Течение вязкой сжимаемой жидкости. Концепция фононного переноса импульса

УДК 532.5.011+536.7
Тютюма, В. Д. Течение вязкой сжимаемой жидкости. Концепция фононного
переноса импульса / В. Д. Тютюма ; Нац. акад. наук Беларуси, Ин-т энергетики. – 
Минск : Беларуская навука, 2024. – 263 с. : ил. – ISBN 978-985-08-3142-2.
В монографии систематически излагается феноменологическая теория течения и теплообмена вязкой сжимаемой жидкости с учетом фононного механизма переноса импульса. В данном приближении неравновесная движущаяся среда интерпретируется в виде двух взаимодействующих подсистем – молекул и газа фононов. При этом перенос импульса и перенос энергии 

в потоке предполагаются подчиненными разным термодинамическим процессам. Рассматриваются задачи течения и теплообмена вязкой сжимаемой жидкости при больших напряжениях 
сдвига в условиях заметного влияния неизоэнтропичности течения.
Адресуется научным работникам, аспирантам, магистрантам, инженерам и студентам 
старших курсов, специализирующимся в области гидродинамики и теплофизики. 
Табл. 1. Ил. 123. Библиогр.: 118 назв.
Рекомендовано ученым советом
Республиканского научно-производственного унитарного предприятия
«Институт энергетики Национальной академии наук Беларуси»
(протокол от 2 февраля 2023 г. № 2)
Р е ц е н з е н т ы:
доктор технических наук, профессор В. И. Володин,
кандидат физико-математических наук, доцент А. Д. Чорный
ISBN 978-985-08-3142-2
© Институт энергетики НАН Беларуси, 2024
© Оформление. Издательский дом 
    «Беларуская навука», 2024

СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие.
 .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 	
5
Введение. .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 	
8
Глава 1. Основы теории течения вязкой сжимаемой жидкости и газовой динамики 
идеального газа.
 .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 	
11
1.1. Система уравнений движения и теплообмена. .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . 	
11
1.2. Статическое равновесие текучей среды во внешнем силовом поле. .  .  .  .  .  . . . . . . 	
16
1.3. Распространение малых возмущений. .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . 	
22
1.4. Концептуальные проблемы уравнений механики вязких потоков. .  .  .  .  .  .  . . . . . . 	
26
1.5. Роль акустических волн в формировании давления в потоках жидкости. .  .  .  . . . 	
29
1.6. Одномерное течение идеального газа. .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . 	
31
1.7. Распространение возмущений от движущегося с постоянной скоростью источника.
 .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 	
37
1.8. Распространение волн конечной интенсивности, возникновение разрывных решений. .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 	
40
1.9. Ударные волны и скачки уплотнения. .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . 	
44
1.10. Звуковые волны и фононы . .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 	
52
1.11. Фононный механизм переноса импульса и аэродинамическое сопротивление 
движущихся тел. .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 	
56
Глава 2. Модель течения и теплообмена вязкой сжимаемой жидкости с учетом фононного механизма переноса импульса.
 .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 	
65
2.1. Основные понятия и уравнения равновесной термодинамики. .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . 	
65
2.2. Принцип локального термодинамического равновесия и основные положения 
теории.
 .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 	
69
2.3. Уравнение движения с учетом фононного механизма переноса импульса. .  .  . . . 	
71
2.4. Поток количества движения . .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 	
73
2.5. Уравнение энергии.
 .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 	
75
2.6. Подобие гидродинамических и тепловых процессов. .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . 	
76
2.7. Распространение малых возмущений. .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . 	
82
2.8. Решение уравнений движения вязкой сжимаемой жидкости методом возмущений. .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 	
83
Глава 3. Движение жидкости с прямолинейными линиями тока. .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . 	
88
3.1. Система уравнений одномерного прямолинейного течения вязкой сжимаемой 
жидкости. .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 	
88
3.2. Течение Куэтта. .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 	
93
3.3. Течение в прямолинейных трубах и каналах. .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . 	
107
3

