Модели и методы системного анализа в исследовании операций

МОДЕЛИ И МЕТОДЫ 
СИСТЕМНОГО АНАЛИЗА 
В ИССЛЕДОВАНИИ 
ОПЕРАЦИЙ
УЧЕБНИК
Москва
ИНФРА-М
2025

УДК 519.8(075.8)
ББК 22.185я73
 
М74
Р е ц е н з е н т ы:
Плотников В.А., доктор экономических наук, профессор, профессор кафедры общей экономической теории и истории экономической мысли СанктПетербургского государственного экономического университета;
Назаров Д.М., доктор экономических наук, доцент, заведующий кафедрой 
бизнес-информатики Уральского государственного экономического университета
М74
  
Модели и методы системного анализа в исследовании операций : 
учебник / И.Н. Булгакова, Ю.В. Вертакова, О.А. Медведева [и др.]. — 
Москва : ИНФРА-М, 2025. — 347 с. — (Высшее образование). — 
DOI 10.12737/2049708.
ISBN 978-5-16-018709-9 (print)
ISBN 978-5-16-111627-2 (online)
В учебнике рассматриваются модели и методы исследования операций как прикладные методы для исследования социально-экономических 
процессов и явлений. К этим методам относятся те, которые используют 
аппарат математического программирования, теории расписаний, теории 
управления запасами, теории игр и др. Авторы рассматривают общие вопросы моделирования систем, приводят математический аппарат исследования операций (линейное программирование, симплексный метод, 
целочисленное линейное программирование, сетевые модели, теория игр 
и др.), показывают сферы практического применения методов исследования операций на наглядных примерах. Основной теоретический материал 
сопровождается заданиями для самостоятельной работы, что способствует 
более быстрому и глубокому изучению методов решения задач.
Соответствует требованиям федеральных государственных образовательных стандартов высшего образования последнего поколения.
Предназначен для студентов, обучающихся по направлениям «Прик 
-
ладная математика и информатика», «Бизнес-информатика», «Ме 
-
неджмент», «Экономика», в учебные планы которых входят дисциплины 
«Теория игр и исследование операций», «Модели и методы дискретной 
оптимизации», «Методы и модели в экономике», «Системный анализ», 
« 
Планирование и оптимизация вычислительных процессов». Также будет 
полезен аспирантам, научным работникам кафедр экономико-управленчес 
-
кого профиля, специалистам, участвующим в анализе и моделировании 
развития экономических и социальных объектов.
УДК 519.8(075.8)
ББК 22.185я73
ISBN 978-5-16-018709-9 (print)
ISBN 978-5-16-111627-2 (online)
© Коллектив авторов, 2024

Авторский коллектив
Булгакова Ирина Николаевна, доктор экономических наук, доцент, доцент кафедры системного анализа и управления Воронежского государственного университета;
Вертакова Юлия Владимировна, доктор экономических наук, 
профессор, профессор кафедры менеджмента и информационных 
технологий Курского филиала Финансового университета при 
Правительстве Российской Федерации;
Медведева Ольга Александровна, кандидат физико-математичес 
ких наук, доцент, доцент кафедры вычислительной математики 
и прикладных информационных технологий Воронежского государственного университета;
Медведев Сергей Николаевич, кандидат физико-математических наук, доцент, доцент кафедры вычислительной математики 
и прик 
ладных информационных технологий Воронежского государственного университета;
Чернышова Галина Дмитриевна, кандидат технических наук, доцент, доцент кафедры математических методов исследования операций Воронежского государственного университета. 
3

