Практикум по основам теории управления

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
имени  Н.Э. БАУМАНА
В.И. Сивцов,  Г.А. Шахназаров
 ПРАКТИКУМ ПО ОСНОВАМ
ТЕОРИИ УПРАВЛЕНИЯ
Под редакцией К.А. Пупкова
Рекомендовано редсоветом МГТУ им. Н.Э. Баумана
в качестве учебно-методического пособия
по курсу «Основы теории управления»
М о с к в а
Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана
2 0 0 6

УДК 62-50(076.5)
ББК  32.965
          С34
Рецензенты:  В.И. Кузовлев, Е.А. Руденко
С34
Сивцов В.И., Шахназаров Г.А.
Практикум по основам теории управления: Учебнометодическое пособие / Под ред. К.А. Пупкова. – М.: Изд-во
МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2006. –  120 с.
ISBN 5-7038-2849-Х
В пособии в компактной форме изложены разделы классической теории управления, составляющие методологическую основу решения типовых задач динамического проектирования и исследования стационарных
линейных, нелинейных и цифровых автоматических систем. Теоретический материал сопровождается примерами, иллюстрирующими различные
аспекты его применения.
Для использования студентами, аспирантами и преподавателями в качестве методического материала по дисциплинам «Основы теории управления», «Управление в технических системах», а также ряду других дисциплин.
Ил. 34. Прил. 4. Библиогр. 12 назв.
                                                                                                             УДК 62-50(076.5)
                                                                                                   ББК 32.965
Владислав Иванович Сивцов
Григорий Александрович Шахназаров
Практикум по основам теории управления
Учебно-методическое пособие
Редактор С.А. Серебрякова
Корректор Р.В. Царева
Компьютерная верстка О.В. Беляевой
Подписано в печать  25.04.2006.  Формат 60×84/16. Бумага офсетная.
Печ. л. 7,5. Усл. печ. л. 7,0. Уч.-изд. л. 6,75. Тираж 200 экз.
Изд. №  23. Заказ
Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана
105005, Москва, 2-я Бауманская, 5
ISBN 5-7038-2849-Х                                                  © МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2006

Предисловие
В организации учебного процесса наряду с лекциями и лабораторными работами важная роль отводится практическим занятиям.
Но если  лекционные курсы с достаточной полнотой отражены в
обширной учебной литературе, то для практических занятий каждый преподаватель вынужден готовить методические материалы
самостоятельно, 
поскольку 
соответствующей 
учебно-методической литературы явно недостаточно.
Более того, хорошие примеры для семинаров, как правило, рождаются в результате многолетней работы с курсом. В этом смысле практические занятия не менее сложны при подготовке, чем
лекции, и требуют пристального внимания как необходимый элемент учебного процесса.
В ходе практических занятий по дисциплине «Основы теории
управления» должны формироваться устойчивые навыки решения
типовых задач, реализующих  схему деятельности инженерауправленца, а именно:
– умение сформулировать постановку задачи проектирования
системы управления техническим объектом;
– умение формировать математические модели систем управления в зависимости от профиля подготовки специалиста;
– умение решать задачи анализа различных способов описания
динамики объектов при детерминированных и случайных воздействиях;
– умение синтезировать регуляторы в зависимости от имеющихся ограничений и доступной информации;
– умение реализовать регуляторы на микропроцессорных устройствах.
Все этапы деятельности важны и должны быть детально освоены при изучении курса.
Необходимым условием при отборе примеров для практических занятий является возможность выполнить все этапы решения
задач  без использования вычислительной техники. Более того,
авторы стремились подбирать задачи, аналитические решения которых являются функцией конструктивных параметров, что позволяет назначать эти параметры при проектировании и иллюстрировать их влияние на динамические свойства систем управления.
3

Опыт, полученный при решении простых модельных задач, может
быть с успехом использован в лабораторном практикуме для исследования сложных систем с применением современных средств
машинного проектирования.
Что касается ориентации на ту или иную конкретную специальность, то авторы придерживаются мнения, что теория управления является инвариантной по отношению к объекту управления,
поскольку имеет дело с их математическими моделями, и в этом
смысле выбор физических объектов, иллюстрирующих задачи
управления, не является принципиальным. Вместе с тем умение
получать модели технических объектов относится к числу необходимых навыков. Преподаватель, ведущий занятия по изучаемой
дисциплине,  всегда может пополнить перечень рассматриваемых
объектов  управления примерами технических объектов, формальное описание которых не отличается от анализируемых в настоящем пособии.
Чтобы с пособием можно было работать, не привлекая дополнительной литературы,   каждому  разделу предпослан минимальный теоретический материал справочного характера. Учитывая
небольшой объем настоящего издания, авторы сочли целесообразным не включать в текст дополнительные задачи, которые в случае
необходимости можно найти, например, в учебниках  [1—3]  и в
известном задачнике [4].  В настоящем пособии отражен опыт работы авторов с курсами «Управление в технических системах»,
«Основы теории управления», «Теория автоматического управления». Надеемся, что пособие будет полезно студентам, изучающим
эти и близкие по содержанию курсы, и преподавателям названных
дисциплин.
4

1. СОСТАВЛЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ
СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ
При исследовании и проектировании систем управления, как
правило, пользуются моделями этих систем, представленными в
виде системы дифференциальных уравнений.
При записи уравнений систем, составленных из различимых
элементов,   всю систему разбивают на звенья. Под звеном понимают такую часть системы, для которой сохраняется направленное
движение сигналов и отсутствует непосредственное влияние выходных сигналов на входные. Для каждого из звеньев, пользуясь
уравнениями физики, составляют дифференциальные уравнения и
дополняют их алгебраическими уравнениями связей между звеньями с учетом смысла регулирования.
Пример 1.1. Запишем уравнения 
«вход—выход» 
для 
RLCцепочки (рис. 1.1) с выходами  соответственно на элементы R, L, C.
Для упрощения записи воспользуемся операторной формой
записи  (p = d/dt). В соответствии с
законом Кирхгофа запишем
Рис. 1.1. RLC-цепь
+
+
=
вх
1
;
IR
LpI
I
U
Cp
=
=
=
1
;
;
.
R
L
C
U
IR U
LpI U
I
Cp
Разрешая последние выражения относительно выходных переменных, найдем
2
R
L
вх
вх
2
2
=
=
+
+
+
+
CRp
LCp
U
U
U
U
LCp
RCp
LCp
RCp
C
вх
2
;
;
1
1
1
,
1
=
+
+
U
U
LCp
RCp
5

или в обычной форме записи дифференциальных уравнений:
;
+
+
=
R
R
R
2
вх
2
d U
dU
dU
LC
RC
U
RC
dt
dt
dt
;
+
+
=
L
L
L
2
2
вх
2
2
d U
dU
d U
LC
RC
U
LC
dt
dt
dt
2
.
+
+
=
C
C
C
вх
2
d U
dU
LC
RC
U
U
dt
dt
Обратим внимание на то, что левая часть дифференциальных
выражений, определяющая динамику рассматриваемой системы, у
всех уравнений одна и та же,  тогда как правая часть зависит от
выбранных выходных координат.
Пример 1.2. Составим уравнения движения двигателя постоянного тока (рис. 1.2).
Рис. 1.2. Принципиальная схема двигателя постоянного тока
Будем пренебрегать гистерезисом и падением напряжения на
щетках. Обмотка возбуждения создает магнитный поток, пропорциональный току f
i  в обмотке:
6

Ф
.
f
f
K i
=
Момент,  развиваемый двигателем, зависит как от тока  в якорной цепи 
,
a
i
  так и от тока в обмотке возбуждения 
:
f
i
Ф
.
i
a
f
i f a
M
K
i
K K i i
=
=
Если двигатель управляется по цепи возбуждения, то  момент
двигателя будет пропорционален току в обмотке возбуждения:
.
f
i f a
m f
M
K K i i
K i
=
=
В последних выражениях 
,
,
f
i
m
K
K
K
 — постоянные коэффициенты.
Ток возбуждения определяется в соответствии с законом Кирхгофа:
(
)
f
f
f
f
R
L p i
U
+
=
(
f
R и 
f
L  — активное сопротивление и индуктивность обмотки
возбуждения, p = d/dt — дифференциальный оператор), а уравнение движения ротора двигателя имеет вид
2
в
(
)
,
Jp
Bp
M
M
+
ϕ =
−
где J — момент инерции ротора; B — коэффициент вязкого трения; ϕ  — угол поворота ротора; 
в
M  — возмущающий момент.
Если двигатель управляется по якорной цепи, то при постоянном токе возбуждения момент, развиваемый двигателем, будет
пропорционален току в якорной цепи:
.
f
i f
a
m a
M
K
K i i
K
i
=
=
Ток в якорной цепи определяется в соответствии с законом
Кирхгофа:
(
)
a
a
a
b
a
R
L p i
K
U
+
+
ω =
(
a
R  и  
a
L  — активное сопротивление и индуктивность якорной
цепи).
В последнем уравнении учтена составляющая, пропорциональная угловой скорости с коэффициентом 
b
K   (противоЭДС). Заме7

