величины
X[n] называется центральный момент второго порядка
Kx[n, m] = M{
0
X[n]
0
X[m]} =
=
∞

∞

−∞
−∞
(x1 −mx1[n])(x2 −mx2[m])p2(x1, x2, n, m)dx1dx2,
4

где p2(x1, x2, n, m) — двумерная плотность распределения вероятностей.
Начальный момент второго порядка
Γx[n, m] = M{X[n]X[m]}
и связан с корреляционной функцией Kx[n, m] соотношением
Kx[n, m] = Γx[n, m] −mx[n]mx[m].
Действительно
M{
0
X[n]
0
X[m]} = M{(X[n] −mx[n])(X[m] −mx[m])} =
= M{X[n]X[m]} −M{X[n]mx[m]} −M{mx[n]X[m]}+
+ M{mx[n]mx[m]} = Γx[n, m] −mx[n]mx[m].
Взаимная корреляционная функция Kxy[n, m] двух дискретных
случайных функций X[n] и Y [n] определяется по выражению
Kxy[n, m] = M{
0
X[n]
0
Y [m]} =
=
∞

∞

−∞
−∞
(x −mx[n])(y −my[m])p2(x, y, n, m)dxdy,
где p2(x, y, n, m) = ∂2F(x, y, n, m)
∂x∂y
, причем F(x, y, n, m) — двумерная совместная функция распределения случайных процессов
X[n] и Y [n].
Дисперсией Dx[n] случайного процесса X[n] называется дисперсия
Dx[n] = M{
0
X2[n]}.
Дисперсия
Dx[n] = Kx[n1, n2]


n1=n2=n.
Рассмотрим свойства математического ожидания и корреляционной функции дискретного случайного процесса.
1. Математическое ожидание неслучайной функции ξ[n]
M{ξ[n]} = ξ[n].
5

В самом деле,
M{ξ[n]} =
∞

∞

−∞
ξ[n]p1(x, n)dx = ξ[n]
−∞
p1(x, n)dx = ξ[n].
2. Если ξ[n] — неслучайная функция, то
M{ξ[n]X[n]} = ξ[n]mx[n].
Имеем
M{ξ[n]X[n]} =
∞

−∞
ξ[n]xp1(x, n)dx =
= ξ[n]
∞

−∞
xp1(x, n)dx = ξ[n]mx[n].
Если Z[n] = X[n]+Y [n], т. е. случайный процесс Z[n] равен сумме
случайных процессов X[n] и Y [n], то
mz[n] = mx[n] + my[n].
Действительно,
M{Z[n]} =
∞

∞

−∞
−∞
(x + y)p2(x, y, n)dxdy =
=
∞

∞

∞

∞

−∞
xdx
−∞
p2(x, y, n)dy +
−∞
ydy
−∞
p2(x, y, n)dx =
=
∞

∞

−∞
xp1(x, n)dx +
−∞
yp1(y, n)dy = mx[n] + my[n].
3. Если X[n] и Y [n] — независимые случайные процессы, то
M{X[n]Y [n]} = mx[n]my[n].
6

В самом деле,
M{X[n]Y [n]} =
∞

∞

−∞
−∞
xyp2(x, y, n)dxdy =
=
∞

∞

−∞
−∞
xyp1(x, n)p1(y, n)dxdy =
=
∞

∞

−∞
xp1(x, n)dx
−∞
yp1(y, n)dy = mx[n]my[n].
Рассмотрим свойства корреляционной функции.
1. Kx[n2, n1] = Kx[n1, n2].
Действительно,
Kx[n2, n1] = M{
0
X[n2]
0
X[n1]} = M{
0
X[n1]
0
X[n2]} = Kx[n1, n2].
2. Если Y [n] = X[n]+A[n], где A[n] — неслучайная дискретная
функция, то Ky[n1, n2] = Kx[n1, n2].
Имеем
Ky[n1, n2] = M{
0
Y [n1]
0
Y [n2]} =
= M{(Y [n1] −my[n1])(Y [n2] −my[n2])} = M{(X[n1] + A[n1]−
−mx[n1] −A[n1])(X[n2] + A[n2] −mx[n2] −A[n2])} = Kx[n1, n2].
3. Справедливо соотношение
|Kx[n1, n2]| ≤
Для доказательства рассмотрим математическое ожидание

Dx[n1]Dx[n2].
M
	2⎫
⎬
⎧
⎨

X[n1] −mx[n1]

Dx[n1]
± X[n2] −mx[n2]

Dx[n2]
⎭=
⎩
Отсюда следует, что
= 1 ± 2
Kx[n1, n2]

