Функциональный анализ

Московский государственный технический университет
имени Н.Э. Баумана
Е.А. Власова, Е.Е. Красновский,
И.К. Марчевский
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ
Методические указания
к практическим занятиям
Под редакцией В.С. Зарубина
Москва
Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана
2009

УДК 517.98
ББК 22.162
В58
Р е ц е н з е н т А.В. Мастихин
В58
Власова Е.А.
Функциональный анализ: метод. указания к практическим
занятиям / Е.А. Власова, Е.Е. Красновский, И.К. Марчевский;
под ред. В.С. Зарубина. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана,
2009. – 77 [3] с.
Изложены методы решения задач по основам теории метрических
пространств, компактных множеств, нормированных и гильбертовых
пространств, линейных функционалов и операторов.
Рассмотрены типовые задачи с необходимыми пояснениями по выполнению.
Для студентов 2-го курса факультета ФН, обучающихся по специальности «Прикладная математика».
УДК 517.98
ББК 22.162
c
⃝МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2009

1. МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
Пусть X — произвольное множество. Метрикой на множестве
X называют функцию ρ: X × X →R, удовлетворяющую следующим аксиомам метрики:
1) ρ(x, y) = 0
⇔
x = y (аксиома тождества);
2) ρ(x, y) = ρ(y, x), x, y ∈X (аксиома симметрии);
3) ρ(x, y) ⩽ρ(x, z) + ρ(z, y), x, y, z ∈X (аксиома треугольника).
Число ρ(x, y) называют расстоянием между элементами x и y.
Метрическим пространством называют множество X с заданной на нем метрикой ρ, т. е. пару (X, ρ).
Пример 1.1. Пусть (X, ρ) — метрическое пространство. Докажем, что для любых x, y ∈X ρ(x, y) ⩾0.
Используя аксиомы метрики, получаем
0 = ρ(x, x) ⩽ρ(x, y) + ρ(y, x) = ρ(x, y) + ρ(x, y) =
= 2ρ(x, y)
⇒
ρ(x, y) ⩾0. #
Пример 1.2. Докажем, что для любых x, y, z ∈X в метрическом пространстве (X, ρ) выполняется обратное неравенство
треугольника:
ρ(x, y) ⩾|ρ(x, z) −ρ(z, y)|.
Действительно, согласно аксиомам треугольника и симметрии,
имеем
ρ(x, z) ⩽ρ(x, y) + ρ(y, z)
⇒
ρ(x, y) ⩾ρ(x, z) −ρ(z, y);
ρ(z, y) ⩽ρ(z, x) + ρ(x, y)
⇒
ρ(x, y) ⩾ρ(z, y) −ρ(x, z). #
3

Пример 1.3. Пусть (X, ρ) — метрическое пространство. Докажем, что функция ρ∗: X × X →R, которая задана формулой
ρ∗(x, y) =
ρ(x, y)
1 + ρ(x, y), является метрикой.
Проверяем аксиому тождества:
ρ∗(x, y) = 0
⇔
ρ(x, y)
1 + ρ(x, y) = 0
⇔
ρ(x, y) = 0
⇔
x = y,
так как ρ — метрика.
Аксиома симметрии выполняется, поскольку для любых x и y
верно ρ(x, y) = ρ(y, x), поэтому ρ∗(x, y) = ρ∗(y, x).
Для доказательства выполнения аксиомы треугольника рассмотрим функцию f(t) =
t
1 + t, t ∈[0; +∞). Эта функция является возрастающей: f′(t) =
1
(1 + t)2 > 0. Поскольку для любых
x, y, z ∈X верно неравенство ρ(x, y) ⩽ρ(x, z) + ρ(z, y), то
f(ρ(x, y)) ⩽f(ρ(x, z) + ρ(z, y)), т. е.
ρ∗(x, y) =
ρ(x, y)
1 + ρ(x, y) ⩽
ρ(x, z) + ρ(z, y)
1 + ρ(x, z) + ρ(z, y) =
=
ρ(x, z)
1 + ρ(x, z) + ρ(z, y) +
ρ(z, y)
1 + ρ(x, z) + ρ(z, y) ⩽
⩽
ρ(x, z)
1 + ρ(x, z) +
ρ(z, y)
1 + ρ(z, y) = ρ∗(x, y) + ρ∗(z, y).
Неравенство треугольника для метрики ρ∗выполняется.
#
Пусть на множестве X заданы две метрики: ρ1 и ρ2.
Метрики ρ1 и ρ2 называют эквивалентными в том случае,
если существуют такие α, β > 0, что для любых x, y ∈X верно
неравенство αρ2(x, y) ⩽ρ1(x, y) ⩽βρ2(x, y).
Пример 1.4. Докажем, что метрики ρ и ρ1, заданные на множестве Rn для произвольных векторов x = {x1, x2, . . . , xn} и
y = {y1, y2, . . . , yn} соотношениями ρ(x, y) =
k=1
(xk −yk)2
v
u
u
t
n
X
и ρ1(x, y) =
max
k=1,...,n |xk −yk|, являются эквивалентными.
4

