Математика. Векторная алгебра
Покупка
Новинка
Издательство:
Санкт-Петербургский государственный аграрный университет
Автор:
Косякова Людмила Николаевна
Год издания: 2023
Кол-во страниц: 90
Дополнительно
Доступ онлайн
400 ₽
В корзину
Учебное пособие предназначено для обучающихся по дисциплине «Математика» по направлению подготовки 38.03.04 Государственное и муниципальное управление. Учебное пособие включает в себя один из основных разделов учебной дисциплины Математика, в котором изучаются свойства операций над векторами. В нем изложены основные понятия векторной алгебры, подробно разобраны многочисленные примеры, даны задачи для самостоятельного решения. Его цель - помочь студентам самостоятельно или с помощью преподавателя овладеть методами решения задач векторной алгебры. В пособии подробно представлены основные теоретические сведения и необходимые формулы. Внимание уделено как решению типовых задач по данной тематике, так и примерам для самостоятельной работы. По каждой теме предлагаются задачи для разбора и решения их в аудитории, а также задачи для самостоятельного решения. Ко всем задачам приведены ответы. В заключении приведен тренировочный тест для проверки знаний учащихся по данной теме.
Тематика:
ББК:
УДК:
ОКСО:
- ВО - Бакалавриат
- 38.03.04: Государственное и муниципальное управление
ГРНТИ:
Скопировать запись
Фрагмент текстового слоя документа размещен для индексирующих роботов
Л.Н. КОСЯКОВА МАТЕМАТИКА ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ для обучающихся по направлению подготовки 38.03.04 Государственное и муниципальное управление САНКТ-ПЕТЕРБУРГ 2023
МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РФ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Л.Н. КОСЯКОВА МАТЕМАТИКА ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ для обучающихся по направлению подготовки 38.03.04 Государственное и муниципальное управление САНКТ-ПЕТЕРБУРГ 2023
УДК 514.742.2 ББК 22.151.5 Рецензенты: кандидат экономических наук, заведующий кафедрой экономики и бухгалтерского учета ФГБОУ ВО СПбГАУ Е. В. Коваленко; кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математики, физики и информационных технологий ФГБОУ ВО Чувашский ГАУ Е. А. Деревянных Косякова Л.Н. Математика. Векторная алгебра: учебное пособие / Косякова Л.Н. - СПб.: ФГБОУ ВО СПбГАУ, 2023. – 90 с. Учебное пособие предназначено для обучающихся по дисциплине «Математика» по направлению подготовки 38.03.04 Государственное и муниципальное управление. Учебное пособие включает в себя один из основных разделов учебной дисциплины Математика, в котором изучаются свойства операций над векторами. В нем изложены основные понятия векторной алгебры, подробно разобраны многочисленные примеры, даны задачи для самостоятельного решения. Его цель - помочь студентам самостоятельно или с помощью преподавателя овладеть методами решения задач векторной алгебры. В пособии подробно представлены основные теоретические сведения и необходимые формулы. Внимание уделено как решению типовых задач по данной тематике, так и примерам для самостоятельной работы. По каждой теме предлагаются задачи для разбора и решения их в аудитории, а также задачи для самостоятельного решения. Ко всем задачам приведены ответы. В заключении приведен тренировочный тест для проверки знаний учащихся по данной теме. Рекомендовано к изданию и публикации на электронном носителе для включения в информационные ресурсы университета согласно лицензионному договору Учебно-методическим советом ФГБОУ ВО СПбГАУ, протокол № 01 от «28» октября 2022 г. © Косякова Л.Н., 2023 © ФГБОУ ВО СПбГАУ, 2023
ОГЛАВЛЕНИЕ ПРЕДИСЛОВИЕ .............................................................................................................................. 5 ВВЕДЕНИЕ ....................................................................................................................................... 8 Глава 1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ ................................... 10 1.1. Геометрический вектор ....................................................................................................... 10 1.1.1. Основные понятия ........................................................................................................... 10 1.1.2. Операции над векторами в геометрической форме ..................................................... 11 Сложение векторов ................................................................................................................. 11 Вычитание векторов ............................................................................................................... 12 Произведение вектора на число ............................................................................................ 13 Проекция вектора на ось ........................................................................................................ 14 1.2. Координатно-векторный аппарат ....................................................................................... 15 1.2.1. Метод координат ............................................................................................................. 15 Линейная комбинация векторов. Линейная зависимость ................................................... 15 и независимость векторов. Базис .......................................................................................... 