Dx[n1]Dx[n2]
+ 1 ≥0.
|Kx[n1, n2]| ≤

Dx[n1]Dx[n2].
7

4. Корреляционная функция является знакоположительной, т. е.
для любых 1 ≤i, j ≤k и qi, qj будет справедливо неравенство
i=1
j=1
Kx[n1, n2]qiqj ≥0.
k


k


Свойства взаимной корреляционной функции Kxy[n1, n2]:
1) Kyx[n2, n1] = Kxy[n1, n2];
2) |Kxy[n1, n2]| ≤

Dx[n1]Dy[n2];
3) eсли взаимная корреляционная функция Kxy[n1, n2] = 0, то
процессы X[n] и Y [n] называются некоррелированными. Если процессы X[n] и Y [n] независимы, их взаимная корреляционная функция Kxy[n1, n2] = 0. Из некоррелированности процессов X[n] и
Y [n] не следует их независимость.
Широкое распространение получила корреляционная теория
случайных процессов, рассматривающая моменты первого и второго порядка. Для некоторых классов дискретных случайных
функций, например гауссовых, знание моментов первого и второго
порядка позволяет определить k-мерную плотность распределения, т. е. получить исчерпывающую характеристику случайной
функции.
Линейные операции над дискретными случайными функциями:
1) oперация взятия конечной разности. Конечная разность первого порядка определяется выражением
ΔX[n] = X[n + 1] −X[n].
Математическое ожидание первой разности
M{ΔX[n]} = M{X[n + 1] −X[n]} = Δmx[n].
Корреляционная функция первой разности
KΔX[n, m] = M{Δ
0
X[n]Δ
0
X[m]} = ΔnΔmKx[n, m].
Взаимная корреляционная функция
KXΔX[n, m] = ΔmKx[n, m];
8

2) oперация нахождения конечной суммы. Конечная сумма Y [n]
для функции X[n] задается равенством
Y [n] =
n=0
X[m].
n−1


Имеем
ΔY [n] = X[n] и
m=0
ΔX[m] = X[n] −X[0].
n−1


Математическое ожидание конечной суммы
M{Y [n]} = my[n] =
m=0
mx[m].
n−1


Корреляционная функция конечной суммы
Ky[n, m] = M{
0
X[l]
0
X[r]} =
r=0
r=0
Kx[l, r].
l=0
l=0
n−1


m−1


n−1


m−1


Если дискретная случайная функция задана выражением
Y [n] =
n=0
X[m]g[n, m],
n−1


где g[n, m] — неслучайная дискретная функция двух аргументов,
то корреляционная функция
Ky[n, m] =
r=0
Kx[l, r]g[n, l]g[m, r].
l=0
n−1


m−1


1.1.2. Cтационарные дискретные случайные функции.
Спектральная плотность дискретной случайной функции
Дискретная случайная функция X[n] называется стационарной
случайной функцией в узком смысле, если ее k-мерная функция
распределения (плотность распределения) не изменяется при сдвиге по времени, т. е. для любого h справедливо равенство
Fk(x1, . . . , xk, n1 + h, . . . , nk + h) = Fk(x1, . . . , xk, n1, . . . , nk),
9

или для плотности распределения вероятностей
pk(x1, . . . , xk, n1 + h, . . . , nk + h) = pk(x1, . . . , xk, n1, . . . , nk).
Дискретная случайная функция X[n] называется стационарной
в широком смысле, если:
1) математическое ожидание является постоянной величиной:
mx[n] = const;
2) корреляционная функция зависит от разности аргументов:
Kx[n, m] = Kx[n −m] = Kx[r],
где r = n −m.
Из стационарности в узком смысле функции X[n] следует стационарность в широком смысле. В самом деле, пусть X[n] — стационарная в узком смысле случайная дискретная функция. Тогда,
положив в одномерной плотности распределения p1(x, n) сдвиг
h = −n, получим
p1(x, n + h) = p1(x, n −n) = p1(x, 0) = p1(x, n)
и
mx[n] =
∞

−∞
xp1(x, 0)dx = const.
Аналогично для двумерной плотности распределения p2(x1, x2, n, m)
примем h = −m. Тогда
p2(x1, x2, n + h, m + h) = p2(x1, x2, n −m, 0)
и корреляционная функция
Kx[n, m] =
=
∞

∞

−∞
−∞
(x1 −mx)(x2 −mx)p2(x1, x2, n −m, 0)dx1dx2 =
= Kx[n −m]=Kx[r],
где r = n −m.
Из стационарности в широком смысле в общем случае не следует стационарность в узком смысле, однако для некоторых классов случайных функций (например, гауссовых) из стационарности
10