Для ρ и ρ1 имеем оценки
ρ(x, y) =
k=1
(xk −yk)2 ⩽
k=1
( max
k=1,...,n |xk −yk|)2 =
v
u
u
t
n
X
v
u
u
t
n
X
=
q
nρ2
1(x, y) = √nρ1(x, y).
Поскольку для любого k = 1, 2, . . . , n верно |xk −yk| ⩽
⩽
k=1
|xk −yk|2 = ρ(x, y), то
max
k=1,...,n |xk −yk| ⩽ρ(x, y), т. е.
v
u
u
t
n
X
ρ1(x, y) ⩽ρ(x, y).
Таким образом, для любых x, y ∈Rn верно неравенство
ρ1(x, y) ⩽ρ(x, y) ⩽√nρ1(x, y), т. е. метрики ρ и ρ1 эквивалентны.
#
Пример 1.5. Докажем, что метрики ρ и ρ∗, заданные на множестве
Rn
для
любых
векторов
x
=
{x1, x2, . . . , xn}
и
y = {y1, y2, . . . , yn} соотношениями ρ(x, y) =
k=1
(xk −yk)2
v
u
u
t
n
X
и ρ∗(x, y) =
ρ(x, y)
1 + ρ(x, y), не являются эквивалентными.
Поскольку для любых x, y ∈Rn имеем ρ∗(x, y) ⩽ρ(x, y),
докажем, что не существует β > 0, для которого неравенство
ρ(x, y) ⩽βρ∗(x, y) выполняется при любых x и y.
Предположим, что такое β > 0 существует. Так как ρ∗(x, y) =
=
ρ(x, y)
1 + ρ(x, y) < 1, то для произвольных x, y ∈Rn справедливо
неравенство ρ(x, y) < β, что неверно (например, x = {0, 0, . . . , 0},
y = {2β, 0, . . . , 0}, ρ(x, y) = 2β).
Таким образом, метрики ρ и ρ∗не являются эквивалентными. #
Элемент x ∈X, где (X, ρ) — метрическое пространство, называют пределом последовательности {xn}∞
n=1 ⊂X по метрике ρ
в том случае, если lim
n→∞ρ(xn, x) = 0. Последовательность {xn}∞
n=1
называют сходящейся к элементу x по метрике ρ и используют
обозначение xn −
→
ρ x, или lim
ρ xn = x.
5

В метрическом пространстве (X, ρ) открытым шаром с центром в точке a ∈X и радиусом r > 0 называют множество
K(a, r) = {x ∈X : ρ(a, x) < r}.
Замкнутым шаром с центром в точке a ∈X и радиусом r > 0
называют множество K(a, r) = {x ∈X : ρ(a, x) ⩽r}.
Множество A ⊂X называют ограниченным, если его можно
заключить в некоторый шар (открытый или замкнутый).
Множество A ⊂X называют открытым, если вместе с каждой точкой a ∈A оно содержит и некоторый шар K(a, r), т. е.
∀a ∈A ∃r > 0: K(a, r) ⊂A.
Множество A называют замкнутым в метрическом пространстве (X, ρ), если X\A открытое множество.
Точку a ∈X называют предельной точкой множества A ⊂X,
если в любом шаре K(a, r) найдется точка x ∈A и x ̸= A. Множество всех предельных точек множества A обозначают A′.
Множество A ∪A′ называют замыканием множества A и обозначают A. Множество A является замкнутым тогда и только тогда,
когда A = A.
Точку a ∈A называют изолированной точкой множества
A в том случае, если существует такой шар K(a, r), что
K(a, r) ∩A = {a}.
Множество A называют всюду плотным в метрическом пространстве (X, ρ), если A = X.
Метрическое пространство (X, ρ) называют сепарабельным,
если в нем существует счетное всюду плотное множество.
Множество A ⊂X называют нигде не плотным в X, если в каждом шаре K ⊂X содержится другой шар K1, не содержащий
точек из A.
Пример 1.6. Докажем, что любой открытый шар в метрическом
пространстве (X, ρ) есть открытое множество.
Рассмотрим открытый шар K(a, r) = {x ∈X : ρ(a, x) < r},
r > 0 в метрическом пространстве (X, ρ).
Выберем любую точку b ∈K(a, r). Тогда ρ(a, b) = r1 < r.
Пусть r2 = r −r1
2
. Тогда, если x ∈K(b, r2), то ρ(x, b) < r2, и
ρ(x, a) ⩽ρ(x, b) + ρ(b, a) < r2 + r1 =
= r −r1
2
+ r1 = r + r1
2
< 2r
2 = r.
6

