Высшая математика

 
 
Е.М. Смирнова  
 
 
 
 
 
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА 
 
 
УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ  
для обучающихся по направлению подготовки  
13.03.02 Электроэнергетика и электротехника, 
  
направленность (профиль) «Электроснабжение» 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
САНКТ-ПЕТЕРБУРГ  
2023
 

МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РФ  
САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ 
УНИВЕРСИТЕТ  
 
Е.М. Смирнова 
 
 
 
 
 
 
 
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА 
 
 
УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ  
для обучающихся по направлению подготовки  
13.03.02 Электроэнергетика и электротехника, 
  
направленность (профиль) «Электроснабжение» 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
САНКТ-ПЕТЕРБУРГ  
2023
 

УДК 51(075.8)
ББК 22.1я7
С 506
Рецензенты:
кандидат экономических наук, доцент СПбГАУ Л.Н. Косякова;
кандидат технических наук, доцент С.И. Чумаков.
Смирнова, Е.М. Высшая математика: учебное пособие / Е. М. Смирнова.
– СПб.: СПбГАУ, 2023. – 90 с.
Учебное пособие предназначено для обучающихся очной формы обучения
по направлению подготовки 13.03.02 Электроэнергетика и электротехника,
направленность (профиль) «Электроснабжение».
Рекомендовано к публикации на электронном носителе для включения в
информационные ресурсы Университета согласно лицензионному договору
Учебно-методическим советом СПбГАУ, протокол № 01 от 28 октября 2022 г.
© Смирнова Е.М., 2023
© ФГБОУ ВО СПбГАУ, 2023

ОГЛАВЛЕНИЕ 
ВВЕДЕНИЕ ....................................................................................................................................... 4 
ГЛАВА 1. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА 
............................................................................................... 5 
1.1. Матрицы 
.................................................................................................................................. 5 
1.2. Определители........................................................................................................................ 10 
1.3. Решение систем линейных уравнений ............................................................................... 18 
ГЛАВА 2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 
........................................................................ 24 
2.1. Прямоугольная система координат .................................................................................... 24 
2.2. Полярные координаты ......................................................................................................... 25 
2.3. Связь полярных и прямоугольных координат 
................................................................... 26 
2.4. Линии первого порядка ....................................................................................................... 27 
2.5. Линии второго порядка 
........................................................................................................ 32 
ГЛАВА 3. ПРЕДЕЛЫ ФУНКЦИЙ ............................................................................................. 37 
3.1. Определение предела ........................................................................................................... 37 
3.2. Бесконечно малые и бесконечно большие функции 
......................................................... 
38  
3.3. Раскрытие неопределённостей 
............................................................................................ 38 
ГЛАВА 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ  ОДНОЙ 
ПЕРЕМЕННОЙ ......................................................................................................................... 42 
4.1. Определение производной .................................................................................................. 42 
4.2. Дифференцирование элементарных функций 
................................................................... 44 
4.3. Дифференцирование сложной функции ............................................................................ 46 
ГЛАВА 5. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ .............................................................................. 48 
5.1. Определение дифференциала функции.............................................................................. 48 
5.2. Свойства дифференциала функции .................................................................................... 48 
ГЛАВА 6. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ........................................................................ 50 
6.1. Определение первообразной функции и неопределенного интеграла ........................... 50 
6.2. Некоторые приемы интегрирования .................................................................................. 52 
ГЛАВА 7. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 
.............................................................................. 56 
7.1. Определение определенного интеграла ............................................................................. 56 
7.2. Интегрирование по частям .................................................................................................. 58 
ГЛАВА 8. РЯДЫ 
............................................................................................................................. 61 
8.1. Числовые последовательности. Основные понятия ......................................................... 61 
8.2. Понятие числового ряда и его суммы ................................................................................ 62 
8.3. Действия с числовыми рядами 
............................................................................................ 64 
8.4. Необходимое условие сходимости ..................................................................................... 65 
8.5. Понятие функционального и степенного ряда .................................................................. 70 
8.6. Виды степенных рядов ........................................................................................................ 71 
ГЛАВА 9. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 
........................ 74 
9.1. Дифференциальные уравнения первого порядка 
.............................................................. 74 
9.2. Некоторые виды дифференциальных уравнений 
.............................................................. 76 
9.3. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными 
коэффициентами 
.......................................................................................................................... 80 
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 
............................................................................................................ 86 
3 