Предисловие
Вероятно, наилучший способ представить настоящее издание — 
это указать цели, которые преследовались авторами при его написании, и отметить те вопросы, которые не были включены в рассмотрение. Цель данной книги — изложить в доступной широкому 
кругу читателей форме задачи, методологические принципы и рабочие приемы науки исследования операций, имеющей достаточно 
обширное поле приложений. Границы и содержание этой науки 
нельзя считать четко определенными. Предмет под названием «Исследование операций» входит в программу многих высших учебных 
заведений, но далеко не всегда в этот термин вкладывается одно и то 
же содержание. Некоторые авторы под исследованием операций 
понимают главным образом математические методы оптимизации, 
такие как линейное, нелинейное, динамическое программирование. 
Другие, напротив, не включают эти разделы математики в исследование операций, подходя к последнему в основном с позиций теории 
игр и статистических решений. Некоторые склонны вообще отрицать существование исследования операций как самостоятельной 
научной дисциплины, включая его в состав системного анализа.
Во всяком случае несомненно, что в самых разных областях 
практики — организация производства и снабжения, эксплуатация 
транспорта, боевые действия и вооружение, расстановка кадров, 
бытовое обслуживание, здравоохранение, связь, вычислительная 
техника и т.д. — все чаще возникают задачи, сходные между собой 
по постановке, обладающие рядом общих признаков и решаемые 
сходными методами, которые удобно объединять под общим названием «задачи исследования операций».
При написании книги авторы опирались на многолетний опыт 
работы по исследованию операций в различных областях, а также 
на практику проводимых экономических исследований. В итоге 
этого опыта сформировалась определенная система взглядов, которую они и пытались изложить в максимально доступной форме. 
Авторы ставили себе задачу, не делая специального акцента ни на 
одной из практических областей, выделить и подчеркнуть методологические признаки, общие для всех задач исследования операций, где бы они ни возникали. Основное внимание в книге уделено не математическому аппарату (применяемый в книге математический аппарат несложен и не выходит за пределы обычных 
вузовских курсов математики), а методологическому комплексу 
4

системного анализа: постановке задач, выбору математических моделей, осмыслению результатов расчета. 
Учебник предназначен для студентов, обучающихся по направлениям «Прикладная математика и информатика», «Бизнес-информатика», «Менеджмент», «Экономика», в учебные планы которых 
входят дисциплины «Теория игр и исследование операций», «Модели и методы дискретной оптимизации», «Методы и модели в экономике», «Системный анализ», «Планирование и оптимизация 
вычислительных процессов». Также будет полезен аспирантам, научным работникам кафедр экономико-управленческого профиля, 
специалистам, участвующим в анализе и моделировании развития 
экономических и социальных объектов.
Целями дисциплины «Исследование операций» являются подготовка высококвалифицированных специалистов, способных 
на базе полученных знаний развить навыки работы с основными 
принципами построения, применения и анализа математических 
моделей и их использования при разработке конкретных проектов 
в сфере управления организационными системами (производственными, административными и др.). При этом изучение курса 
должно дать будущему специалисту возможность не только увидеть 
с новых позиций возникающие в реальном управлении проблемы, 
но и приобрести знания о методах и процедурах, позволяющих анализировать управленческие ситуации, формировать варианты решений и выбирать оптимальные для данных конкретных условий.
Задачи дисциплины:
 
• развитие логико-математического мышления;
 
• формирование комплексных знаний и практических навыков 
о моделях и методах системного анализа, используемых в задачах исследования операций;
 
• изучение основных классов математических моделей и прикладных задач, для формализации которых данные модели используются;
 
• обучение студентов основам современных технологий математического моделирования экстремальных задач;
 
• формирование у обучающихся навыков оценки качества и адекватности разрабатываемых математических моделей в области 
профессио 
нальной деятельности.
В результате изучения дисциплины «Исследование операций» 
студенты должны:
 
• знать содержание предмета, его методологию, связь с другими 
дисциплинами; основные методы построения моделей при5

кладных задач, основные методы решения; смысл и формулировки основных типов задач исследования операций, различные 
подходы к построению моделей дискретной оптимизации, сетевого планирования, теории игр и статистических решений;
 
• уметь описать исследуемую ситуацию, определить цель исследуемой системы и влияющие на нее параметры, классифицировать задачу и подобрать соответствующие методы ее решения, 
построить и оценить качество математической модели задачи, 
разработать алгоритмы решения предлагаемых моделей;
 
