Методы теории оптимального управления в проектировании технических систем

Московский государственный технический университет 
имени Н.Э. Баумана 
И.К. Романова 
Методы теории оптимального управления  
в проектировании технических систем 
Учебное пособие 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 

УДК 62-52+629.7(075.8) 
ББК 32.965+39.52 
 
Р69 
Издание доступно в электронном виде на портале ebooks.bmstu.ru 
по адресу: http://ebooks.bmstu.ru/catalog/190/book1609.html 
Факультет «Специальное машиностроение» 
Кафедра «Специальная робототехника и мехатроника» 
Рекомендовано Редакционно-издательским советом  
МГТУ им. Н.Э. Баумана в качестве учебного пособия 
 
Романова, И. К. 
Р69  
Методы теории оптимального управления в проектирова- 
  
нии технических систем : учебное пособие / И. К. Романо- 
  
ва. — Москва : Издательство МГТУ им. Н. Э. Баумана,  
  
2017. — 150, [2] с. : ил.  
ISBN 978-5-7038-4622-3 
Изложены теоретические основы оптимального проектирования систем управления техническими объектами. Рассмотрены задачи в рамках терминального и следящего управлений. Показаны 
общематематические подходы к проектированию оптимальных систем управления, в том числе с учетом ограничений на управляющие воздействия. Приведены методы теории оптимального управления, используемые в проектировании технических систем. Теоретические подходы изложены в форме, позволяющей полностью 
применить их на практике при проектировании технических систем. 
Для студентов, изучающих курс «Управление в технических 
системах». 
 
  УДК 62-52+629.7(075.8) 
 
  ББК 32.965+39.52 
 
 
 
 
© МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2017 
 
© Оформление. Издательство  
ISBN 978-5-7038-4622-3 
 
МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2017 
2 

Предисловие 
Актуальность поиска оптимальных решений в любых отраслях 
человеческой деятельности является весьма очевидной. Принятие 
оптимальных решений применительно к техническим задачам является одним из основополагающих требований, без выполнения 
которых невозможно современное проектирование.  
Сегодня существует мощный теоретический и прикладной аппарат для решения задач оптимизации в общематематической постановке. Однако эффективность применения такого аппарата не 
всегда соответствует сложным задачам управления. Выбор математической модели, метода оптимизации, начальных условий, ограничений — все это в совокупности может привести к большим трудностям и ресурсоемкости решения. Поэтому более оправданным 
является сочетание общематематических методов со специальной 
теорией оптимального управления. Невозможно переоценить не 
только практическое, но и методологическое значение математической теории оптимальных процессов управления, поскольку она 
дает единую методологию решения широкого круга задач оптимального проектирования и управления. Поэтому знание основ 
теории оптимального управления необходимо всем без исключения инженерам — разработчикам технических систем.  
Знание методов оптимального проектирования практически 
важно для разработчиков управляемых систем (в том числе объектов вооружения), помимо этого позволяет решать познавательные 
задачи и расширяет общий кругозор.  
Необходимые для применения теории оптимального управления математические модели объектов подробно рассматривались в 
пособиях автора.  
Целью учебного пособия является расширение, углубление и 
улучшение освоения знаний теоретических основ проектирования, 
приобретение студентами умений и навыков в области оптимального проектирования стрелково-пушечного, артиллерийского и 
ракетного оружия.  
3 

Ожидаемые результаты после освоения материала пособия 
связаны с достижением следующих компетенций в соответствии с 
ФГОС по направлению подготовки специалиста 170400 «Стрелковo-пушечное, артиллерийское и ракетное оружие»: умение при 
проектировании стрелковo-пушечного, артиллерийского и стрелкового оружия использовать компьютерные и информационные 
технологии; знание методов проектирования, основ и особенностей проектирования стрелково-пушечного, артиллерийского и 
ракетного оружия; владение методами формирования технических 
заданий на проектирование ракетного и ствольного оружия; владение методами автоматизированного и вероятностно-статистического проектирования образцов вооружения; способность разрабатывать задания на проектирование и требования к системам высокоточного оружия (СВТО). 
В первой главе рассмотрены общие аспекты управления техническими системами, отмечены особенности моделей состояния 
и наблюдения систем. Представлена классификация терминального и следящего управления, актуальная для задачи управляемого 
полета.  
Во второй главе показаны общематематические подходы к задаче поиска оптимального решения для управляемой системы. Изложены основные положения теории экстремумов, дана классификация методов оптимизации. Раскрыты особенности подходов к 
оптимизации функции многих переменных в задачах управления.  
В третьей главе изложены методы теории оптимального 
управления. Формулировки и решения оптимизационных задач, 
помимо общих подходов, учитывают особенности изучаемых 
объектов управления — летательных аппаратов (ЛА). Дана общая схема оптимизируемой системы в виде контура терминального управления и следящего контура, которая характерна для 
задачи управляемого полета ЛА. Показана возможность использования общих методов теории оптимального управления при 
синтезе изучаемых систем. 
В четвертой главе рассмотрено оптимальное управление в стохастических системах. Представлена общая постановка задачи 
наблюдения динамических систем при наличии возмущающих 
воздействий и ошибок измерения, а также проблема робастности и 
синтез оптимальных робастных систем управления.  
4 

