Основные понятия теории вероятностей

Федеральное государственное бюджетное  
образовательное учреждение высшего образования  
«Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана  
(национальный исследовательский университет)»
О.М. Полещук
Основные понятия  
теории вероятностей 
Учебно-методическое пособие

УДК 519.21 
ББК 22.171
        П49
Издание доступно в электронном виде по адресу 
https://bmstu.press/catalog/item/6807
Факультет «Космический»
Кафедра «Высшая математика и физика» 
Рекомендовано Научно-методическим советом 
МГТУ им. Н.Э. Баумана в качестве учебно-методического пособия
Полещук, О. М.
Основные понятия теории вероятностей : учебно-методичеП49
ское пособие / О. М. Полещук. — Москва : Издательство МГТУ 
им. Н. Э. Баумана, 2020. — 41, [3] с. 
ISBN 978-5-7038-5436-5
Представлены учебно-методические и справочные мате- 
риалы для освоения студентами модуля «Основные понятия теории 
вероятностей» дисциплины «Математика». Изложены необходимые 
теоретические материалы, подробно рассмотрены примеры решения задач, приведены вопросы для самоконтроля и задачи для 
самостоятельного решения.
Для бакалавров направления подготовки 35.03.01 «Лесное дело».
УДК 519.21 
ББК 22.171
ISBN 978-5-7038-5436-5
©	 МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2020
©	 Оформление. Издательство 
	
МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2020 

Предисловие
Пособие содержит учебно-методические и справочные материалы для освоения модуля «Основные понятия теории вероятностей» дисциплины «Математика» и предназначено для бакалавров направления подготовки 35.03.01 «Лесное дело».
Цель изучения модуля дисциплины — освоение теоретических 
 
и практических основ модуля «Основные понятия теории вероятностей» годовой дисциплины «Математика».
После изучения дисциплины студенты овладеют:
•
• теоретическими основами оперирования событиями и величинами случайного характера;
•
• практическими приемами оперирования случайными событиями и величинами для анализа и обработки информации 
профессионального поля деятельности с неопределенностью случайного характера;
•
• практическими навыками моделирования профессиональных 
задач с учетом неопределенности случайного характера.
Модуль «Основные понятия теории вероятностей» дисциплины «Математика» представляет собой логически завершенный 
раздел курса. После обучения студенты смогут использовать модели теории вероятностей для обработки информации с неопределенностью случайного характера при решении задач профес- 
сионального поля деятельности.
Для изучения модуля «Основные понятия теории вероятностей» 
дисциплины «Математика» необходимы знания модулей «Элементы линейной алгебры», «Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии», «Дифференциальное исчисление», «Интегральное исчисление» дисциплины «Математика».
Для освоения материала модуля «Основные понятия теории 
вероятностей» дисциплины «Математика» предусмотрена самостоятельная работа студентов, включающая проработку лекционного курса, выполнение расчетно-графической работы и контрольной работы. 

1. Вероятностная модель эксперимента  
с конечным числом исходов
Рассмотрим эксперимент, все мыслимые исходы которого 
ω
ω
ω
1
2
,
, ...,
n  конечны. Будем считать, что при наступлении одного исхода наступление остальных исключено (несовместность 
исходов), при проведении эксперимента обязательно произойдет 
один из исходов ω
ω
ω
1
2
,
, ...,
n  (полная группа исходов) и все исходы равновозможны (равновероятны). Исходы ω
ω
ω
1
2
,
, ...,
n  будем 
называть элементарными событиями, а их совокупность
Ω={
}
ω
ω
ω
1
2
,
, ...,
n
конечным пространством элементарных событий или пространством 
исходов.
Пример. При однократном бросании монеты пространство 
элементарных событий состоит из двух элементов: Ω= Г Р
,
,
{
}  где 
Г  — «герб»; Р  — «решетка».
Пример. Монету бросают 3 раза. Пространство элементарных 
событий состоит из 8 элементов:
Ω={
}
ГГГ РРР ГРР ГРГ РРГ РГР ГГР РГГ
,
,
,
,
,
,
,
.
Пример. Построить пространство элементарных событий при 
проведении следующего эксперимента: бросают монету и, если 
выпал «герб», бросают игральную кость, а если выпала «решетка», 
то опять бросают монету и на этом эксперимент заканчивается.
Решение. При бросании монеты может выпасть «герб» Г  или 
«решетка» Р. При бросании кости может выпасть одна из шести 
ее граней: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Поэтому пространство элементарных событий будет иметь вид
Ω={
}
Г
Г
Г
Г
Г
Г
РГ РР
1
2
3
4
5
6
,
,
,
,
,
,
,
.
Событием (случайным событием) называется любое подмно- 
жество A  пространства элементарных событий Ω, для которого 
по условиям эксперимента возможен один из двух ответов: ωi
A
∈
 
или ωi
A
∉
.
4

Пример. Монету бросают 3 раза. Если рассмотрим подмно- 
жество A = {ГГГ, ГРГ, ГГР, РГГ } пространства элементарных событий Ω={
}
ГГГ РРР ГРР ГРГ РРГ РГР ГГР РГГ
,
,
,
,
,
,
,
,  получим собы- 
тие, состоящее в том, что выпало по крайней мере два «герба». 
Если сможем зафиксировать результат только первого подбрасывания монеты, то рассматриваемое множество нельзя будет назвать 
событием, поскольку невозможно дать ответ, принадлежит ли 
конкретный исход множеству A  или не принадлежит.
Опираясь на некоторую систему множеств, являющихся событиями, можно образовывать новые события с логическими 
связками «ИЛИ», «И» и «НЕ», что на языке классической теории 
множеств означает соответственно «объединение», «пересечение» 
и «дополнение».
Объединением событий A  и B  называется событие, состоящее 
в том, что произошло хотя бы одно из событий A,  B,  т. е.
A
B
A
B
∪
=
∈
∈
∈
{
}
ω
ω
ω
Ω:
.
или
Другими словами, объединением событий A  и B  называется 
событие, состоящее в том, что произошло или событие A,  или 
событие B.
Если события A  и B  не пересекаются, их объединение называется суммой. 
Пересечением событий A  и B  называется событие, состоящее 
в том, что произошло и событие A,  и событие B,  т. е.
A
B
A
B
∩
=
∈
∈
∈
{
}
ω
ω
ω
Ω:
.
и
События A  и B  называются несовместными или непересекающимися, если они не могут произойти одновременно, т. е. событие 
A
B
∩
 (
)
AB  не содержит ни одного элементарного события.
В теории вероятностей событие Ø, не содержащее ни одного 
элементарного события, называется невозможным.
Пример. Если бросают игральную кость (кубик с цифрами от 
1 до 6 на его гранях), то событие «выпало 8» является невозможным.
Дополнением события A  называется событие, состоящее из 
элементов Ω, не принадлежащих событию A,  т. е.
A
A
=
∈
∉
{
}
ω
ω
Ω:
.
	
5