Спинорные методы в квантовой механике частиц с высшими спинами. Ч. 1.

УДК 530.145:539.12 
Спинорные методы в квантовой механике частиц с высшими спинами / А. В. Ивашкевич 
[и др.] ; Нац. акад. наук Беларуси, Ин-т физики им. Б. И. Степанова. – Минск : Беларуская 
навука, 2024. – 433 с. : ил. – ISBN 978-985-08-3131-6. 
Монография посвящена применению спинорных методов в квантовой механике частиц с высшими 
спинами. Рассмотрены следующие вопросы: геометрия пространств со спинорной структурой; параметризация пространственных спиноров криволинейными координатами; расширенная симметрия в спинорных пространствах; переменные Кустанхеймо – Штифеля, расслоение Хопфа; спинорная накрывающая полной группы Лоренца; фермион в римановом пространстве-времени; ортогональные координаты 

и спинорные калибровочные преобразования; спинорная структура пространства и решения уравнения 
Клейна – Фока – Гордона; дираковская частица в пространстве со спинорной структурой; пространство 
постоянной положительной кривизны со спинорной структурой; решения уравнения Дирака в статическом 
пространстве Эйнштейна; спинорные уравнения Максвелла в римановом пространстве и моделирование 
сред; уравнение для массивной частицы со спином 3/2 и оператор спиральности; сферически-симметричные 
решения уравнения для частицы со спином 3/2.
Адресуется научным работникам, преподавателям высших учебных заведений, а также аспирантам 

и студентам, специализирующимся в области теоретической физики. 
Ил. 162. Библиогр.: 500 назв. 
Рекомендовано ученым советом ГНУ «Институт физики имени Б. И. Степанова
 Национальной академии наук Беларуси» (протокол от 07 декабря 2020 г. № 8)
А в т о р ы:
А. В. Ивашкевич, Я. А. Войнова, Н. Г. Крылова, Е. М. Овсиюк, В. В. Кисель, В. М. Редьков
Р е ц е н з е н т ы:
доктор физико-математических наук, профессор В. А. Плетюхов,
доктор физико-математических наук, профессор В. В. Андреев
 	
	
	
	
	
	
                                   		
	
	
	
	
	
ISBN 978-985-08-3131-6
© Институт физики НАН Беларуси, 2024 
© Оформление. РУП «Издательский дом 
    «Беларуская навука», 2024

Оглавление
Введение
7
1. О геометрии пространства со спинорной структурой
11
1.1. Псевдовектор и его пространственный спинор ξ
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
1.2. Истинный вектор и его пространственный спинор η . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
1.3. Пространственный спинор ξa3(a1 + ia2) и неаналитичность . . . . . . . . . . . . . . . .
18
1.4. Вычисление функций ∇ξ и ∇⃗
nξ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
1.5. Особенности спинора ξa3(a1, a2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
1.6. Спинор ηb3(b1 + ib2) и неаналитичность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
1.7. Свойства непрерывности спинора η, функции ∇η и ∇⃗
nη
. . . . . . . . . . . . . . . . .
26
1.8. Анализ особенностей спинорных поверхностей ηb3(b1 + ib2) . . . . . . . . . . . . . . . .
27
1.9. Сопоставление спинорных ξ- и η-моделей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
2.
Параметризация пространственных спиноров криволинейными координатами
33
2.1. Параболические цилиндрические координаты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
2.2. Спиноры (ξ, η) и параболические координаты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
2.3. О связи между ξ- и η-моделями, отображение ξ =
⇒η
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
43
2.4. Параметризация спиноров ξ, η эллиптическими координатами . . . . . . . . . . . . . .
43
2.5. Пространственные спиноры и сферические координаты . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53
3.
Симметрия g
SU(2) в спинорных пространствах
57
3.1. SU(2)-Симметрии в спинорном ξ-пространстве . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
57
3.2. Расширенная группа g
SU(2) и проективные представления . . . . . . . . . . . . . . . .
63
3.3. Плоские вращения спиноров и понятие малой группы . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
66
4.
Спинорная структура, переменные Кустанхеймо – Штифеля, расслоение Хопфа
71
4.1. Спинорное расширение псевдовекторной модели (x1, x2, x3)
. . . . . . . . . . . . . . .
72
4.2. Спинорное расширение истинно векторной модели (x1, x2, x3) . . . . . . . . . . . . . .
73
4.3. Параболические координаты и пространственные спиноры
. . . . . . . . . . . . . . .
75
4.4. О связи между координатами Кустанхеймо – Штифеля для двух пространственных
моделей
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
77
5. Спинорная накрывающая полной группы Лоренца и фермионная четность
79
5.1. Спинорная накрывающая полной группы Лоренца . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
79
5.2. Представления расширенных спинорных групп
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
81
5.3.
Представления накрывающих для групп L↑
+−и L↑↓
+
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
83
5.4. О приведении спинорных групп к вещественной форме . . . . . . . . . . . . . . . . . .
83
6. Фермион в римановом пространстве-времени
85
6.1. Тетрадный метод Тетроде – Вейля – Фока – Иваненко . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
85
6.2. О нахождении спинорных преобразований, (3 + 1)-расщепление . . . . . . . . . . . . .
88
6.3. Спинорные преобразования и (2 + 2)-расщепление
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
89
3