Следует отметить, что в пособии приведены подробные описания используемого математического аппарата, однако сохраняется 
направленность на освоение теоретических методов с последующим применением на практике, поскольку все изучаемые методы 
могут быть реализованы применительно к проектированию систем 
управления по направлению подготовки 170400.  
Пособие может быть использовано студентами для самостоятельной работы в рамках курса «Управление в технических системах» и специальных курсов, связанных с проектированием систем 
стрелково-пушечного, артиллерийского и ракетного оружия. Также оно будет полезно для инженеров — разработчиков таких систем, позволив им более глубоко понимать теоретическую основу 
методов проектирования систем специального назначения.  
5 

1. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ 
ТЕОРИИ И ПРАКТИКИ ИССЛЕДОВАНИЯ 
СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ 
1.1. Обозначения и основные определения 
Введем следующие основные понятия и определения, используемые для описания систем управления. 
Управление — главная задача достижения требуемого результата с помощью соответствующих средств или действий. 
Объект управления — объект, которым необходимо управлять. 
В нашем случае это чаще всего летательный аппарат (ЛА). 
Контроллер — процессор или, в более общем случае, блок, который реализует управление. 
Система управления — объединенная система из объекта 
управления и блока управления. 
Вектор входных воздействий — переменные воздействия, которые действуют на систему извне. В соответствии с определением системы управления уточним понятие этого вектора. Он формируется контроллером, поэтому является входом для объекта 
управления, но в то же время является выходом контроллера. Переходя к физическим представлениям, отметим, что выход блока 
управления может принимать форму силы или момента (или обе 
формы сразу), приложенных к ЛА. Часто контроллер генерирует 
только электрические (или механические) сигналы, которые передаются через провода (кабели, гидравлические линии) и далее 
преобразуются в физические входы для объекта управления с 
помощью специальной подсистемы, называемой силовым приводом. Также блоки управления (контроллеры) обычно требуют 
измерения выходных переменных объекта управления. Когда измерение переменных включается в процесс управления, динамику процесса измерения необходимо моделировать в виде отдельной подсистемы, называемой датчиком. В сложной системе, ко6 

торой является, например, ЛА, обычно используется много датчиков и усилителей, так что имеются и скалярные, и векторные 
переменные измерений и входных управляющих воздействий. 
Датчики, усилители и приводы можно моделировать как часть 
объекта управления или как часть контроллера. Далее их включают в модель объекта. 
Вектор выходных переменных — ряд переменных, которые 
формируются внутри системы и могут быть измерены. 
Задача моделирования заключается в получении соотношений 
между векторами входа и выхода. Эти соотношения обычно имеют 
форму системы дифференциальных и алгебраических уравнений, 
если функционирование системы определяется известными физическими законами. 
Детерминированная система функционирует по известным 
физическим законам. 
Недетерминированная (стохастическая) система функционирует по неизвестным (или частично известным) физическим 
законам. 
Возмущающие входные воздействия — нежелательные внешние входные переменные. Они не могут быть промоделированы 
физически и оцениваются как стохастические возмущения. 
Рассматривают два типа возмущающих воздействий: шум 
процесса, который возникает либо вследствие нежелательных 
входных воздействий, либо вследствие неопределенности в моделировании систем; шум измерений, происходящий вследствие неопределенностей в измерении вектора выхода. Наличие этих 
внешних и внутренних несовершенств делает все практические 
системы стохастическими. 
Состояние системы — в заданный момент времени определяется рядом скалярных переменных, называемых переменными состояния, или в векторной форме — вектором состояния. 
Пространство состояний — векторное пространство, в котором может находиться вектор состояний. 
Хотя размерность пространства состояний (т. е. порядок 
системы) является строго определенной, любая заданная система 
может быть описана бесконечным множеством альтернативных 
представлений в пространстве состояний. Например, состояние 
движения ЛА может быть описано радиус-вектором положе7 

ния ( ),
t
r
 скорости ( ),
t
v
 угловой скорости 
( )
t
ω
 и углового положения 
( )
t
ξ
 относительно выбранной системы координат. Тогда 
вектор состояния движения ЛА будет 
Т
( )
[ ( ),
( ),
( ), ( )] .

