Компьютерные технологии в практике математического моделирования. Часть 2

Московский государственный технический университет
имени  Н.Э. Баумана
В.М. ГРАДОВ
 КОМПЬЮТЕРНЫЕ ТЕХНОЛОГИИ
В ПРАКТИКЕ МАТЕМАТИЧЕСКОГО
 МОДЕЛИРОВАНИЯ
Часть 2
Рекомендовано редсоветом МГТУ им. Н.Э. Баумана
в качестве учебного пособия
М о с к в а
Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана
2 0 0 6

УДК 518.12
ББК  22.193
          Г75
Рецензенты:  В.П. Бородько, А.М. Зимин
Г75
Градов В.М.
Компьютерные технологии в практике математического
моделирования: Учеб. пособие. – Ч. 2. – М.: Изд-во МГТУ
им. Н.Э. Баумана, 2006. – 48 с.: ил.
ISBN 5-7038-2918-6
Рассмотрены методы построения разностных схем для дифференциальных уравнений в частных производных и средства их компьютерной
реализации применительно к различным задачам инженерного и научного
содержания. Изложение методов дано с учетом их применения при разработке компьютерных программ  на языках высокого уровня и доведено до
конкретных рекомендаций по повышению эффективности  создаваемых
алгоритмов. Важное место в пособии отводится обсуждению использования в расчетной практике современных математических пакетов типа Matlab, приведены примеры использования данного пакета для реализации
моделей, описываемых дифференциальными уравнениями  в частных производных  различных типов.
Для студентов технических университетов.
Ил. 11. Библиогр. 9 назв.
                                                                                                               УДК 518.12
                                                                                                 ББК 22.193
ISBN 5-7038-2918-6                                                   © МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2006

ПРЕДИСЛОВИЕ
В пособии обсуждаются постановки задач при создании математических моделей на основе дифференциальных уравнений в
частных производных, вопросы перехода к их дискретной формулировке и способы решения получающихся разностных аналогов
[1–7]. Главное внимание сосредоточено на методе конечных разностей, и, соответственно, рассматриваются хорошо зарекомендовавшие себя подходы к получению разностных схем, основанные
на непосредственной конечно-разностной аппроксимации дифференциальных уравнений, методе неопределенных коэффициентов
и интегро-интерполяционном методе. Сделаны необходимые замечания по особенностям использования методов, областям их
наиболее эффективного применения и ограничениям при выборе.
В материал пособия включены представляющие интерес для практики вопросы оценивания аппроксимации, устойчивости и сходимости разностных схем. Важное место при описании методов
отведено  различным аспектам компьютерной  реализации разностной задачи, что имеет непосредственный выход в практику разработки соответствующих алгоритмов и программного кода с
использованием языков высокого уровня (C, Pascal, Fortran). Детали алгоритмов рассматриваются на типовых задачах, возникающих в практике математического моделирования.
Заключительная часть пособия посвящена применению компьютерных технологий при решении вычислительных задач с использованием математического пакета  Matlab, отличающегося
необычайным разнообразием  реализованных в нем численных
методов. В состав этих методов включены, в частности, средства
решения уравнений в частных производных эллиптического, параболического и гиперболического типов (ToolBox  PDE).  Пакет
имеет эффективные средства процедурного, объектно-ориентированного и визуального программирования, хорошо продуманные средства отладки программ и создания интерфейса пользователя. При этом развитый  графический интерфейс пакета  позволяет легко формировать входную информацию и визуализировать
результаты вычислений. С помощью ToolBox PDE Matlab может
быть решен широкий класс задач математической физики, которые
относятся к таким областям научной и инженерной деятельности,
3

как тепломассоперенос, электростатика и магнитостатика, сопротивление материалов, теория упругости и др.  Пакет применим
также для решения вычислительных  задач и в других областях
науки, техники и экономики, в которых применяются модели на
основе уравнений в частных производных. Детально возможности
пакета Matlab описаны в [8, 9].
4

1. МОДЕЛИ НА ОСНОВЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ
Математические модели в частных производных позволяют
описывать поля разнообразной физической природы: температур,
плотностей, скоростей и концентраций частиц, гравитационные,
электромагнитные, радиационные и др. С уравнениями в частных
производных приходится иметь дело в различных областях науки и
техники при формировании моделей гидро- и газодинамики, переноса излучения, квантовой механики, теплопередачи, физики плазмы и т. д. В указанных уравнениях в качестве независимых переменных обычно выступают время и пространственные координаты,
но могут использоваться и такие переменные, как проекции скоростей частиц на координатные оси, что может увеличить размерность
уравнений до семи. Решение отыскивается в некоторой области G(t,
x, y, z), а на границе области ставятся дополнительные условия,
причем условия, поставленные в начальный момент времени, называются начальными, а условия на границе пространственной области – граничными, или краевыми. Для уравнений в частных производных можно поставить задачу Коши, когда формулируются только начальные условия (например, при рассмотрении распространения тепла в неограниченном пространстве).
В пособии рассматриваются методы решения уравнений второго порядка, линейных относительно производных. Общий вид таких уравнений в случае двух переменных может быть представлен
следующим образом [1, 2]:
11
12
22
2
( ,
, ,
,
)
0,
xx
xy
yy
x
y
a u
a u
a
u
F x y u u
u
+
+
+
=
где коэффициенты 
11
12
22
,
,
a
a
a
 в общем случае являются функциями 
,
,
,
,
,
x
y
x
y
u
u
u
 и тогда уравнение называется квазилинейным. Если данные коэффициенты зависят только от x  и y, то
уравнение считается линейным относительно старших производных. Наконец, уравнение называется линейным, если оно линейно
как относительно старших производных, так и относительно
функции и ее первых производных, т. е. уравнение может быть
записано в виде
5