А.В. Ивашкевич, Я.А. Войнова, Н.Г. Крылова, Е.М. Овсиюк, В.В. Кисель, В.М. Редьков
6.4. Пример спинорных калибровочных преобразований . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
90
6.5. О биспинорных преобразованиях в произвольном базисе
. . . . . . . . . . . . . . . . .
92
6.6. Уравнение Дирака в ортогональных координатах
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
93
6.7. Частица Майораны в римановом пространстве-времени
. . . . . . . . . . . . . . . . .
95
7. Ортогональные координаты в пространстве E3 и спинорные преобразования
97
7.1. Тетрадный рецепт и спинорная структура пространства-времени . . . . . . . . . . . .
97
7.2. E3-пространство и спинорные преобразования
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
98
7.3. Круговые цилиндрические координаты
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
7.4. Эллиптические координаты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
7.5. Параболические цилиндрические координаты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
7.6. Сферические координаты
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
7.7. Параболические координаты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
7.8. Конические координаты
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
7.9. Вытянутые сфероидальные координаты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
7.10. Сплющенные сфероидальные координаты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
7.11. Эллипсоидальные координаты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
7.12. Параболоидальные координаты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
7.13. Бисферические координаты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
7.14. Тороидальные координаты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
8. Спинорная структура и решения уравнения Клейна – Фока – Гордона
149
8.1. Параболические цилиндрические координаты
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
8.2. Решения уравнения Клейна – Фока – Гордона
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
8.3. Проявление спинорной структуры пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
8.4. Явный вид оператора ˆ
A : ˆ
AΨ = a Ψ
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
8.5. Соотношения ортогональности и полнота базиса
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
8.6. О вычислении матричных элементов физических величин . . . . . . . . . . . . . . . . 158
9. Уравнение Дирака в пространстве со спинорной структурой
159
9.1. Разделение переменных
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
9.2. Непрерывность решений и спинорная структура пространства
. . . . . . . . . . . . . 164
10. Пространство постоянной положительной кривизны со спинорной структурой
167
10.1. О требовании однозначности фермионных и бозонных волновых функций в римановом пространстве
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
10.2. Декартовая и цилиндрическая тетрады в пространстве S3
. . . . . . . . . . . . . . . . 169
10.3. Анализ преобразований в пространстве S3, спинорная структура . . . . . . . . . . . . 173
10.4. Эллиптическое пространство
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
10.5. О невозможности 2-кратным расширением эллиптического многообразия построить
пространство со спинорной структурой
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
11. Уравнение Дирака в статическом пространстве Эйнштейна, сферическая и эллиптическая
модели
197
11.1. Уравнение Шредингера в сферическом пространстве S3
. . . . . . . . . . . . . . . . . 197
11.2. Случай эллиптического пространства
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
11.3. Уравнение Дирака в цилиндрической тетраде . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
11.4. Дополнительные вычисления
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
11.5. Калибровочная симметрия и непрерывность решений уравнения Дирака в сферическом пространстве
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
11.6. Квантование уровней энергии частицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
11.7. Волновые функции и непрерывность
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
11.8. Эллиптическое пространство и калибровочные преобразования
. . . . . . . . . . . . . 210
11.9. О непрерывности функций в эллиптическом пространстве . . . . . . . . . . . . . . . . 216