Глава 4. Течение и теплообмен в зазоре между вращающимися цилиндрами и дисками. .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 	
128
4.1. Течение и теплообмен в зазоре между вращающимися коаксиальными цилиндрами . .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 	
128
4.2. Течение и теплообмен в зазоре между вращающимися эксцентрично расположенными цилиндрами. .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 	
140
4.3. Течение и теплообмен в зазоре между вращающимся и неподвижным параллельными дисками. .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 	
148
Глава 5. Закрученные потоки. .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 	
161 
5.1. Основные характеристики закрученных потоков. .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . 	
161
5.2. Плоское осесимметричное течение.
 .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 	
167
5.3. Тангенциальная составляющая скорости.
 .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . 	
169
5.4. Распределение параметров в зоне вынужденного вихря. .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . 	
174
5.5. Распределение параметров в периферийной зоне течения.
 .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . 	
175
5.6. Сравнение расчетных соотношений с экспериментом. .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . 	
184
5.7. Вихревые течения в вихревой камере со слабой закруткой. .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . 	
185
5.8. Течение и теплообмен в вихревой трубе Ранка – Хилша. .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . 	
193
Глава 6. Свободные концентрированные вихревые течения. .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . 	
203
6.1. Атмосферные вихри.
 .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 	
204
6.2. Уравнения движения атмосферы.
 .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 	
211
6.3. Плоский свободный концентрированный вихрь.
 .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . 	
215
6.4. Решение для тангенциальной составляющей скорости. .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . 	
218
6.5. Распределение параметров в периферийной зоне течения . .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . 	
219
6.6. Обобщенное решение для плоского свободного вихря с центральной застойной 
зоной. .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 	
228
6.7. Обобщенное решение для плоского свободного вихря с центральной застойной 
зоной с учетом отклоняющей кориолисовой силы вращения Земли.
 .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . 	
236
6.8. Равновесие вращающихся воздушных масс в гравитационном поле Земли. .  .  . . 	
244
6.9. Равновесие во внешнем гравитационном поле водной среды. .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . 	
249
Список использованных источников . .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 	
256
Список основных обозначений. .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 	
261

ПРЕДИСЛОВИЕ
Эта книга задумана как введение в относительно новый, необычный и удивительный мир гидродинамических явлений, связанных с макроскопическими проявлениями квантово-механических процессов в потоках вязкой сжимаемой жидкости. В этом отношении гидродинамика имеет определенную аналогию с оптикой, в которой все многообразие световых явлений порождается 
взаимодействиями электромагнитных волн и фотонов с окружающей материальной средой. Точно так же все гидродинамические процессы в движущейся 
жидкости можно трактовать как результат взаимодействия молекулярной среды, звуковых волн и фононов. Аналогом скорости света в гидродинамике выступает скорость звука, а звуковые волны, подобно световым волнам в оптике, 
можно интерпретировать как волны плотности вероятности распределения 
молекул в пространстве. Тем самым перенос импульса в сдвиговых потоках 
вязкой сжимаемой среды связывается с возмущениями волновой функции, 
которые на микроскопическом уровне проявляются в виде фононов, а на макроскопическом уровне – в виде звуковых волн.
Тот факт, что малые возмущения в движущейся сжимаемой среде переносятся звуковыми волнами, давно уже установлен в газовой динамике, которая 
прошла длинный и тернистый путь проб и ошибок, прежде чем в ее основу 
было положено данное фундаментальное воззрение, сформулированное в виде 
изоэнтропичности течения идеального газа. Однако при создании теории движения вязкой сжимаемой жидкости этот фундаментальный принцип, определяющий важную закономерность переноса импульса, был проигнорирован. 
В результате созданная теоретическая модель движения вязкой сжимаемой 
среды не в полной мере отражает существенные черты формирования структуры течения, что во многих случаях пагубно сказывается на согласованности теоретических выводов с опытом. Именно пренебрежение волновым механизмом переноса импульса звуковыми волнами оказалось слабым местом 
базирующейся на основе уравнения Навье – Стокса теории. Причина кроется 
в принятой Дж. Г. Стоксом гипотезе о равенстве линейного инварианта тензора напряжений термодинамическому равновесному давлению, которая однозначно связала перенос импульса и перенос энергии одним и тем же термодинамическим процессом. В результате в большинстве случаев скорость распространения малых возмущений давления для решений, полученных на основе 
5

