Программные преобразования числовой информации

Московский государственный технический университет
 имени Н.Э. Баумана
А.Ф. Деон, С.С. Комалов, Ю.И. Терентьев
Программные преобразования
числовой информации
Рекомендовано редсоветом МГТУ им. Н.Э. Баумана
в качестве учебного пособия
Под редакцией Б.Г. Трусова
Москва
Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана
2006

Д11
УДК 681.142.2 (075.8)
ББК 32.973
       Д11
Рецензенты: Н.В. Абакумова, В.В. Чистов
Деон А.Ф., Комалов С.С., Терентьев Ю.И.
Программные преобразования числовой информации: Учеб.
пособие / Под ред. Б.Г. Трусова. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2006. – 36 с.
ISBN 5-7038-2875-9
Рассмотрены вопросы представления числовой информации в позиционных системах счисления. На основе битовой логики описаны алгоритмы преобразования целых и вещественных чисел, на конкретных примерах приведена их программная реализация.
Для студентов 1-го курса  МГТУ им. Н.Э. Баумана.
Ил. 7. Библиогр. 2 назв.
УДК 681.142.2 (075.8)
                                                  ББК 32.973
Учебное издание
Алексей Федорович Деон
Сергей Сергеевич Комалов
Юрий Иванович Терентьев
Программные преобразования числовой информации
Редактор А.В. Сахарова
Корректор Л.И. Малютина
Компьютерная верстка  Е.В. Зимакова
Подписано в печать 30.06.2006. Формат  60х84/16. Бумага офсетная.
Печ. л. 2,25. Усл. печ. л. 2,09.  Уч.-изд. л. 1,95. Тираж 100 экз.
Изд № 45. Заказ
Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана.
105005, Москва, 2-я Бауманская, 5.
ISBN 5-7038-2875-9                   
        
©
МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2006

ВВЕДЕНИЕ
История компьютерной техники началась с обработки числовой информации. Но электронные устройства все вычислительные
операции выполняют в двоичной системе счисления. В системах
команд процессоров существуют отдельные команды для операций над целыми и вещественными числами. Поэтому специалисты
по обработке числовой информации должны ясно представлять,
как хранятся целые и вещественные положительные и отрицательные числа в памяти машины; как записывать их в двоичной системе счисления; что такое нормализованное и фиксированное расположение десятичной точки в вещественном числе. Изучение этих
вопросов и является целью настоящей работы.
Используемые в пособии программы написаны на языке Pascal
для консольного режима среды Delphi.
1. ПОЗИЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ
Под системой счисления понимают способ представления числа посредством некоторого алфавита символов, называемых цифрами. В вычислительной технике используют позиционные системы счисления, которые характеризуют наглядностью записи чисел
и простотой выполнения арифметических операций. В позиционных системах счисления одна и та же цифра имеет различное значение, в зависимости от позиции этой цифры в последовательности цифр, изображающей число.
Количество различных цифр s, употребляемых в позиционной
системе, называется ее основанием. Эти цифры обозначают s целых чисел: обычно 0, 1, ... , (s – 1). В десятичной системе используются десять цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Следовательно, эта
система имеет основанием число 10.
В общем случае любое число X в позиционной системе может
быть представлено в виде полинома от основания s:
X
x s
x s
x
s
x s
=
=
+
+
+
+
1
1
( )
1
1
              (1)
n
i
n
n
s
i
n
n
i
m
−
−
=−
…
x s
x s
x
s
+
+
+
+
∑
…
m
m
0
1
0
1
                              
.
−
−
−
−
3

Здесь в качестве коэффициентов xi могут стоять любые из s
цифр, используемых в системе счисления. Они показывают,
сколько единиц i-го разряда содержится в числе (n и m – номера
старшего и младшего разрядов).
Краткая запись числа представляет собой последовательность
соответствующих цифр:
X(s) = xn xn–1 … x1 x0, x–1 … x–m .                             (2)
Запятая отделяет целую часть от дробной. Позиции цифр, отсчитываемые от запятой, называются разрядами. Значение каждого разряда больше значения соседнего справа разряда в число раз,
равное основанию s.
Например, в десятичной системе счисления число 497,108
можно представить следующим образом:
2
2
1
1
2
3
497,108
4 10
9 10
7 10
1 10
0 10
8 10 .
−
−
−
=
⋅
+ ⋅
+
⋅
+ ⋅
+
⋅
+ ⋅
В вычислительной технике помимо десятичной используют
двоичную, шестнадцатеричную и восьмеричную системы счисления. Наибольшее распространение имеет двоичная система счисления. В этой системе используются только две цифры: 0 и 1. Любое число может быть представлено последовательностью
двоичных цифр, например:
7
6
5
4
3
2
2
1
0
1
2
3
10101101,101
1 2
0 2
1 2
0 2
1 2
                               
1 2
0 2
1 2
1 2
0 2
1 2 .
−
−
−
= ⋅
+
⋅
+ ⋅
+
⋅
+ ⋅
+
+ ⋅
+
⋅
+ ⋅
+ ⋅
+
⋅
+ ⋅
Двоичное изображение числа требует большего (примерно в
3,3 раза) количества разрядов, чем его десятичное представление.
Тем не менее, применение двоичной системы создает большие
удобства для функционирования ЭВМ, так как для представления
в машине разряда двоичного числа может быть использовано любое простое электронное устройство, имеющее всего два устойчивых состояния (реле, триггерные схемы и т. п.). Поэтому двоичная
система и двоичный алфавит применяют для представления и хранения чисел, команд и другой информации, а также при выполнении арифметических и логических операций.
В восьмеричной системе употребляют восемь цифр: 0, 1, 2, 3, 4,
5, 6, 7. Любое число в восьмеричной системе представляется последовательностью цифр (2), в которой числа xi могут принимать
4