Спинорные методы в квантовой механике частиц с высшими спинами
5
12. Уравнение Дирака в криволинейных координатах и метод квадрирования
219
12.1. Метод квадрирования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
12.2. Цилиндрические решения уравнения Дирака . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
12.3. О цилиндрических решениях типа Ψϵjpλ(t, ρ, ϕ, z) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
12.4. Решения в параболических цилиндрических координатах . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
12.5. Калибровочные преобразования и параболическая тетрада
. . . . . . . . . . . . . . . 226
12.6. Решения в цилиндрических параболических координатах
. . . . . . . . . . . . . . . . 229
12.7. Квадрирование и решения в параболических координатах
. . . . . . . . . . . . . . . . 233
13. Спинорные уравнения Максвелла в римановом пространстве и моделирование материальных
сред
237
13.1. Спиноры и уравнения Максвелла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
13.2. Разделение переменных в пространстве де Ситтера
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
13.3. Решение уравнения в пространстве Минковского . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
13.4. Решения уравнения в пространстве де Ситтера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
13.5. Случай пространства анти-де Ситтера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
13.6. Уравнения Максвелла в метрике Шварцшильда . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
13.7. Решения уравнений Максвелла в сферическом пространстве . . . . . . . . . . . . . . . 268
13.8. Решение уравнения в пространстве Лобачевского
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
13.9. Уравнения Максвелла в пространстве Римана, цилиндрическая симметрия . . . . . . 275
13.10.Гиперболическое пространство Лобачевского, цилиндрическая симметрия
. . . . . . 283
13.11.Геометрическое моделирование сред . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
13.12.Уравнения Максвелла в неизотропном пространстве . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294
13.13.Случай недиагональных метрик . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296
13.14.Общие замечания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298
13.15.Уравнения в параболических цилиндрических координатах . . . . . . . . . . . . . . . 298
13.16. Калибровочные преобразования, непрерывность решений . . . . . . . . . . . . . . . . 305
13.17.Оператор спиральности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310
14. Уравнение для массивной частицы со спином 3/2 и оператор спиральности
319
14.1. Общая теория частицы со спином 3/2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319
14.2. Разделение переменных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324
14.3. Оператор спиральности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326
14.4. Оператор спиральности и решения волнового уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . 333
15. Безмассовая частица со спином 3/2, оператор спиральности
339
15.1. Об описании безмассового поля со спином 3/2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339
15.2. Плоские волны, ориентированные вдоль оси x3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341
15.3. Плоские волны вдоль произвольного направления
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343
15.4. Проверка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351
15.5. Связь с исходным базисом . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353
15.6. Оператор спиральности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358
16. Сферически-симметричные решения уравнения для частицы со спином 3/2
367
16.1. Уравнение для частицы со спином 3/2 и сферическая симметрия . . . . . . . . . . . . 367
16.2. Разделение переменных в основном уравнении . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373
16.3. Разделение переменных в дополнительных уравнениях . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376
16.4. Полная система радиальных уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380
16.5. Анализ уравнений для функций f0, g0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381
16.6. Матричная форма основной системы радиальных уравнений . . . . . . . . . . . . . . . 382
16.7. Случай минимального значения j = 1/2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384
16.8. Анализ общего случая j = 3/2, 5/2, ...
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388
16.9. Сводка промежуточных результатов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398
16.10.Три решения системы из шести уравнений 1-го порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . 399

А.В. Ивашкевич, Я.А. Войнова, Н.Г. Крылова, Е.М. Овсиюк, В.В. Кисель, В.М. Редьков
16.11. Учет алгебраических и дифференциальных условий связи
. . . . . . . . . . . . . . . 405
Список использованных источников
415

