Элементы функционального анализа и методы математической физики. Часть 1

Московский государственный технический университет
имени Н.Э. Баумана
Я.А. Бутко
ЭЛЕМЕНТЫ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО
АНАЛИЗА И МЕТОДЫ
МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
Часть 1
Под редакцией М.М. Сержантовой
Рекомендовано Научно-методическим советом МГТУ
им. Н.Э. Баумана в качестве учебного пособия
Москва
Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана
2011

УДК 517
ББК 22.162
Б93
Рецензенты: О.Г. Смолянов, Л.Д. Покровский
Б93
Бутко Я.А.
Элементы функционального анализа и методы математической физики : учеб. пособие: в 2 ч. Ч. 1. / Я.А. Бутко; под ред.
М.М. Сержантовой. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана,
2011. – 65, [3] с. : ил.
Приведены основные теоретические сведения из некоторых
разделов функционального анализа. Рассмотрена теория обобщенных функций, представлены свойства интегральных преобразований Фурье и Лапласа. Показано применение обобщенных функций и интегральных преобразований для решения различных задач математической физики.
Для студентов 2-го курса всех специальностей МГТУ
им. Н.Э. Баумана.
УДК 517
ББК 22.162
c
⃝МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2011

ВВЕДЕНИЕ
Функциональный анализ — это математический аппарат современных исследований уравнений математической физики.
Язык функционального анализа позволяет изложить методы решения задач математической физики в наиболее ясном и четком
виде.
В настоящем учебном пособии приведены основные теоретические сведения из некоторых разделов функционального анализа
(обобщенные функции, интегральные преобразования Фурье и Лапласа) и показано их применение к решению различных задач математической физики (метод интегральных преобразований, метод
функции Грина).
Некоторые доказательства утверждений, изложенных в настоящем пособии, могут быть найдены в работах [1—11]. В частности,
теория обобщенных функций излагается в работах [1, 3, 7]; интегральные преобразования Фурье и Лапласа — в работах [1—4, 7,
11]; понятие фундаментального решения оператора и метод функции Грина в различной мере описываются в работах [1, 5, 6, 8—10].
Учебное пособие предназначено в основном для студентов 2-го
курса факультета РЛ при изучении курса «Операционное исчисление и уравнения математической физики».

Глава 1. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ
1.1. Предпосылки для появления обобщенных функций
Обобщенные функции — это обобщение классического понятия функции, которое позволяет придать строгий математический
смысл таким физическим понятиям, как плотность точечного заряда, интенсивность мгновенного источника, плотность точечной
массы и т. п. С другой стороны, в понятии обобщенной функции
находит отражение и тот факт, что реально нельзя измерить, например плотность вещества в точке, можно измерить лишь среднюю
плотность в достаточно малой окрестности этой точки.
Пример 1.1. Попытаемся определить плотность, создаваемую
материальной точкой массы 1. Логично предположить, что если
мы рассмотрим плотность единичной массы, равномерно распределенной в шаре радиуса ε > 0, а потом устремим ε к нулю, то и
получим искомое. Итак, пусть наша точка совпадает с началом координат. Будем рассматривать одномерный случай для упрощения
выкладок, т. е. вместо шара — отрезок.
Плотность единичной массы, равномерно распределенной по
отрезку, имеет вид
1
2ε, x ∈[−ε, +ε];
fε(x) =
⎧
⎨
0, x ̸∈[−ε, +ε],
⎩
fε(x)dx = 1.
причем сама масса m равна

R
Теперь надо найти lim
ε→0 fε(x). Для этого надо ввести понятия
расстояния и сходимости на множестве функций. С такой проблемой мы уже сталкивались при изучении функциональных рядов,
при этом определялись различные виды сходимости.
4

Определение (поточечной сходимости). Функция f является поточечным пределом последовательности функций {fn}∞
n=1
на множестве Ω, если для любого x ∈Ω числовая последовательность {fn(x)}∞
n=1 имеет предел, равный числу f(x), т. е.
∀ε > 0 и ∀x ∈Ω ∃Nε(x) ∈N : ∀n > Nε выполняется оценка
|fn(x) −f(x)| < ε.
Определение
(равномерной
сходимости).
Последовательность {fn}∞
n=1 сходится равномерно к функции f на множестве Ω,
если ∀ε > 0 ∃Nε ∈N : ∀n > Nε оценка |fn(x) −f(x)| < ε
выполняется сразу для всех x ∈Ω. Или, что то же самое,
∀ε > 0 ∃Nε ∈N : ∀n > Nε выполняется следующая оценка:
sup
x∈Ω
|fn(x) −f(x)| < ε.
Для обозначения равномерной сходимости последовательности
{fn}∞
n=1 к функции f на множестве Ω обычно используется запись
Ω
fn ⇒f. Очевидно, что если последовательность {fn}∞
n=1 сходится
к f равномерно на Ω, то она сходится и поточечно. Однако, как
показывает следующий пример, обратное утверждение неверно.
Пример 1.2. Рассмотрим последовательность функций
1, x ≤0;
fn(x) =