• владеть методологией системного подхода в научных исследованиях; навыками практического применения полученных знаний; 
методами применения системного подхода для анализа полученных результатов; навыками самостоятельной работы и самоорганизации.
Книга состоит из 11 глав. Первая глава посвящена понятию модели и моделированию как методу исследования. Изучение второй 
главы дает общее представление о методологии системного анализа 
и ее связи с дисциплиной «Исследование операций».
В последующих главах рассматриваются модели и методы системного анализа в исследовании операций: линейное программирование и специальные виды задач линейного программирования, 
задачи дискретного программирования и способы их решения, 
задачи в сетевой постановке, проблемы построения оптимального 
расписания, управления запасами, вопросы сетевого планирования 
и управления, теоретико-игровое моделирование.
Усвоение материала контролируется с помощью завершающих 
каждую главу контрольных вопросов, что способствует закреплению теоретических знаний. Навыки использования моделей 
и методов системного анализа в исследовании операций при решении прикладных задач можно получить при выполнении практических заданий.
Авторы отдают себе отчет в том, что предлагаемая читателям 
книга не свободна от недостатков. Любая конструктивная критика 
будет воспринята с благодарностью.
Авторам хотелось бы выразить большую признательность и благодарность своим учителям и коллегам, своим первым научным наставникам — к.т.н., доценту Краснеру Н.Я. (1924–1999 гг.) и к.т.н., 
доценту Чернышовой Г.Д. (1943–2019 гг.), благодаря которым была 
выстроена методологическая концепция изложения материала, 
формализованы алгоритмы решения отдельных задач, подобраны 
иллюстративные примеры.
6

Глава 1. 
МОДЕЛИ И МОДЕЛИРОВАНИЕ
1.1. МОДЕЛИРОВАНИЕ КАК МЕТОД ИССЛЕДОВАНИЯ
Модель и моделирование — универсальные понятия, ат 
рибуты 
одного из наиболее мощных методов познания в лю 
бой профессиональной области, познания систем, процессов, явлений. Модель 
и моделирование объединяют специалистов различных областей, 
работающих над решением междисци 
плинарных проблем.
Под моделированием в широком смысле принято пони 
мать 
процесс построения, изучения и совершенствования мо 
делей, 
их использование в научных исследованиях (теорети 
ческих и экспериментальных), применение моделей непо 
средственно в процессах планирования, управления, оптими 
зации, прогнозирования, 
контроля и т.д.
Необходимость использования метода моделирования определяется тем, что многие объекты (или проблемы, относящиеся 
к этим объектам) непосредственно исследовать или вовсе невозможно, или же это исследование требует слишком высоких затрат 
времени и средств (рис. 1.1).
Моделирование как инструмент познания требует твор 
ческого 
подхода и определенного искусства владения им. С другой стороны, моделирование как наука опирается на научные знания 
той области, где этот инструмент познания используется. Только 
глубокие профессио 
нальные знания исследова 
теля в сочетании 
с творческим подходом к решаемой про 
блеме могут быть основой 
для успешного применения метода моделирования. Сам процесс 
моделирования предполагает такой способ изучения объекта, 
при котором модель с точки зрения цели исследования вполне 
точно (адекватно) и доста 
точно полно замещает изучаемый объект 
в процессе познава 
тельной деятельности.
Моделирование относится к общенаучным методам по 
знания. 
Использование моделирования на эмпирическом и теоретическом 
уровнях исследования по своей сущности приводит к условному 
делению моделирования на материальное (физиче 
ское) моделирование, теоретическое (абстрактное) и идеаль 
ное.
Материальное моделирование — это моделирование, при котором исследование объекта выполняется с использо 
ванием его 
7

материального аналога, воспроизводящего ос 
новные физические, 
геометрические, динамические и функ 
цио 
нальные характеристики 
исследуемого объекта.
Ситуации, требующие применения моделирования
Объект недоступен для непосредственного исследования
Уникальный или дорогостоящий объект разрушится 
вследствие исследования 
Исследование на реальном объекте дорого, трудоемко
или опасно
Исследование на реальном объекте займет неприемлемо 
длительное время
Реальный объект не существует: изучается возможность 
и целесообразность его создания
Рис. 1.1. Причины использования моделирования как метода исследования
В качестве материального аналога могут выступать уменьшенная или увеличенная копия (макет) исходного объекта (прототипа) или объект (процесс, явление), имеющий другую физическую 
природу, но схожее формальное описание. В связи с этим выделяют 
натурное и аналоговое моделирование.
Примерами натурных физических моделей являются макеты робототехнических систем, военные учения, аэродинамическая труба, 
тестовые ма 
кеты автомобилей и многое другое. А, например, колебания электромеханических систем можно смоделировать колебаниями электрических цепей.
Главным и неоспоримым достоинством материального моделирования является высокая достоверность полученных результатов. 
Из недостатков можно выделить: 
 