Следовательно, x ∈K(a, r) и K(b, r2) ⊂K(a, r). Шар K(a, r)
является открытым множеством.
#
Пример 1.7. Докажем, что если a — предельная точка множества A ⊂X, где (X, ρ) — метрическое пространство, то существует такая последовательность {an}∞
n=1 ⊂A, an ̸= a, n ∈N, что
an −
→
ρ a.
Рассмотрим шар K

a, 1
n

, n ∈N. Для любого n ∈N су
,
ществует такая точка an ∈A, an ̸= a, что an ∈K

a, 1
n
следовательно, 0 < ρ(an, a) < 1
n и lim
n→∞ρ(an, a) = 0. Таким образом an −
→
ρ a.
#
Пример 1.8. Докажем, что замыкание открытого шара K(a, r)
в метрическом пространстве (X, ρ) содержится в замкнутом шаре
K(a, r), но может с ним и не совпадать.
Замыканием шара K(a, r) = {x ∈X : ρ(a, x) < r} является
множество K(a, r) = K(a, r) ∪K′(a, r), где K′(a, r) — множество
предельных точек шара K(a, r).
Так как K(a, r) = {x ∈X : ρ(a, x) ⩽r}, то K(a, r) ⊂K(a, r).
Докажем, что любая предельная точка K(a, r) принадлежит замкнутому шару K(a, r). Предположим противное, пусть существует предельная точка b ∈K′(a, r) и b /
∈K(a, r), т. е. ρ(a, b) = r1

не содержит ни одной
и при этом r1 > r. Тогда шар K

b, r1 −r
2
точки из K(a, r).
Действительно, если x ∈K

b, r1 −r
2

, то ρ(x, b) < r1 −r
2
.
Используя обратное неравенство треугольника и условие r1 > r,
имеем
ρ(x, a) ⩾ρ(b, a) −ρ(x, b) > r1 −r1 −r
2
= r1 + r
2
> 2r
2 = r
и x /
∈K(a, r). Следовательно, точка b не может быть предельной
точкой шара K(a, r). Таким образом, K(a, r) ⊂K(a, r).
7

А теперь рассмотрим метрическое пространство X = {x1, x2},
где x1
̸= x2, с метрикой ρ, заданной следующим образом:
ρ(x1, x2) = 1, ρ(xk, xk) = 0, k = 1, 2.
Тогда K(x1, 1) = {x1} = K(x1, 1), а K(x1, 1) = {x1, x2} ̸=
̸= K(x1, 1).
Таким образом, замыкание открытого шара K(x, r) может не
совпадать с замкнутым шаром K(x, r).
#
Пример 1.9. Приведем пример метрического пространства
(X, ρ) и таких двух шаров K(a, r1) и K(b, r2), r1 < r2, но
K(a, r1) ⊃K(b, r2) (шары не совпадают).
Рассмотрим метрическое пространство X = N с метрикой
ρ(m, n) =
0, если m = n,



1 +
1
m + n, если m ̸= n,
где m и n — произвольные натуральные числа.
Тогда для любого e ∈N шар

=

n ∈N: ρ(n, m) < 1 +
1
m + e

=
K

m, 1 +
1
m + e
= {m} ∪

n ∈N: 1 +
1
m + n < 1 +
1
m + e

=
= {m} ∪{n ∈N: n > e} = {m} ∪{e + 1, e + 2, . . .}.
Для m > e шар

=

n ∈N: ρ(n, m −e) < 1 +
1
m + 1

=
K

m −e, 1 +
1
m + 1

=
= {m −e} ∪

n ∈N: 1 +
1
n + m −e < 1 +
1
m + 1
= {m −e} ∪{n ∈N: n −e > 1} = {m −e} ∪{e + 2, e + 3, . . .}.
Если выбрать m = 2e + 2, то
K

m, 1 +
1
m + e

=
= {2e + 2} ∪{e + 1, e + 2, . . .} = {e + 1, e + 2, . . .},
8