Введение
Данное исследование посвящено изложению некоторых применений спинорных методов в квантовой физике. Мы приводим перечень наиболее существенных для нас публикаций при работе над
книгой [1–353]. ] Публикации авторов также собраны вместе и помещены в конце перечня использованных источников [354–495]. По ходу изложения отдельных вопросов будут упомянуты многие
работы из этих списков. Содержание книги базируется на оригинальных исследованиях.
Известно, что пространственно-временной вектор xa = (ct, x, y, z) может быть отождествлен с
явной реализацией самого простого тензорного представления собственной группы Лоренца L↑
+. Однако также известно, что существуют элементарные частицы с целым и полуцелым спином: бозоны
и фермионы. Относящиеся к бозонам представления группы Лоренца Tbos являются однозначными,
в то время как относящиеся к фермионам представления группы Лоренца – двузначными. Иначе
это формулируется таким образом: представления Tbos – глобальные представления группы, а Tferm
– лишь локальные.
Однако давно известно, что для преодоления этих трудностей вместо представлений ортогональной группы можно исследовать представления спинорной накрывающей для собственной группы
Лоренца – специальной линейной группы SL(2, C). Все глобальные (бозонные) и локальные (фермионные) представления ортогональной группы имеют своих двойников среди глобальных представлений спинорной накрывающей, причем спинорная группа вообще не имеет неоднозначных
представлений.
Кардинальной формой выражения замены одной группы на другую, когда вместо ортогональной группы Лоренца намереваются использовать только ее спинорную накрывающую (при этом
структуру самого физического пространства также описывают в рамках теории спинорной группы), и является предположением о спинорной структуре пространства.
Главная идея, в рамках которой предлагается исследовать роль спиноров в понимании геометрических свойств пространства, заключается в утверждении, что изучение свойств пространства
должно базироваться на исследовании физических явлений, происходящих на его фоне, т. е. оно
должно учитывать существование фермионов. Это не новая идея (см., например, библиографию в
кн. Р. Пенроуза и В. Риндлера [204, 205], С. Стернберга [183] и Т. Франкеля [257]).
Вообще, трудно решить, с какой логической точки следует начать рассмотрение проблемы спинорной структуры пространства. Еще более сложным является вопрос, кто был первым, поскольку
многие ученые внесли вклад в исследование этой проблемы. Упомянуть всех их – это почти невыполнимая задача. Началом эпохи спиноров можно рассматривать работу Г. Дарбу [2], в которой со
ссылкой на лекции 1900 г. фактически описывается спинор: комплексный объект, соответствующий
вектору нулевой длины.
Открытие спинорных представлений групп датируется 1913 г. и принадлежит Э. Картану [13]. В
то же время можно увидеть появление понятия спинорного представления задолго до этого, например в исследованиях по кватернионам. Безусловно, интерес физиков к понятию спиноров возрос
многократно после появления сначала нерелятивистской теории спина и затем релятивистского
уравнения Дирака.
Основная идея нашего исследования состоит в том, чтобы искать проявления спинорной структуры пространства в свойствах решений, описывающих квантово-механические системы. Охарактеризуем кратко некоторые идеи работы.
7