• высокую стоимость составления, конструирования, эксплуатации модели;
8

 
• высокие временны
 е затраты для составления, конструирования, 
эксплуатации модели;
 
• сложность оперативной доработки модели при необходимости.
Теоретическое (абстрактное, информационное) моделирование — моделирование, использующее в качестве мо 
делей 
знаковые изображения какого-либо вида: схемы, гра 
фики, чертежи, иероглифы, наборы символов, включающие в себя и совокупность правил оперирования этими знаковыми образованиями 
и конструкциями.
Примеры теоретических моделей:
 
• модели сообщений: коды, шифры, сигналы;
 
• модели процессов и объ 
ектов: математические уравнения, неравенства, выражения, функции;
 
• модели деталей, конструкций: графические и компьютерные 
чертежи;
 
• модель качеств человека: характеристика, образ личности;
 
• модель выполнения действий: любые алгоритмические языки 
и языки программиро 
вания;
 
• модель поверхности Земли: карты, глобус и т.д.
Математическое моделирование — это частный случай теоретического моде 
лирования, при котором описание объекта осуществляется на языке математики, а исследования модели проводятся 
с ис 
пользованием тех или иных математических методов.
В настоящее время это один из самых результативных и наиболее часто применяемых методов научного познания.
Основными преимуществами математического моделирования 
являются:
 
• экономичность, так как сохраняются ресурсы реального прототипа, нет затрат на создание натурной модели;
 
• возможность моделирования гипотетических, т.е. «неприродных» свойств, объектов, явлений;
 
• возможность моделирования режимов, опасных для жизни исследователя ситуаций или ситуаций, трудновоспроизводимых 
в реальном мире;
 
• возможность управления временем;
 
• наличие универсального технического и программного обеспечения, пакетов прикладных программ;
 
• возможность прогнозирования и выявления общих закономерностей.
Примерами математического моделирования являются расчет 
трафика дорожного движения при проектировании дорог и развязок, расчет траекторий космических аппаратов, расчет на9

грузок узлов строительных конструкций при разных условиях, 
прогнозиро 
вание погодных явлений, расчет и проектирование деталей, узлов, машин и устройств любой сложности, моделирование 
процессов в экономике, химии, биологии и многое другое.
Идеальное моделирование — это моделирование, при котором 
исследование объекта выполняется с использовани 
ем мыслимого 
аналога, воспроизводящего требуемые харак 
теристики и свойства 
исследуемого объекта.
Примерами идеальных моделей являются геометриче 
ская точка, 
математический маятник, идеальный газ, беско 
нечность и др.
С развитием вычислительной техники появился новый способ 
моделирования, включающий в себя элемен 
ты и материального, 
и теоретического, и идеального моделирования — компьютерное 
моделирование. Такое моделирование дало возможность проводить 
вычислительный эксперимент с целью анализа, интерпретации, сопоставления результатов моделирования с прототипом.
1.2. ПОНЯТИЕ МОДЕЛИ
Существует достаточно большое число определений понятия 
«модель». Одни из них слишком абстрактны, дру 
гие слишком конкретны. Но все они отражают ту или иную сторону этого многогранного понятия.
Модель — это упрощенное представление другого объ 
екта 
или процесса.
Модель — форма представления и существования наших знаний.
Модель — как аналог (образец) будущего изделия.
Модель — как аналог реального объекта.
В дальнейшем будем придерживаться следующего определения понятия модели, которое является более узким и более 
конкретным.
Объект М является в определенных условиях моделью системы S 
(объекта, процесса, явления, ситуации), если модель М имитирует 
(воспроизводит) требуемые характери 
стики (свойства, признаки) 
системы S.
Таким образом, модель и исходная система эквивалент 
ны относительно множества воспроизводимых характеристик, в то время 
как полное множество характеристик самой си 
стемы, как правило, 
значительно шире подмножества харак 
теристик, воспроизводимых 
моделью.
Структура модели — это упорядоченное множество элемен 
тов 
и их отношений.
10