Числовые ряды

Московский государственный технический университет
имени Н.Э. Баумана
В.Я. Томашпольский, М.Н. Шевченко,
И.О. Янов
ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ
Методические указания
к выполнению типового расчета
Москва
Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана
2006

УДК 517.5.52
ББК 22.16
Т 56
Рецензент К.В. Титов
Т 56
Томашпольский В.Я., Шевченко М.Н., Янов И.О.
Числовые ряды: Методические указания к выполнению типового расчета. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2006. –
36 с.: ил.
Даны краткие теоретические сведения, примеры, задачи для
самостоятельной работы и условия типового расчета по теме
«Числовые ряды».
Для студентов 2-го курса МГТУ им. Н.Э. Баумана всех специальностей.
Табл. 1. Библиогр. 4 назв.
УДК 517.5.52
ББК 22.16
c
⃝МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2006

ВВЕДЕНИЕ
Ряд как сумма с бесконечным количеством слагаемых является
важнейшим средством изучения функций и приближенного вычисления значений этих функций. Простейшие примеры рядов встречаются уже в элементарной математике — это, например, бесконечные десятичные дроби или суммы членов бесконечно убывающей
геометрической прогрессии.
Различают ряды числовые, членами которых являются числа
(действительные или комплексные), и функциональные, членами
которых являются функции, например степенные или тригонометрические. Решение многих задач значительно упрощается, если
искомые функции представлять в виде функциональных рядов.
Если в функциональном ряде независимой переменной придать
определенные значения, то такой ряд становится числовым. При
численных расчетах полученный числовой ряд заменяют конечной
суммой, обеспечивающей заданную точность такого приближения,
что возможно только в случае так называемого сходящегося числового ряда. Именно вопросу сходимости числовых рядов посвящена
данная работа.

1. ЧИСЛОВОЙ РЯД И ЕГО СХОДИМОСТЬ
Определение. Числовым рядом называется формальная сумма
бесконечного числа слагаемых
a1 +a2 +a3 +...+an +... =
∞
∑
n=1
an,
где a1, a2, a3, ..., an, ...— числовая последовательность.
Слагаемые a1, a2 , a3 , ...называются членами ряда, а an — общим членом ряда. При этом нумерация членов ряда может начинаться не обязательно с единицы, а с любого целого числа. Например,
для ряда
2n−1
2n+1
1
3 + 3
5 + 5
7 +...+ 2n−1
2n+1 +... =
∞
∑
n=1
числа 1
3,
3
5,
5
7 — члены ряда, an = 2n−1
2n+1 — общий член ряда.
Обозначим
S1 = a1,
S2 = a1 +a2,
S3 = a1 +a2 +a3,
............
Sn = a1 +a2 +a3 +...+an.
Величины S1,
S2,
S3,
... называются частичными суммами. Сумма первых n слагаемых называется n-й частичной суммой
ряда и обозначается Sn.
4