;
−nx + 1, x ∈

0, 1
n
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
0, x ≥1
n
и функцию
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
f(x) =
	
1, x ≤0;
0, x > 0.
Тогда для любого x ∈R числовая последовательность fn(x) сходится к числу f(x), так как ∀x ∈R+ можно найти такой номер
N(x) ∈N, что ∀n > N(x) fn(x) = 0. Но чем ближе x к точке 0,
тем больший номер N(x) надо брать. Натурального числа N, подходящего сразу для всех x ∈(0; ∞), не существует. Тем самым,
рассмотренная последовательность сходится к своему пределу поточечно, но не равномерно. Кроме того, в курсе математического
анализа доказывалось, что равномерный предел последовательности непрерывных функций есть непрерывная функция. Так как
5

наша функция f разрывная, то равномерная сходимость места не
имеет.
Вернемся к примеру 1.1 и найдем поточечный предел последовательности функций
1
2ε, x ∈[−ε, +ε];
fε(x) =
⎧
⎨
0, x ̸∈[−ε, +ε].
⎩
Обозначим lim
ε→0 fε(x) = δ(x), тогда
δ(x) =
	
+∞, x = 0;
0, x ̸= 0,
δ(x)dx = 1. Однако этого быть не может, так как по определетак как 1
2ε →+∞при ε →0. Но функция δ(x) должна играть роль
плотности единичной массы, т. е. должно выполняться равенство

R
δ(x)dx = 0, если 0 ̸∈Ω, а если 0 ∈Ω,
нию интеграла Римана

Ω
то интеграл не существует!
Что же мы имеем с точки зрения функционального анализа?
Есть некоторое пространство E, например множество всех локально абсолютно интегрируемых функций (функция f — локально абсолютно интегрируема на множестве R, если для любого
отрезка [a, b] выполняется условие
b

a
|f(x)|dx < ∞). Каждая из
функций fε(x) является элементом пространства E. Но последовательность fε не имеет предела, который бы являлся элементом
этого пространства, какую бы из известных нам уже сходимостей
мы ни рассматривали. Идея: найдем пространство функций побольше, так чтобы функции fε принадлежали ему, и введем там
подходящее понятие сходимости так, чтобы последовательность
{fε} имела предел в этом пространстве. Для этого потребуется
конструкция пространств основных и обобщенных функций.
6

1.2. Пространство основных функций
Символом C∞(R) будем обозначать множество всех бесконечно дифференцируемых на R функций.
Определение. Функция ϕ: R →R называется финитной, если
существует такой отрезок [aϕ, bϕ], что ϕ(x) ≡0 при x ̸∈[aϕ, bϕ].
Определение. Пространством основных функций называется множество всех финитных бесконечно дифференцируемых
функций. Это пространство обозначается символом D(R). Таким
образом, D(R) = {ϕ ∈C∞(R) | ϕ(x) ≡0 вне некоторого отрезка
[aϕ, bϕ] }.
Пример 1.3. Рассмотрим функцию
wε(x) =
⎧
⎨
⎩
cεe
−
ε2
ε2−|x|2 , |x| < ε, cε = const;
0, |x| ≥ε.
Очевидно, что эта функция финитная. Она также является бесконечно дифференцируемой, так как все односторонние производные любого порядка в точках x = ±ε равны нулю. Таким образом,
wε(x) — это основная функция. Эту функцию иногда называют
«шапочкой».
Предложение 1.1. Множество основных функций обладает
следующими свойствами:
1) для любых функций ϕ, ψ ∈D(R) и чисел α, β ∈R линейная комбинация (αϕ + βψ) ∈D(R), т. е. D(R) — линейное
пространство;
2) для любых функций ϕ ∈D(R) и ψ ∈C∞(R) их произведение ϕψ ∈D(R);
3) для любой функции ϕ ∈D(R) ее производная k-го порядка
ϕ(k) ∈D(R);
4) для любой функции ϕ(x) ∈D(R) и любого числа a ∈R
функция сдвинутого аргумента ϕ(x −a) ∈D(R).
C помощью перечисленных выше свойств, начиная с «шапочки», можно получить некоторые другие основные функции, например:
ϕ(x) = x2 sin xwε(x −a) + dn(exwε(x))
dxn
.
Теперь определим понятие сходимости на множестве основных
функций D(R).
7