А.В. Ивашкевич, Я.А. Войнова, Н.Г. Крылова, Е.М. Овсиюк, В.В. Кисель, В.М. Редьков
В главе 1 вводится 2-мерный комплексный спинор, который призван описывать множество точек пространства со спинорной структурой. В зависимости от того, исходим мы из векторной или
псевдовекторной модели 3-мерного пространства, возникают разные пространственные спиноры.
Исследуются математические свойства этих спиноров, различия между ними [359–369].
В главе 2 рассматривается параметризация двух типов пространственных спиноров криволинейными координатами. Это важно потому, что большая часть решений уравнений квантовой механики находится именно в криволинейных системах координат. Кроме того, спинорную структуру
пространства проще всего учитывать при использовании криволинейных координат. Как показывает анализ, при этом достаточно область изменения одной из координат увеличить вдвое и ввести
новое правило отождествления точек границы области. Это меняет набор требований к свойствам
решений уравнений квантовой механики [359–369].
В главе 3 исследуется действие в спинорных пространствах преобразований обобщенной унитарной группы g
SU(2), расширенной за счет добавления спинорного пространственного отражения.
Показывается, что здесь возникают так называемые проективные представления. Эти представления различаются для пространственных моделей двух типов.
В главе 4 рассмотрены связи между тремя терминологически разными, но близкими по используемой математической технике подходами. Это – спинорная структура пространства, расслоение
Хопфа и Кустанхеймо – Штифеля [374, 375].
В главе 5 известная проблема о внутренних четностях фермионов исследована на основе анализа
точных линейных представлений спинорных накрывающих полной группы Лоренца [360, 361, 372].
Показано, что, расширяя множество преобразований из группы SL(2.C) в биспинорном пространстве добавлением двух дискретных преобразований, можно ввести четыре расширенные спинорные
группы. Каждая из этих групп имеет только по два неэквивалентных комплексных 4-компонентных
спинорных представления, которые можно сопоставлять двум типам физических фермионов. Следовательно, для фермиона не существует по отдельности как инвариантных теоретико-групповых
понятий ни P-четности, ни T-четности, инвариантный смысл имеет только их некоторая объединенная величина. Только одна из четырех групп допускает ограничение к вещественным майорановским представлениям, именно она должна рассматриваться как физическая.
В главе 6 изложен тетрадный метод обобщения уравнения Дирака на случай псевдоримановых
пространств [354, 380]. Материал этой главы используется в последующих главах.
В главе 7 этот метод применяется для развития еще одного способа анализа спинорной структуры пространства [362, 364, 366, 368, 393, 408]. При этом делается предположение о том, что какие-то
свойства наделенного спинорной структурой пространства могут быть установлены при исследовании согласованности спинорных пространств с описанием в этих пространствах поля со спином
1/2. Предлагаемое правило согласованности основано на анализе калибровочных спинорных преобразований, сопутствующих переходам между разными тетрадами. Выполнен анализ спинорных
калибровочных преобразований, возникающих при описании фермионного поля в 3-мерном евклидовом пространстве при использовании всех 13 известных ортогональных систем криволинейных
координат.
В главе 8 исследуются [376, 393, 408] возможные следствия, возникающие из-за изменения геометрической модели пространства. Процедура расширения пространства осуществляется в цилиндрических параболических координатах: G(t, u, v, z) =
⇒˜
G(t, u, v, z) и сводится к увеличению вдвое
области изменения координат (u, v): вместо полуплоскости (u, v > 0) должна использоваться полная
плоскость с новым отождествлением точек границы; в декартовых координатах это соответствует
замене 1-листной поверхности (x, y) на 2-листную (x′, y′) ⊕(x′′, y′′). Решения уравнения Клейна –
Фока – Гордона строятся в терминах функций параболического цилиндра. При фиксированных
квантовых числах ϵ, p, a возможны решения четырех типов. Решения двух первых типов являются
однозначными функциями точек векторного пространства, решения двух других типов имеют разрывы непрерывности и при использовании векторного пространства должны быть отброшены. Все
четыре типа решений являются однозначными функциями точек спинорного пространства.