15 Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам. .................................................. 16 Базис на плоскости ................................................................................................................. 16 Разложение вектора по трем некомпланарным векторам. ................................................. 18 Базис в пространстве .............................................................................................................. 18 1.2.2. Длина вектора. Направляющие косинусы .................................................................... 20 1.2.3. Операции над векторами в координатной форме......................................................... 21 1.2.4. Деление отрезка в заданном отношении ....................................................................... 22 1.3. Скалярное произведение векторов ..................................................................................... 23 1.3.1. Основные понятия ........................................................................................................... 23 1.3.2. Основные свойства скалярного произведения векторов ............................................. 24 1.3.3. Скалярное произведение векторов, заданных координатами ..................................... 24 1.3.4. Практическое применение скалярного произведения векторов ................................. 25 Угол между векторами ........................................................................................................... 25 Проекция вектора на заданное направление ........................................................................ 25 Работа постоянной силы ........................................................................................................ 26 1.4. Векторное произведение векторов ..................................................................................... 26 1.4.1. Геометрическая ориентация упорядоченной тройки некомпланарных векторов .... 26 1.4.2. Понятие векторного произведения векторов ................................................................ 27 1.4.3. Основные свойства векторного произведения векторов ............................................. 27 1.4.4. Практическое применение векторного произведения векторов ................................. 28 3
Площадь параллелограмма .................................................................................................... 28 Площадь треугольника ............................................................................................................. 28 Момент силы.……….………………………………………………………………………...28 1.5. Смешанное произведение векторов ................................................................................... 29 1.5.1. Понятие смешанного произведения векторов ......................................................... 29 1.5.2. Основные свойства смешанного произведения векторов ...................................... 29 1.5.3. Практическое применение смешанного произведения векторов .......................... 30 Взаимная ориентация векторов в пространстве .................................................................. 30 Объем параллелепипеда ......................................................................................................... 30 Объем тетраэдра (треугольной пирамиды) .......................................................................... 30 Глава 2. РЕШЕНИЕ ОПОРНЫХ ЗАДАЧ ................................................................................. 31 Глава 3. ЗАДАЧИ ДЛЯ РЕШЕНИЯ НА ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЯХ ......................... 47 Глава 4. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ........................................... 50 4.1. Вектор. Операции над векторами в геометрической форме ............................................ 50 4.2. Координаты вектора............................................................................................................. 50 4.2.1. Базовые задания ......................................................................................................... 50 4.2.2. Задания ........................................................................................................................ 52 4.3. Скалярное произведение векторов ..................................................................................... 53 4.3.1. Базовые задания ......................................................................................................... 53 4.3.2. Задания ........................................................................................................................ 54 4.4. Векторное произведение векторов ..................................................................................... 57 4.4.1. Базовые задания ......................................................................................................... 57 4.4.2. Задания ........................................................................................................................ 57 4.5. Смешанное произведение векторов ................................................................................... 59 4.5.1. Базовые задания ......................................................................................................... 59 4.5.2. Задания ........................................................................................................................ 59 Глава 5. ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ .... 61 Глава 6. ТЕСТЫ ............................................................................................................................. 62 Глава 7. ПАМЯТКА ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ .... 83 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ............................................................................................................ 88 4