ВВЕДЕНИЕ 
Учебное пособие «Высшая математика» предназначено для обучающихся 
очной формы обучения по направлению подготовки 13.03.02 Электроэнергетика 
и электротехника, направленность (профиль) «Электроснабжение».  
Целью данного пособия является: 
 повышение уровня математической культуры; 
 ознакомление с основами математического аппарата, необходимого 
для решения теоретических и практических задач; 
 развитие логического и алгоритмического мышления, необходимого 
для применения математических методов к решению профессиональных задач. 
Учебное пособие состоит из введения и 9 глав: линейная алгебра, 
аналитическая геометрия, пределы функций, дифференциальное исчисление 
функции одной переменной, дифференциал функции, неопределенный интеграл, 
определенный интеграл, ряды, обыкновенные дифференциальные уравнения. В 
каждой главе учебного пособия рассмотрена теория и решение типовых задач. 
Приведены задания для самостоятельной работы обучающихся и задания для 
решения на практическом занятии.  
Учебное пособие составлено в соответствии с рабочей программой 
дисциплины «Высшая математика». 
Компетенции, приобретаемые обучающимися при изучении дисциплины: 
ОПК-2: Способен применять соответствующий физико-математический 
аппарат, 
методы 
анализа 
и 
моделирования, 
теоретического 
и 
экспериментального исследования при решении профессиональных задач. 
Содержание пособия соответствует действующей программе дисциплины 
и включает ее основные разделы.
4 
 

ГЛАВА 1. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА 
1.1. Матрицы 
Определения 
Матрицы широко используются в линейной алгебре, в дифференциальных 
уравнениях и других разделах математики и физики. 
На самом деле понятие матрицы мы знаем еще со школы, рассмотрим, 
например точку с координатами «икс» и «игрек»: 
. По существу, 
координаты точки 
 записаны в матрицу «один на два». Кстати, вот Вам и 
пример, почему порядок чисел имеет значение: 
 и 
 – это две 
совершенно разные точки плоскости. 
Совокупность чисел, расположенных в виде прямоугольной таблицы из m 
строк и n столбцов, называется матрицей размера mxn. Если m не равно n, то 
такую матрицу называют прямоугольной. Если m = n, то матрица называется 
квадратной.  
Числа, из которых состоит матрица, называются элементами матрицы и 
обозначаются двойными индексами: аij, где i -номер строки, j – номер столбца. 
То есть элементаij находится на пересеченииi -ой строки и  j – ого столбца. 
Например, имеется матрица А размером mxn, то есть Аmxn. Запись такой 
матрицы имеет следующий вид: 
а
а
а
...


n
1
12
11
a
a
a
...
n
2
22
21
 Примером квадратной матрицы может быть матрица 
А = 
.
...
...
...
...










a
a
a
...
mn
m
m
2
1






13
12
11
12
11
b
b
b
 есть пример прямоугольной 
вида: А2 х 2 :
.
а
а
b
b
b
23
22
21
22
21









а
а
 Матрица В2 х 3 :



матрицы. 
Если 
в 
матрице 
один 
столбец 
 или 
одна 
строка 
, то такие матрицы также называют векторами. 
Матрица может состоять и из одного элемента А1х1 : (а11). Допустимы 
записи матриц в виде Аm,n. Например, А5,4 – матрица, состоящая из пяти строк 
и четырёх столбцов. 
Рассмотрим пример матрицы размерностью 2 х 3: 
. 
Данная матрица состоит из шести элементов: 
5 
 

 
Все числа (элементы) внутри матрицы  существуют сами по себе, то есть 
ни о каком вычитании речи не идет: 
 
Это просто таблица (набор) чисел! 
Рассматриваемая матрица имеет две строки: 
 
и три столбца: 
 
 
Действия над матрицами 
Сложение матриц 
Пусть имеются две матрицы одинаковых размеров: матрица Аm x n = (aij) и 
Вmx n = (bij).  
Суммой матриц А и В называется матрица Сm x n = (сij) того же размера, что 
и матрицы А и В.При этом каждый элемент матрицы С определяется следующим 
образом:𝑐𝑖𝑗= 𝑎𝑖𝑗+ 𝑏𝑖𝑗, для любых i = 1,2 … m, j = 1,2…n. Для обозначения 
суммы матриц пишут: С = А + В. Аналогично определяется сумма произвольного 
числа матриц. 
Например. Требуется сложить две заданные матрицы.  
13
11





11
2
10
1
В
А
С
. 




4
3





17
15
13
4
12
3


13
12






11
10
В
. Тогда 














2
1
А
, 






Разностью матриц А и В называется матрица Сm x n = (сij)того же размера, 
что и матрицы А и В. Теперь каждый элемент матрицы С определяется 
следующим образом:𝑐𝑖𝑗= 𝑎𝑖𝑗−𝑏𝑖𝑗, для любых i = 1,2 … m, j = 1,2…n. Для 
обозначения разности матриц пишут : С = А − В. 
Сложение двух одинаковых матриц, например, А+А, равносильно 
умножению матрицы А на число два. Действительно, можно записать А+А = 
=2·А. Следовательно, элементы матрицы 2·А будут являться удвоенными 
значениями всех элементов исходной матрицы А. Пусть имеется матрица А =
 (1
5
3
7). Требуется умножить её на 2, умножаем каждый элемент А на два, 
получим: 2 ∙А = (2 ∙1
2 ∙5
6
14). 
2 ∙3
2 ∙7) = (2
10
Таким образом, можно обобщить: умножение матрицы на любое 
постоянное число К приводит к увеличению всех её элементов в К раз. 
6 
 

Задания 
Задания для работы в классе 
Задания для самостоятельной работы 
1.Вычислить 
сумму 
матриц
1. 
Даны матрицы А = (−4
2
5
8) и В =





82
45
4
35
64
75




(4
−5


1
3 ).  
97
52
47
81
51
97
. 















