Уравнения в частных производных первого порядка

Московский государственный технический университет
имени Н.Э. Баумана
Л.П. Паршев, А.В. Калинкин
УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ
ПРОИЗВОДНЫХ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
Методические указания
к выполнению типового расчета
Москва
Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана
2011

УДК 517.95
ББК 22.161.6
П18
Рецензент В.В. Феоктистов
П18
Паршев Л.П.
Уравнения в частных производных первого порядка : метод. указания к выполнению типового расчета / Л.П. Паршев,
А.В. Калинкин. – М. : Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2011. –
27, [1] с. : ил.
Представлены необходимые теоретические сведения и методические указания к решению квазилинейных уравнений в частных производных первого порядка. Приведены соответствующие примеры,
даны условия типового расчета.
Для студентов факультетов РК, ФН.
Рекомендовано Учебно-методической комиссией НУК ФН МГТУ
им. Н.Э. Баумана.
УДК 517.95
ББК 22.161.6
Учебное издание
Паршев Леонид Петрович
Калинкин Александр Вячеславович
УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ
ПЕРВОГО ПОРЯДКА
Редактор В.М. Царев
Корректор
О.К. Юрьев
Компьютерная верстка В.И. Товстоног
Подписано в печать 26.09.2011. Формат 60×84/16.
Усл. печ. л. 1,63. Тираж 400 экз. Изд. №3.
Заказ
Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана.
Типография МГТУ им. Н.Э. Баумана.
105005, Москва, 2-я Бауманская ул., 5.
c
⃝МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2011

В методических указаниях рассмотрены квазилинейные уравнения в частных производных первого порядка для функции с
двумя независимыми переменными. Описан метод системы характеристик для построения общего решения и решения задачи
Коши. К квазилинейным уравнениям с n независимыми переменными также применим метод характеристик; примеры решения
других типов уравнений с частными производными первого порядка можно найти в справочнике [4]. Для решения задач типового
расчета необходимо обратиться к учебной литературе [1—3], где
даны доказательства используемых теорем.
1. КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ
ПРОИЗВОДНЫХ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
С ДВУМЯ НЕЗАВИСИМЫМИ ПЕРЕМЕННЫМИ
Общий вид квазилинейного уравнения первого порядка с двумя
независимыми переменными
P(x, y, u)∂u
∂x + Q(x, y, u)∂u
∂y = R(x, y, u),
(1)
где u = u(x, y) — искомая функция; P(x, y, u), Q(x, y, u) и
R(x, y, u) — непрерывные в рассматриваемой области изменения
переменных функции, не обращающиеся в нуль одновременно.
В теории интегрирования уравнений в частных производных
устанавливается эквивалентность между такими дифференциальными уравнениями с частными производными первого порядка
и некоторой системой обыкновенных дифференциальных уравнений. Решения этой системы называют характеристиками, они играют первостепенную роль в теории интегрирования уравнений в
частных производных.
3