ПРЕДИСЛОВИЕ Чтобы переварить знания, надо поглощать их с аппетитом. А. Франц Математика - это фундаментальная наука, методы которой активно применяются во многих естественных дисциплинах. Сама по себе эта область знаний оперирует абстрактными отношениями и взаимосвязями, то есть такими сущностями, которые сами по себе не являются чем-то вещественным. Математика - инструмент познания мира. Она представляет из себя науку точную, не терпящую произвола в толковании и различных спекуляций. Это воплощение порядка и жесткой логики. Она помогает понять мир вокруг нас, узнать больше о его законах, так как эти законы подчинены тому же самому порядку, что царит в математике! Эйнштейн в ответ на вопрос, где находится его лаборатория, улыбнулся и указал на карандаш и бумажный лист. Его формулы теории относительности стали важным этапом на пути познания вселенной, в которой мы живем. И это произошло до того, как человек начал осваивать космос и только тогда экспериментально подтвердил правильность уравнений великого ученого! Математика позволяет развить некоторые важные умственные качества. Это аналитические, дедуктивные (способность к обобщению), критические, прогностические (умение прогнозировать, мыслить на несколько шагов вперед) способности. Эта дисциплина улучшает возможности абстрактного мышления, способность концентрироваться, тренирует память и усиливает быстроту мышления. Математика помогает человеку развить следующие интеллектуальные способности: Умение обобщать. Рассматривать частное событие в качестве проявления общего порядка. Умение находить роль частного в общем. Способность к анализу сложных жизненных ситуаций, возможность принимать правильное решение проблем и определяться в условиях трудного выбора. Умение находить закономерности. Умение логически мыслить и рассуждать, грамотно и четко формулировать мысли, делать верные логические выводы. Способность быстро соображать и принимать решения. Навык планирования наперед, способность удерживать в голове несколько последовательных шагов. Навыки концептуального и абстрактного мышления: умение последовательно и логично выстраивать сложные концепции или операции и удерживать их в уме. 5
Математика организует, упорядочивает и оптимизирует мышление. Великий ученый Ломоносов говорил: «Математику только затем учить надо, что она ум в порядок приводит». Математика тренирует такие умственные качества, которые формируют каркас и скелет всего вашего мышления! Это, в первую очередь, логические способности. Это все то, что организует все ваши мысли в связанную систему понятий, представлений и связей между ними. Так что это не только расчеты и формулы, это, прежде всего, логика и упорядоченность! Это набор правил и функций, которые делают ваше мышление последовательным и логичным. Это отражается на вашем умении рассуждать, формулировать мысли, удерживать в голове сложные концепции и выстраивать витиеватые взаимосвязи. Многие блестящие руководители, менеджеры, юристы помимо базового образования получают физико-математическое. Это помогает им, подобно хорошим шахматистам, выстраивать сложные комбинации вариантов защиты в суде, изобретать ловкие способы взаимодействия с законодательной базой, придумывать всякие хитроумные и нетривиальные решения. Конечно, получать специально профильное образование по математике вовсе необязательно, даже избыточно, если вы не собираетесь работать в этой области. Но освоить эту дисциплину на базовом уровне школьного образования и начальных курсов ВУЗа должен и способен каждый. Не стоит думать, что вам от природы это не дано, что ваше призвание - это гуманитарные науки и точные предметы вы учить не в состоянии. Когда кто-то говорит, что у него гуманитарный склад ума и поэтому считать, читать формулы и решать задачи он не может в принципе, как бы не хотел, то знайте, что это такая изящная попытка оправдать факт отсутствия развитости математических способностей. Не их отсутствия! А только того, что эти навыки по каким-то причинам не получили должного развития. Ум человека - вещь универсальная, предназначенная для решения самых разных задач. Конечно, это утверждение имеет свои пределы: каждый в силу особенностей своих врожденных и приобретенных свойств мышления имеет определенные склонности к освоению разных наук. К тому же специализация чаще всего требует знания чего-то одного: сложно быть и отличным математиком, химиком, адвокатом, педагогом в одном (не все мы Ломоносовы). Всегда придется из чего-то выбирать. Но базовыми навыками математического мышления способен овладеть каждый! Для кого-то это просто будет сложнее, для кого-то легче. Но это под силу всем и нужно для сбалансированного развития вашего ума. Из того, что вам интересны, например, литература или психология, не следует, что математика вам не нужна, и вы просто от природы не способны ей хоть как-то овладеть! Одно другого не исключает, а напротив, гармонично дополняет. «Гуманитарный склад ума» в контексте невозможности овладения точными науками - это просто один большущий нонсенс и попытка оправдать нежелание овладеть теми навыками, которые даются с большим трудом, чем другие. 6