t
t
t
t
t
x
r
v
ω
ξ
 
Однако ( )
t
x
может быть преобразован в любое число различных 
векторов состояния в зависимости от выбора системы координат. 
Далее приведем векторные уравнения состояния системы, которые математически выражают введенные основные определения. Переменные, которые используются в этих уравнениях, сведены в таблицу. 
Переменные системы управления 
Символ 
Переменная 
Размерность 
( )
t
u
 
Входной вектор управления 
m1 
ˆ( )
t
u
 
Оптимальный входной вектор управления 
m1 
( )
t
w
 
Вектор шума измерения 
l1 
( )
t
x
 
Вектор состояния 
n1 
ˆ( )
t
x
 
Оптимальный вектор состояния 
n1 
( )
t
y
 
Выходной вектор 
l1 
( )
t
z
 
Вектор состояния для приращения 
q1 
( )
t
v
 
Вектор шума процесса 
p1 
 
Для представления векторов приняты следующие обозначения: 
i — единичный вектор, соответствующий оси Оx; 

i
j
k  — правая тройка единичных векторов; 
  
 
 
 
 
 
 
x
y
z
a
a
a



a
i
j
k   
(1.1) 
— представление вектора в проекциях на систему осей Оxyz; 
x
a
 
  
 
y
a
a
a
z










— альтернативная запись (1.1); 
8 

x
x
y
a
  
 
y




 
z
z
da
dt
a
da
a
dt
a
da
dt






























— производная вектора по времени — вектор производных компонент; 
( )


a
b
S a b  — векторное произведение двух векторов a, b, 
где ( )
S a  — кососимметричная матрица компонент a, 
z
y
z
x
0
( ) 
0
;
0
a
a
a
a
a
a
S a
 
y
x












  
2
2
2
x
y
x
a
a
a



a
  
(1.2) 
— эвклидиан, или эвклидова норма, или норма по основанию 2, 
вектора 
Т
 
(
,
,
) .

x
y
z
a
a
a
a
 
Проектирование систем управления требует точной математической модели объекта управления. Обычно объект моделируется 
с помощью нелинейных дифференциальных уравнений, которые 
во многих случаях могут быть представлены в виде системы 
обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, 
называемых уравнениями состояния. Например:  
  
 [ ( ), ( ), ( ), ],
d
t
t
t
t
dt 
x
f x
u
v
 
(1.3) 
где t — время; ( )
t
x
 — вектор состояния размерности (n1); ( )
t
u
 — 
входной вектор управления размерности (m1); 
( )
t
v
 — вектор шума процесса размерности (p1); n — размерность вектора состояния, 
также является порядком системы.  
Предполагается, что нелинейная векторная функция f(.), стоящая в правой части (1.3), имеет частные производные по x(t), u(t), 
( )
t
v
 в окрестности вектора 
( ).
d t
x
 Этот вектор представляет собой 
частное решение уравнения состояния (1.3), соответствующее номинальной траектории. 
9 

Номинальная траектория обычно удовлетворяет уравнению (1.3) для невынужденного случая (свободного движения без 
воздействия каких-либо внешних сил), т. е. для u(t) = 0, v(t) = 0: 
  
 [
( ), , , ],
,
d
d
i
f
d
t
t
t
t
t
dt 

x
f x
0 0
 
(1.4) 
где 
i
f
t
t
t

 — это интервал управления с начальным временем 
движения i
t  и конечным временем 
.
f
t
 
Уравнение выхода для соответствующего вектора выхода y(t) 
определяется вектором состояния x(t), входным вектором управления u(t) и вектором шума измерений w(t): 
  
( ) 
 [ ( ), ( ), ( ), ],
t
t
t
t
t

y
h x
u
w
 
(1.5) 
где (.)
h
 — векторная функция. 
Вектор шума 
( )
t
w
 обычно имеет такую же размерность, как и 
вектор выхода y(t). 
Наиболее общей задачей системы управления является приведение объекта управления к желаемому состоянию при наличии 
возмущений, что может быть достигнуто с помощью или разомкнутой, или замкнутой системы управления. В разомкнутой системе управления контроллер не имеет информации о действительном состоянии объекта управления в заданное время, и управление 
выполняется на основе модели динамики объекта, а также на основе оценки его состояния в предшествующий момент времени, 
называемой начальными условиями. Очевидно, такая реализация 
управления может быть успешной с точки зрения приведения объекта к желаемому состоянию тогда и только тогда, когда модель 
объекта точная и отсутствуют внешние возмущения, что вряд ли 
возможно на практике. Поэтому замкнутые системы управления 
являются более практичной альтернативой, при этом действительное состояние объекта передается контроллеру через обратную 
связь, так что управляющий вход 
( )
t
u
 может быть соответствующим образом скорректирован. На практике обратная связь состоит 
из измерений вектора выхода y(t), через который может быть получена оценка состояния объекта управления для использования в 
контроллере. Если обратная связь удаляется, система управления 
становится разомкнутой. 
10