уравнения Навье – Стокса, вопреки опыту не совпадает с адиабатической скоростью звука. 
В представленной работе затрагивается ряд фундаментальных вопросов 
построения феноменологической модели течения вязкой сжимаемой жидкости 
с учетом макроскопического проявления фононного механизма переноса импульса. В основу теории положен экспериментально выверенный факт, заключающийся в том, что малые возмущения давления распространяются относительно движущейся среды с адиабатической скоростью звука. Для построения 
теории этот принцип сам по себе имеет такое же фундаментальное значение, 
как и основные законы сохранения.
Исходя из предположения, что в сдвиговом потоке в дополнение к термодинамическому давлению перенос импульса фононами дополнительно генерирует фононное давление, обосновывается феноменологическая модель течения, 
основанная на новой интерпретации гипотезы Стокса. В рассматриваемой 

модели течения линейный инвариант тензора напряжений связывается уже 

не с термодинамическим, а с фононным давлением. Важный принципиальный результат такой физической интерпретации гипотезы Стокса состоит 

в том, что состояние движения уже принципиально отличается от состояния 
покоя, так как в сдвиговом потоке объемное действие поверхностных сил выражается не через градиент термодинамического давления, а через градиент 
плотности. В связи с этим дается новая трактовка уравнения изменения импульса системы и его интегрального представления, определяется общий вид 
уравнения состояния, связывающего фононное давления с плотностью и скоростью звука. 
Материал первой главы, основанный на известных литературных источниках, носит вспомогательный характер, где с единых позиций излагаются 
базовые понятия и математические модели классической гидродинамики, используемые для описания сдвиговых течений вязкой сжимаемой жидкости, 

а также основные характеристики таких течений. Рассмотрены многочисленные примеры из газовой динамики идеального газа, в которых наиболее ярко 
и наглядно проявляется перенос малых возмущений давления звуковыми волнами. 
Во второй главе дается обоснование и анализ системы дифференциальных 
уравнений движения и теплообмена вязкой сжимаемой жидкости с учетом 
фононного механизма переноса импульса. Исследуются вопросы подобия решений, а также представления решений записанной системы уравнений при 
малых числах Маха.
Содержание третьей и последующих глав посвящено одномерным и преимущественно закрученным течениям вязкой сжимаемой жидкости, в которых 
наиболее рельефно проявляется влияние фононного переноса импульса на 
взаимосвязь механических и тепловых процессов, связанную большей частью 
с явлением изохорного нагрева жидкости. С единых позиций рассмотрены особенности формирования структуры течения в зазоре между вращающимися 
6

соосными цилиндрами, параллельными дисками. Проанализированы особенности течения и теплообмена в вихревой камере, вихревой трубе Ранка – Хилша, в свободных концентрированных атмосферных вихрях. Рассматривается 
механизм образования смерчей и источник их разрушительной силы.
Данное издание не планировалось как практическое пособие по изучению 
движения вязкой сжимаемой жидкости в ее общепринятом изложении. Прежде всего в нем с единых позиций дается рациональное объяснение многим непонятным с точки зрения классической гидродинамики наблюдаемым в природе гидродинамическим явлениям. Рассмотренные разнообразные течения здесь, 
скорее, выступают как наиболее яркие примеры, иллюстрирующие различия 
в описании гидродинамических процессов на основе уравнения Навье – Стокса 
и рассматриваемой теоретической модели движения сжимаемой вязкой жидкости, которые, несмотря на некоторую тенденциозность подбора материала, 
имеют определенную значимость в теоретическом плане и вместе с тем не лишены полезной практической направленности.

ВВЕДЕНИЕ
Для изучения движения реальных сред в механике жидкостей и газов вводятся различные феноменологические математические модели, которые с различной степенью приближения описывают натурные гидродинамические 

явления. В основу описания всех этих теоретических моделей положена гипотеза сплошности, которая предполагает, что в каждом выделенном малом 
объеме движущейся жидкости или газа находится еще достаточно много частиц, чтобы абстрагироваться от дискретного строения тела и приближенно 
рассматривать его как среду, заполняющую пространство сплошным образом. При континуальном описании предполагается, что связанные с каждой 
точкой пространства параметры течения распределены в нем непрерывно. 

