Вычислительные методы решения задач оптимального управления на основе принципа максимума Понтрягина

Московский государственный технический университет 
имени Н. Э. Баумана 
Н.П. Деменков 
Вычислительные методы  
решения задач оптимального  
управления на основе принципа  
максимума Понтрягина 
 
 
Учебное пособие 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 

УДК 681.5(075.8) 
ББК 32.965 
        Д30 
Издание доступно в электронном виде на портале ebooks.bmstu.ru 
по адресу: http://ebooks.bmstu.ru/catalog/200/book1240.html 
Факультет «Информатика и системы управления» 
Кафедра «Системы автоматического управления» 
Рекомендовано  
Редакционно-издательским советом МГТУ им. Н.Э. Баумана 
в качестве учебного пособия 
Рецензенты: 
канд. техн. наук, доцент В.М. Недашковский,  
канд. техн. наук, доцент Е.Д. Панин 
 
 Д30 
    Деменков, Н. П. 
 
 
   Вычислительные методы решения задач оптимального управления на основе принципа максимума Понтрягина : учебное   
пособие / Н. П. Деменков. — Москва : Издательство МГТУ        
им.  Н. Э. Баумана, 2015. — 75, [5] с.: ил. 
ISBN 978-5-7038-4191-4 
Изложены примеры решения задач оптимального управления на 
основе принципа максимума Понтрягина. 
Для студентов, изучающих дисциплины «Оптимальное управление детерминированными процессами», «Управление в технических 
системах», «Основы автоматики и системы автоматического управления». Издание будет полезным также для научных работников, инженеров, аспирантов и студентов старших курсов технических университетов. 
 
 
 
УДК 681.5(075.8) 
ББК 32.965 
 
 
 
 
 МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2015 
  Оформление. Издательство 
ISBN 978-5-7038-4191-4                                              МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2015 
2 

ПРЕДИСЛОВИЕ 
Оптимизация является одной из важнейших проблем как 
науки, так и повседневной человеческой деятельности, ибо человеку органически присуще стремление к достижению наилучшего 
(оптимального) результата. 
Оптимальной называют такую систему автоматического управления, в которой полностью в каком-либо формальном смысле используются динамические возможности объекта для совершения переходных процессов при заданных ресурсных ограничениях. Управление, обеспечивающее в системе оптимальные процессы, называют 
оптимальным.  
Оптимальное управление — это задача проектирования системы, 
обеспечивающей для объекта управления или процесса выполнение 
закона управления или управляющую последовательность воздействий, реализующих максимум или минимум заданной совокупности критериев качества системы.  
Для проектирования оптимальных систем  управления необходимо располагать, во-первых, методами решения прикладных 
задач синтеза, во-вторых, техническими средствами для простой и 
надежной реализации законов оптимального управления. 
Решение задачи оптимизации с помощью вычислительных 
средств включает следующие обязательные составляющие: постановку задачи,  создание математической модели, разработку алгоритма (метода) решения задачи, программную реализацию алгоритма, сбор исходных данных, анализ технических средств, 
готовность  персонала к решению задачи. 
Постановка задачи определяет успех всей работы. При этом 
необходимо учитывать следующие факторы: важность задачи, 
принципиальную возможность ее решения на ЭВМ, существование различных вариантов подобного решения. Степень важности 
решения задачи обусловливается уровнем пользователя, т. е. лица, 
которому нужны результаты. Очевидно, что при оптимизации от3 

дельного технологического процесса результаты решения не будут 
представлять интерес для руководства предприятия.  Чем выше 
уровень пользователя, для которого решается задача, тем более 
эффективным будет ее результат. Наибольшую эффективность 
дают многоуровневые задачи оптимизации системы в целом и 
входящих в нее элементов. Принципиальная возможность решения 
задачи на ЭВМ не вызывает сомнений. Так, применение ЭВМ может обеспечить оптимальное распределение  имеющихся ресурсов, 
но не может заменить ресурсы, если их недостаточно. Следует 
четко видеть принципиальную возможность наличия различных 
вариантов решения. Если такой возможности не существует, то 
постановка задачи оптимизации не имеет смысла. 
Математическая модель предназначается для описания содержательной постановки задачи с помощью математических соотношений 
и представляет собой аналитическую зависимость между переменными, значения которых нужно найти в результате решения задачи, и 
исходными данными, влияющими на искомые величины. При выборе 
типа модели целесообразно учитывать наличие программного обеспечения. Составление математической модели — творческий процесс. Для успешного его выполнения составителю модели необходимо детально и тщательно изучить объект управления. Важной 
характеристикой математической модели является ее размерность,    
т. е. число искомых переменных и заданных условий задачи. 
Под алгоритмом решения задачи понимают последовательность действий, преобразующих исходные данные в искомый результат решения задачи. Одна и та же задача может быть решена 
различными методами. Каждый метод (или алгоритм) имеет свои 
преимущества при решении задач конкретного вида. Знание алгоритма чрезвычайно полезно для четкого понимания и трактовки 
полученных результатов, а также для оценки влияния исходных 
данных на результат решения. 
Алгоритмы решения задач оптимизации достаточно сложны и 
трудоемки для программной реализации, поэтому решение задач оптимизации следует выполнять с помощью пакетов прикладных программ, в которых реализованы те или иные методы оптимизации. 
Сбор исходных данных представляет собой наиболее трудоемкую часть работы по решению задачи оптимизации. Под исход4 

