Численные методы алгебры и приближения функций

 Московский государственный технический университет  
имени Н.Э. Баумана 
 
 
Г.А. Кокотушкин, А.А. Федотов, П.В. Храпов 
 
 
 
 
 
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ АЛГЕБРЫ  
И ПРИБЛИЖЕНИЯ ФУНКЦИЙ 
 
 
Методические указания 
к выполнению лабораторных работ 
по курсу «Численные методы» 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Москва 
Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана 
2011 
 

УДК 518.12 
ББК 22.193 
К59 
Ре це нз е нт В.Ю. Чуев 
К59  
 
Кокотушкин Г.А. 
  
 
Численные методы алгебры и приближения функций : 
метод. указания к выполнению лабораторных работ по курсу 
«Численные методы» / Г.А. Кокотушкин, А.А. Федотов,  
П.В. Храпов. — М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2011. — 
58, [2] c. : ил. 
 
Рассмотрены численные методы решения систем линейных  
алгебраических уравнений (метод Гаусса, LU-разложение, метод 
квадратного корня, метод прогонки), систем нелинейных уравнений  
(метод простых итераций, метод Ньютона) и методы приближения 
функций (интерполяционные многочлены, интерполяция сплайнами, 
метод наименьших квадратов). Приведены варианты индивидуальных заданий к лабораторным работам. 
Для студентов 2-го курса факультетов МТ и РК МГТУ  
им. Н.Э. Баумана. Пособие может быть использовано студентами 
других факультетов. 
Методические указания рекомендованы Учебно-методической 
комиссией НУК ФН. 
УДК 518.12 
ББК 22.193 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 © МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2011 
 

ПРЕДИСЛОВИЕ 
Пособие содержит теоретический материал и варианты заданий к лабораторным работам по разделам «Численные методы алгебры» и «Приближение функций» курса «Численные методы». 
Глава 1 посвящена изучению методов решения систем линейных уравнений. Определяются различные нормированные пространства, вводятся и обсуждаются понятия нормы матрицы, устойчивости системы линейных алгебраических уравнений. Дается 
алгоритм степенного метода, рассматривается его применение для 
нахождения меры обусловленности симметричных матриц. Излагаются метод Гаусса, метод Гаусса с выбором главного элемента, 
алгоритм LU-разложения, метод квадратного корня, метод прогонки для решения трехдиагональной системы линейных алгебраических уравнений, численные методы решения систем нелинейных 
уравнений: метод простых итераций и метод Ньютона. 
В главе 2 представлены численные методы интерполяции. Рассматривается интерполяционный многочлен Лагранжа, дается 
оценка его погрешности. Изучаются сплайн-интерполяция и метод 
наименьших квадратов. 
Приведены варианты индивидуальных заданий к лабораторным работам. 
Для студентов 2-го курса факультетов МТ и РК МГТУ  
им. Н.Э. Баумана. Пособие может быть использовано студентами 
других факультетов. 
 
 
 
 
 
 
 
3 

 
1. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ АЛГЕБРЫ 
1.1. Устойчивость системы  
линейных алгебраических уравнений 
Нормированные пространства. Свойства нормы матрицы 
Определение. Нормированным пространством называется линейное пространство L, в котором для любого элемента x
L
∈
определен функционал x  (норма х), такой, что выполняются условия: 
1) 
0,
x ≥
 причем 
0
0;
x
x
=
⇔
=
 
2) 
, 
;
x
x
R
λ
= λ ⋅
∀λ∈
 
3) 
,  
, 
.
x
y
x
y
x y
L
+
≤
+
∀
∈
 
Пример 1. Рассмотрим пространство R1. Здесь 
,
x
x
=
 
.
x
y
x
y
+
≤
+
 
Пример 2. Пусть 
1
n
R  — n-мерное пространство. Здесь 
n
x
x
x
x x
x
i
n
i
1
2
1
, 
( ,
,...,
).
=
=
=
∑
G
G
 Проверим выполнение условия 3: 
n
n
G
G
G
G
 
x
y
x
y
x
y
x
y
i
i
i
i
i
i
 
(
)
1
1
1
1
1
.
=
=
+
=
+
≤
+
=
+
∑
∑
Пример 3. Пусть 
2
n
R  — n-мерное евклидово пространство, 
n
2
x
x
2
1
i
i
=
= ∑
G
 — евклидова норма.  
 
4 

В общем случае равенство 
( , )
x
x x
=
 определяет норму в 
евклидовом пространстве. 
Пример 4. Пусть 
n
R∞ — n-мерное пространство с нормой 
1,...,
max
.
i
i
n
x
x
∞
=
=
G
 
Проверим выполнение условия 3 в определении нормированного пространства: 
(
)
1,...,
1,...,
1,...,
1,...,
max
max
max
max
.
i
i
i
i
i
i
i
n
i
n
i
n
i
n
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
∞
∞
=
=
=
=
+
=
+
≤
+
≤
+
=
+
G
G
G
G
 
Пример 5. Пусть C[a,b] — пространство непрерывных на [a,b] 
функций; 
[ , ]
max
( ) .
t
a b
f
f t
∈
=
 
Докажем выполнение условия 3 в определении нормированного пространства: 
f
g
f t
g t
f t
g t
max
( )
( )
max
( )
( )
+
=
+
≤
+
≤
(
)
t
a b
t
a b
[ , ]
[ , ]
∈
∈
 
                                                
max
( )
max
( )
.
f t
g t
f
g
≤
+
=
+
 
t
a b
t
a b
[ , ]
[ , ]
∈
∈
Пример 6. Пусть 
n
p
R  — n-мерное пространство с нормой 
1/
p
n
p
i
p
i
x
x
p
1
,   
1.
=
⎛
⎞
=
≥
⎜
⎟
⎝
⎠
∑
 
Пример 7. Рассмотрим пространство матриц вида 
a
a
a
...
11
12
1
n
21
22
2
n
a
a
a
A
 
 
...
.
...
...
...
...
a
a
a
...
n
n
nn
1
2
⎛
⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
= ⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
Введем норму матрицы А: 
K
G
G
G
 
0
1
sup
sup
x
y
Ax
A
Ay
x
≠
=
=
=
G
G
G
, поскольку 
,
Ax
x
A
x
x
G
G
  
1.
x
x
⎛
⎞
=
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
⎛
⎞
=
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
 
5 

Пример 8. Пусть 
2
2
2
2
:
,
A R
R
→
 отображение задается матрицей 
4
0 .
0
1
A
⎛
⎞
= ⎜
⎟
⎝
⎠
 Параметризуем окружность единичного радиуса:  
x
t
cos ,
y
t
4cos ,
 
1
x
t
sin ,
y
t
sin .
2
2
=
⎧
⎨
=
⎩
  
1
=
⎧
⎨
=
⎩
 
Тогда, как это видно на рис. 1.1.1, 
4.
A =
 
В общем случае, если А — симметричная матрица, λ1, λ2, λ3, 
…, λn — ее собственные числа, то евклидова норма 
1,...,
max
i
i
n
A
=
=
λ . 
 
а 
б 
 
Рис. 1.1.1. Иллюстрация понятия нормы в двумерном евклидовом пространстве: 
а — окружность единичного радиуса; б — ее образ 
 
Рассмотрим свойства нормы матрицы:  
1) 
;
A
B
A
B
+
≤
+
 
2) 
.
AB
A
B
≤
⋅
 
Для доказательства свойств 1 и 2 нам понадобится следующее 
утверждение. 
 
6