Спинорные методы в квантовой механике частиц с высшими спинами
9
Рассматривается вопрос, как переход от векторной модели пространства к спинорной может
повлиять на результаты вычислений матричных элементов физических величин. При этом можно
вычислять матричные элементы либо от первичных (спинорных) величин – параболических координат (u, v), либо от их производных – декартовых координат (x, y). Матричные элементы при этом
существенно различаются.
В главе 9 этот анализ обобщается для решений уравнения Дирака [425]. Анализ усложняется,
но результаты качественно аналогичны тем, что получаются в скалярном случае.
В главе 10 метод расширения пространственных моделей исследуется применительно к пространству постоянной положительной кривизны Римана S3 и его эллиптического аналога S′
3 . Метод
основан на анализе свойств непрерывности спинорных калибровочных преобразований, возникающих при описании решений уравнения Дирака в цилиндрической и квазидекартовой тетрадах в этих
пространствах. Показывается, что эллиптическое пространство может быть наделено спинорной
структурой только путем 4-кратного расширения и результат совпадает с 2-кратным расширением
сферического пространства [378].
В главе 11 исследованы две задачи: построение волновых функций – решений уравнений Шредингера и Дирака на многообразии параметров унитарной группы SU(2) и многообразии ортогональной группы SO(3, R) [377, 378]. Эти многообразия представляют топологически разные варианты пространства постоянной положительной кривизны: сферическую 3-мерную модель Римана
S3 и эллиптическую модель Римана ˜
S3. Показано, что везде непрерывные и однозначные решения
уравнения Дирака можно построить только в сферическом пространстве Римана, в эллиптической
модели это сделать невозможно.
В главе 12 развит способ получения решений уравнений Дирака в криволинейных координатах,
основанный на использовании процедуры квадрирования уравнения Дирака [413]. Это важно, поскольку считается, что уравнение Дирака решается не во всех известных криволинейных системах
координат плоского пространства, в то время как скалярное уравнение Клейна – Фока – Гордона
решается во всех. Выполненный анализ показывает, что решения уравнения Дирака существуют во
всех криволинейных системах координат.
В главе 13 развит метод построения точных решений спинорных уравнений Максвелла в пространствах с псевдоримановой геометрической структурой [465, 467, 469, 470, 472]. Метод основан
на использовании тетрадного формализма. Рассмотрены сферически-симметричные модели с горизонтом: пространство де Ситтера и анти-де Ситтера, пространство черной дыры Шварцшильда;
также рассмотрены сферически- и цилиндрически-симметричные модели пространств постоянной
кривизны Лобачевского – Римана. Для всех этих моделей найдены индуцированные геометрией
эффективные тензоры электрической и магнитной проницаемостей. Найдены решения спинорных
уравнений Максвелла в цилиндрических параболических координатах плоского пространства, проанализированы проявления спинорной структуры пространства в построенных решениях.
В главе 14 найдены решения типа плоских волн уравнения для массивной частицы со спином
3/2. Чтобы привязать выбор четырех независимых решений к квантовым числам физических операторов, исследован вопрос о собственных состояниях оператора спиральности для частицы со спином
3/2 [462, 467, 474]. Возможны четыре собственных значения: σ = ±1/2, ±3/2. Значения σ = ±1/2
двукратно вырождены. Эти спиральные состояния не являются по отдельности решениями волнового уравнения, которые строятся в виде суперпозиций таких состояний. Коэффициенты нужных
линейных комбинаций для двух решений найдены.
В главе 15 [456, 467, 474, 476] исследуется уравнение для вектор-биспинора Ψa(x), описывающего безмассовую частицу со спином 3/2. Уравнение в безмассовом случае допускает существование калибровочных решений в виде 4-градиента от произвольного биспинора ˜
Ψ0
a(x) = ∂aΨ(x). В
этом базисе построены два независимых решения, которые не содержат калибровочных компонент.
Известно, что возможны четыре собственных значения оператора спиральности: σ = ±1/2, ±3/2.
Найдены разложения некалибровочных безмассовых решений по спиральным, в этих разложениях
присутствуют слагаемые, относящиеся к спиральностям σ = ±1/2 и σ = ±3/2.

В главе 16 [466, 468, 473, 477, 480] уравнение для частицы со спином 3/2, описываемой векторбиспинором, исследовано в сферической системе координат. Уравнение разбивается на основное и
два дополнительных: алгебраическое и дифференциальное. Строятся решения, на которых диагонализируются четыре оператора: энергии, квадрата и третьей проекции полного момента, пространственного отражения, им соответствуют квантовые числа {ϵ, j, m, P}.
После проведения разделения переменных выведены основная система из 8 зацепляющихся радиальных дифференциальных уравнений 1-го порядка и четыре условия связи. Основная система
приводится к виду четырех раздельных уравнений 2-го порядка. С использованием свойств функций Бесселя вся система радиальных уравнений приведена к одному алгебраическому линейному
уравнению A1a1 + A2a2 + A3a3 = 0 относительно величин a1, a2, a3, в котором коэффициенты Ai
выражаются через квантовые числа ϵ, j. Выбраны наиболее симметричные решения a(1)
i
и a(2)
i ,
которые определяют два решения при фиксированных квантовых числах {ϵ, j, m, P}.