тим, что 
,
b
m
K
K
=
  так как в установившемся режиме мощность,
подводимая к двигателю, 
,
b
a
K
i
ω
 равна мощности на валу:
.
m
a
M
K
i
ω =
ω
Уравнения механики и электрической цепи для  двигателя
имеют суммарный порядок, равный трем. Часто пренебрегают индуктивностью якоря, что позволяет понизить порядок уравнения
до двух.
Если в качестве выходной координаты двигателя выбрать не
угол поворота вала, а угловую скорость, то,  очевидно, порядок
уравнений  уменьшится на единицу.
Пример 1.3. Система позиционирования магнитной головки
жесткого диска перемещает  магнитную головку для записи и считывания информации  с одной дорожки диска  на другую. В качестве  исполнительного двигателя для приведения в действие  рычага с магнитными головками используется соленоид. В управляющем устройстве фактический номер дорожки, где находится
магнитная головка, сравнивается с желаемым,  полученный при
этом сигнал ошибки  используется для выработки  управляющего
сигнала. После преобразования и усиления сигнала сердечник соленоида  устанавливает  закрепленные на его рычаге  магнитные
головки на нужную дорожку.
Сигнал ошибки, представляющий собой разность между требуемым 
T
N  и фактическим N  номерами дорожек магнитного
диска
T
,
N
N
N
∆
=
−
преобразуется  в  напряжение
(
),
U
F
N
=
∆
управляющее сердечником соленоида  с магнитными головками.
Преобразователь  представляет собой  в общем случае нелинейное
устройство,  например,  формирующее последовательность кусочно-постоянных  значений  напряжений, уменьшающихся с уменьшением ошибок (рис. 1.3).
Датчик текущего положения головок представляет собой реверсивный счетчик, который присваивает угловому положению
рычага соответствующий номер
( ).
N
f
=
ϕ
8

Уравнения 
движения 
рычага
практически не отличаются от записанных выше уравнений двигателя,
управляемого по якорной цепи
(
)
;
b
R
Lp i
K
U
+
+
ω =
;
m
M
K i
=
2
в
(
)
,
Jp
Bp
M
M
+
ϕ =
−
Рис. 1.3. Характеристика
преобразователя «код—аналог»
где 
b
K  и 
m
K
— постоянные коэффициенты.
Итак, уравнения системы содержат обыкновенные дифференциальные уравнения, нелинейные зависимости, описывающие преобразователи, среди переменных системы наряду с непрерывными  (угловое положение, скорость, ток, напряжение) присутствуют дискретные целочисленные значения (номера дорожек). Поэтому,
строго говоря, рассматриваемая система относится к классу нелинейных непрерывно-дискретных систем. Такие системы трудны
для анализа. Поэтому часто проектирование начинают с рассмотрения упрощенных линеаризованных моделей. В частности, можно предположить, что  требуемому значению номера дорожки отвечает требуемое значение углового положения рычага. Тогда
значение сигнала управления  (напряжения на соленоиде) будет
зависеть от разности требуемого и фактического значений углового положения рычага:
т
(
)
(
).
U
K
K
=
∆ϕ =
ϕ −ϕ
При составлении уравнения механической части системы позиционирования предполагалось, что магнитная головка неподвижна относительно рычага. На самом деле стремление улучшить
динамические характеристики  дисковода (время доступа и соответственно время записи и считывания) заставляет уменьшать
массу рычага, из-за чего магнитная головка может перемещаться
относительно якоря соленоида. Относительные перемещения
определяются  упругими свойствами рычага:
2
1
1
в
(
)
(
)
;
J p
B p
q
M
M
+
ψ +
ψ −ϕ =
−
2
2
2
(
)
(
)
0.
J p
B p
q
+
ϕ +
ϕ −ψ =
9

Здесь q означает коэффициент упругости. Новая координата ψ
отвечает угловому положению якоря соленоида, которое  из-за упругих свойств отличается от углового положения магнитной головки .
ϕ
2.  МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ В ПРОСТРАНСТВЕ
«ВХОД—ВЫХОД»
Передаточные функции представляют собой отношение преобразования Лапласа выходного сигнала системы к преобразованию
Лапласа входного воздействия при нулевых начальных условиях.
В этом случае связь «вход—выход» имеет вид
( )
( ) ( );
y s
W s u s
=
1
( )
L { ( )},
y t
y s
−
=
где  s — комплексная переменная, аргумент преобразования Лапласа; u(s) — изображение по Лапласу входного воздействия на
систему;  y(s) — изображение по Лапласу реакции системы на
внешнее воздействие  (выходного сигнала системы); L{}
⋅ — символическое обозначение процедуры вычисления прямого преобразования Лапласа:
{
}
∞
−
=
= ∫
0
( )
L
( )
( )
;
st
y s
y t
y t e
dt
1
L {}
−⋅ — символическое обозначение процедуры вычисления обратного преобразования Лапласа:
+ ∞
−
c
j
st
{
}
1
( )
L
( )
( )
.
2π
1
y t
y s
y s e ds
j
−∞
=
=
∫
c
j
Форма представления передаточной функции общего вида непосредственно отражает связь передаточной функции с дифференциальным уравнением системы:
"
( )
( )
( )
,
( )
( )
"
+
+
+
+
=
=
=
+
+
+
+
b s
b s
b
s
b
y s
M s
W s
u s
N s
a s
a s
a
s
a
1
0
1
1
1
0
1
1
−
−
−
−
m
m
m
m
n
n
n
n
где M(s), N(s) — полиномы от s степеней m и n соответственно.
10