Тем самым в гидродинамику вводятся поля распределенных в пространстве 
величин и удельных параметров, таких как плотность, давление, температура, 
скорость частицы, внешние массовые силы, описание которых строится на основе теории поля, уходящей своими корнями в математический аппарат дифференциального и интегрального исчисления. Однако при описании движения жидкости невозможно последовательно развивать теорию, полностью 
абстрагируясь от дискретного строения среды. Необходимо учитывать, что 
многие свойства движущейся среды являются макроскопическим проявлением квантово-механических закономерностей взаимодействия на микроскопическом уровне в дискретных молекулярных системах.
Исторически первые теоретические исследования проводились на основе 
уравнения Эйлера для движения идеальной жидкости без трения. Это наиболее 
разработанный в теоретическом плане раздел газовой динамики. Введение 
потенциала скорости и запись интеграла Бернулли позволили создать достаточно стройную математическую теорию течения идеальной жидкости, которая во многих случаях давала вполне приемлемые результаты для описания 
натурных процессов. Однако она оказалась полностью непригодной для вычисления сопротивления движущегося в жидкости тела, а также для описания процессов переноса тепла и примесей в потоках. Для этого необходимо 
было разработать физически и математически более сложную модель течения 
вязкой теплопроводной сжимаемой жидкости.
8

На современном этапе в основу описания течения вязкой сжимаемой среды положено уравнение Навье – Стокса. Развитие механики вязкой жидкости 
ознаменовало собой новый этап исследований, более тесно связанный с практическими запросами бурно развивающейся техники. Казалось бы, что широкое внедрение численных методов интегрирования с помощью современных 
вычислительных комплексов наконец-то позволит решать практически любые 
задачи течения вязкой сжимаемой жидкости и тем самым приблизить теоретическое описание рассматриваемых задач до уровня натурного эксперимента. Однако по мере накопления опытных данных возникло понимание того, 
что не все наблюдаемые гидродинамические эффекты имеют рациональное 
объяснение с позиций существующей теории течения вязкой сжимаемой среды на основе уравнения Навье – Стокса. 
В 1956 г. известный реолог М. Рейнер обнаружил явление аномального 
распределения давления в сдвиговом потоке вязкой жидкости, которое заключалось в возникновении избыточного давления в зазоре между двумя 

параллельными соосными дисками, один из которых вращается, а другой 
неподвижен при достаточно малом зазоре и достаточно большой скорости вращения. Обнаруженный центростремительный эффект никак не подтверждается решением этой задачи на основе уравнения Навье – Стокса, которое предсказывает, что при любых режимах течения в центре непременно 
должно возникать не повышенное давление, а разрежение. С результатами 
теории не согласуется и вихревой эффект энергетического разделения газов, 
известный как эффект Ранка – Хилша. За время существования теории в динамике вязкой жидкости, как ни в каком другом разделе теоретической физики, 
накопилось достаточное количество парадоксов, которые не нашли своего 
удовлетворительного объяснения в рамках существующей концепции вязкого 
течения.
Опыт развития теоретической физики убедительно демонстрирует тот факт, 
что помимо общих законов сохранения для создания полноценной феноменологической теории необходимо принимать во внимание и особенности переноса рассматриваемой субстанции на микроскопическом уровне. Для переноса импульса в сдвиговом потоке вязкой жидкости в роли таких микрочастиц 
выступают фононы, которые, распространяясь относительно движущейся среды с адиабатической скоростью звука, являются промежуточным звеном при 
передаче импульса в молекулярной среде. Если исходить из этих предположений, то при построении теории течения вязкой сжимаемой среды необходимо 
учитывать, что скорость передачи импульса не произвольна, а всегда равна 
адиабатической скорости распространения звука. Это такой же фундаментальный закон природы, как и законы сохранения. Следовательно, физический 
смысл будут иметь только те решения уравнения Навье – Стокса, для которых 
скорость распространения малых возмущений давления совпадает с адиабатической скоростью звука. Указанное условие калибровки и составляет основу 
рассматриваемой в данной книге модели течения.
9

Перенос импульса фононами генерирует в сдвиговом потоке, дополнительно к равновесному термодинамическому давлению, фононное давление, 
которое и определяет механические свойства движущейся среды. Важной 
особенностью фононного давления является то, что оно формируется в потоке 
не только в результате силового взаимодействия, но и за счет тепла в результате 
изохорного нагрева жидкости. Именно эта составляющая фононного давления 
и определяет его необычные свойства. Исследование проявлений этих необычных свойств фононного давления в сдвиговых потоках вязкой сжимаемой 
среды и составляет одну из главных задач данной книги.