ными данными понимают такие элементы математической модели, 
которые с помощью определенного алгоритма преобразуются в 
искомые величины. Поэтому исходные данные следует собирать 
после составления математической модели. Сбор исходных данных до составления математической модели, как это часто практикуется, приводит к тому, что часть собранных данных оказывается 
избыточной, так как не входит в модель, в то же время некоторых 
данных недостаточно. 
При анализе технических средств следует выяснить вопрос о 
возможности функционирования используемого пакета прикладных программ при достаточной оперативной и внешней памяти 
для решения задач реальной размерности. 
Вопрос готовности персонала к выполнению оптимизации является важнейшим, так как в конечном итоге успех или неуспех в 
решении определяется человеком, его желанием и готовностью.   
В зависимости от участия в работе, связанной с задачей оптимизации, персонал может быть разделен на три группы: 1) потребители 
результатов — специалисты по содержательной части задачи оптимизации, 2) разработчики — специалисты по моделированию и 
3) эксплуатационники  — сотрудники вычислительного центра. 
Перед разработчиком системы управления всегда стоит проблема формирования в системе наилучших (оптимальных) переходных процессов. Чаще всего возникает необходимость обеспечения 
максимального быстродействия исполнительных механизмов или 
минимальных затрат энергии на совершение переходных процессов. 
При этом ограничены внутренние переменные объекта или дополнительно оговорены условия работы. Например, при оптимизации 
быстродействия системы ограничены, как правило, управляющие 
воздействия; при оптимизации затрат энергии — длительность переходных процессов. Таким образом, инженер-проектировщик должен стремиться к максимальному удовлетворению заданных требований при известных ресурсных ограничениях. 
Решая конкретную задачу оптимизации, исследователь прежде 
всего должен выбрать математический метод, который приводил 
бы к конечным результатам с наименьшими затратами на вычисления или давал возможность получить наибольший объем информации об искомом решении. Выбор того или иного метода в 
5 

значительной степени определяется постановкой оптимальной задачи, а также используемой математической моделью объекта оптимизации. 
Цель учебного пособия — ознакомление с вычислительными 
аспектами решения задач оптимального управления на основе современных подходов и программных средств. В издании описаны 
вычислительные методы решения задач оптимального управления 
на основе принципа максимума Понтрягина. 
В гл. 1  рассмотрены решения задач синтеза оптимальных законов управления на основе принципа максимума. 
Гл. 2 посвящена решению конкретных задач оптимального 
управления: управление спутником на орбите, движение летательного аппарата в атмосфере, спуск космического аппарата на поверхность планеты и др. В качества инструмента исследования 
предложено применять либо MATLAB, либо разработанный на кафедре «Системы автоматического управления» МГТУ им. Н.Э. Баумана программный комплекс «Методы оптимизации». 
Подробное обсуждение примеров делает пособие приемлемым 
как для использования в учебной аудитории, так и для самостоятельного изучения.  
 
6 

ГЛАВА 1. ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ АСПЕКТЫ  
ПРИНЦИПА МАКСИМУМА 
Принцип максимума применяют для решения задач оптимизации процессов, описываемых системами дифференциальных уравнений. Достоинством математического аппарата принципа максимума является то, что решение может определяться в виде 
разрывных функций; это свойственно многим задачам оптимизации, например задачам оптимального управления объектами, которые описывают линейными дифференциальными уравнениями. 
Нахождение оптимального решения с помощью принципа 
максимума сводится к задаче интегрирования системы дифференциальных уравнений процесса и сопряженной системы для вспомогательных функций при граничных условиях, заданных на обоих концах интервала интегрирования, т. е. к решению краевой 
задачи. На область изменения переменных могут быть наложены 
ограничения. Систему дифференциальных уравнений интегрируют, применяя обычные программы на цифровых вычислительных 
машинах. Максимизацию функции Гамильтона для нахождения 
оптимального управления выполняют  прямыми методами. 
Принцип максимума для процессов, описываемых дифференциальными уравнениями, при некоторых предположениях является достаточным условием оптимальности. Поэтому дополнительной проверки на оптимум получаемых решений обычно не требуется. 
Для дискретных процессов принцип максимума в той же формулировке, что и для непрерывных, несправедлив. Однако условия 
оптимальности, получаемые при его применении для многостадийных процессов, позволяют найти достаточно удобные алгоритмы оптимизации. 
1.1. Постановка задачи синтеза оптимальных систем уравнения 
Для решения задачи оптимального управления составляют математическую модель управляемого объекта или процесса, описывающую его поведение во времени под влиянием управляющих 
7 

воздействий и собственного текущего состояния. Математическая 
модель для задачи оптимального управления включает в себя: 
формулировку цели управления, выраженную через критерий качества управления; получение дифференциальных или разностных 
уравнений, описывающих возможные способы движения объекта 
управления; определение ограничений на используемые ресурсы в 
виде уравнений или неравенств. 
Задачу оптимального управления можно представить в виде 
структуры, состоящей из цели управления, управляемого объекта,  
измерительной системы и вычислительного устройства, осуществляющего расчет оптимального управления (рис. 1.1). Задача вычислительного устройства — найти условия, связывающие 
k
x , u  и 
изм.
x
 
При решении задач оптимизации необходимо сначала выбрать и 
сформулировать целевую функцию (выбрать критерий оптимальности), затем согласовать ее с имеющимися возможностями (т. е. учесть 
ограничения) и, наконец, реализовать способ достижения оптимального значения целевой функции при учете ограничений. 
 
Рис. 1.1. Структура задачи оптимального управления 
 
 
Критерий оптимальности может представлять собой технический или технико-экономический критерий, математическое выражение которого есть функция или функционал координат процесса и управляющих воздействий. В управлении техническими 
системами  наиболее  распространенными являются различные интегральные критерии. 
8