Может быть, та профессия, которую вы рассматриваете в качестве своего будущего призвания, не будет связана с расчетами, формулами, информатикой или аналитикой. Или вы не используете этого в своей нынешней работе. Но все равно, это вовсе не значит, что так будет всегда. Быть может, вы захотите сменить профессию. Или вам так надоест наемная работа, что вы решите организовать собственный бизнес (а такое случается весьма нередко). Организация самостоятельного предприятия всегда требует расчетов, прогнозирования и анализа. Вы как глава нового бизнеса должны будете владеть соответствующими навыками, не все возможно делегировать наемным сотрудникам, - а их работа в любом случае нуждается в контроле. Без поддержки в виде математических методов прогнозирования, моделирования и анализа успеха в организации собственного дела достичь сложно. Исходя из статистических данных, можно сказать, что наибольшего успеха в бизнесе добиваются, как правило, выпускники технических, математических вузов. Дело не только в знании каких-то специальных методик расчетов, ведь никогда не поздно это освоить в случае надобности. Ключ в определенной организации ума. Бизнес - это высокоупорядоченная система, построение которой требует от ее создателя определенных интеллектуальных навыков, структурированного мышления, умения обобщать и выводить взаимосвязи. Изучение точных наук, как известно, развивает эти навыки. Итак, математика и другие точные науки очень важны как для развития человечества в целом, так и для интеллектуального совершенствования конкретного индивида. Конечно, сбалансированное умственное развитие личности подразумевает освоение не только точных предметов, но и гуманитарных дисциплин. Чтение качественной литературы, например, также необходимо для вас, если вы хотите развиваться. Но, одного этого недостаточно. Хотелось бы дополнить формулировку известного утверждения: «если хочешь стать умным, нужно много читать», прибавив к этому: «- и заниматься математикой». Иначе эффект от одного лишь чтения книг будет похож на тело без скелета или здание без каркаса. Одному без другого сложно. Именно поэтому многие гуманитарии, как бы хорошо они ни разбирались в своей предметной области, страдают спутанностью мышления и отсутствием трезвой рассудительности, а многие заядлые математики и технари замыкаются в мире абстрактных формул и расчетов, теряя связь с реальным миром. Золотое правило - все хорошо в меру, удел гармонично развитого ума, универсальность на самом базовом уровне! Все вместе: и книги, и математика! 7
ВВЕДЕНИЕ Я ничего не понимала в математике, поэтому мне пришлось думать. Джоан Робинсон Фундамент математического образования в высшей школе составляют четыре основных раздела математики: линейная и векторная алгебра, аналитическая геометрия и математический анализ. В данном пособии рассмотрен один из основных разделов учебной дисциплины «Математика», в котором изучаются свойства операций над векторами. В нем изложены основные понятия векторной алгебры, подробно разобраны многочисленные примеры, даны задачи для самостоятельного решения. Целью учебного пособия является помощь студентам самостоятельно или с помощью преподавателя овладеть методами решения задач векторной алгебры. В пособии подробно представлены основные теоретические сведения и необходимые формулы. Внимание уделено как решению типовых задач по данной тематике, так и примерам для самостоятельной работы. По каждой теме предлагаются задачи для разбора и решения их в аудитории, а также задачи для самостоятельного решения. Ко всем задачам приведены ответы. В заключении приведен тренировочный тест для проверки знаний учащихся по данной теме. Векторы имеют широкое применение в различных разделах математики, например, в элементарной, аналитической и дифференциальной геометрии, в теории поля. Векторная алгебра широко используется во многих разделах физики и механики, в кристаллографии, геодезии. Без векторов немыслима не только классическая математика, но и многие другие науки. Пособие имеет своей целью дать дополнительные разъяснения и помочь студентам разобраться в этом важном разделе математики. Цели освоения дисциплины: знакомства студентов с основами аппарата высшей математики для решения теоретических и практических задач; воспитать абстрактное мышление, не привязанное к конкретным условиям и обстоятельствам; развитие логического мышления, умение строить логические цепочки рассуждений, в начале которых стоят не вызывающие сомнений факты и положения, а в конце - правильные выводы; наличие высоких стандартов строгости в доказательстве или обосновании результатов исследований; формирование научного мировоззрения; формирование математических знаний, умений и навыков, необходимых для изучения других общенаучных и специальных дисциплин; формирование личности студента, развитие его интеллекта и умения логически и алгоритмически мыслить; 8
Доступ онлайн
400 ₽
В корзину