87
49
37
79
95
85




Определить размеры матриц А и В и найти сумму 
А + В 
1
2
16
2.Вычислить 3А+2В, если 
0
3
−1
)  и В =
2. Даны матрицы А = (
5
1
4




2
1
В
−1
2
5



2
1


4
3






3
2
А






(
).  
9
8
0
.
  
и  найдите размерность новой матрицы 
7
2
−3
Определить их размеры и найти разность А – В 
3. Даны матрицы А = (1
−2




52
47
9
34
28
54




3
−4) и В = (5
0
1
2).  




41
12
15
4
22
10
12
3. 
8
. 














18
16
29
64
24
33




Найти:  
а) А+В; б) 3∙А; в) 2∙А+3∙В;   
г) 5∙(А-В); д) (А+2∙В) + (В-А) 
4. Вычислить 




4
5
24
54
29
47
29
41




4.Даны матрицы А = (3
−5
4
−1) и В =





23
42
16
50
28
46
61
58


(2
6
2
. 
3
3
4).  
 


22
18
20
86
72
16
28
65
Найти матрицу С = 2∙А – 0,5∙В 


























5
74
5
10
7
10
22
28




Произведение матриц 
Пусть имеются две матрицы 𝐴𝑚,𝑝и 𝐵𝑝,𝑛.Произведением матриц 𝐴𝑚,𝑝 и 
𝐵𝑝,𝑛называется матрица 𝐶𝑚,𝑛такая, что 
𝑝
 
𝑐𝑖𝑗= ∑𝑎𝑖𝑘∙𝑏𝑘𝑗
𝑘=1
для любых значений i=1,2…m, j=1,2…n. 
Произведение матриц можно записать без указания размеров С = А·В или 
с указанием размеров матриц𝐶𝑚,𝑛= 𝐴𝑚,𝑝∙𝐵𝑝,𝑛. Умножать можно только 
согласованные матрицы.  
Матрицы 𝐴𝑚,𝑝и 𝐵𝑝,𝑛 называются согласованными, если число столбцов 
матрицы А равно числу строк матрицы В. В приведённой матрице А p столбцов, 
в тоже время матрица В имеет p строк.   
Согласно приведённой выше формуле для 𝑐𝑖𝑗каждый элемент матрицы 
Сесть сумма произведений элементов i – ой строки матрицы А на 
соответствующие элементы j – го столбца матрицы В. 
Пример. Даны две согласованные матрицы: А2,3 и В3,4. Тогда 
произведением этих матриц будет некоторая матрица С, имеющая 2 строки и 4 
столбца. 
7 
 

1
0
4




3
4
5
6
3
2
1
А
, 
В
. Тогда С =А·В=  


6
5
4



Пусть 









5
1
8
2


5
3
3
2
2
1
1
3
4
2
1
1
8
3
5
2
0
1
2
3
6
2
4
1
23
12
34
22























5
6
3
5
2
4
1
6
4
5
1
4
8
6
5
5
0
4
2
6
6
5
4
4





















53
30
73
58











.



 
Матрицы можно возводить в степень, например, в квадрат. При этом 
необходимо помнить, что исходная матрица должна быть обязательно 
квадратной: А2,2, В3,3 и т.д. 
Замечание: 
Обратите 
внимание, 
что АВ≠ВА. 
Таким 
образом, переставлять матрицы в произведении нельзя! 
Транспонирование матриц 
Транспонированной матрицей называется матрица, полученная из 
исходной матрицы путем замены каждой её строки столбцом с тем же номером. 
Если дана матрица А, то транспонированную обозначают АТ.  
a
a
a


13
12
11
a
a
a
Например, пусть дана матрица А = 
.   
23
22
21






a
a
a
33
32
31


a
a
a


31
21
11
a
a
a
Тогда АТ = 
. 
32
22
12






a
a
a
33
23
13


Дана матрица  А4,6, тогда, согласно определению, транспонированная 
Т . 
матрица АТ будет иметь шесть строк и и четыре столбца, то есть можно 
записать так А6,4
Рассмотрим пример: 
Транспонировать матрицу 
 
Сначала переписываем первую строку в первый столбец: 
 
 
Потом переписываем вторую строку во второй столбец: 
8