Теория функций комплексного переменного

Московский государственный технический университет
имени Н.Э. Баумана
А.В. Копаев, В.И. Леванков, А.В. Мастихин
ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ
КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
Методические указания
к выполнению домашнего задания
Москва
Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана
2012

УДК 517.53
ББК 22.161.8
К65
Рецензент О.Д. Алгазин
К65
Копаев А. В.
Теория функций комплексного переменного : метод. указания к выполнению домашнего задания / А. В. Копаев,
В. И.
Леванков,
А. В.
Мастихин.
–
М. :
Изд-во
МГТУ
им. Н. Э. Баумана, 2012. – 38, [2] с. : ил.
Представлены необходимые теоретические сведения. Приведены
примеры решения задач по теории функций комплексного переменного. Даны условия домашнего задания.
Для студентов второго курса IV семестра, изучающих теорию
функций комплексного переменного.
Рекомендовано Учебно-методической комиссией НУК ФН МГТУ
им. Н.Э. Баумана.
УДК 517.53
ББК 22.161.8
c
⃝МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2012

1. ДЕЙСТВИЯ НАД КОМПЛЕКСНЫМИ ЧИСЛАМИ,
ЗАДАННЫМИ В АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ ФОРМЕ
Комплексным числом z называют выражение вида z = x + yi,
где x, y — любые действительные числа; i — символ, называемый
мнимой единицей. Действительные числа x и y соответственно
называют действительной и мнимой частями комплексного числа
z и обозначают
x = Re z; y = Im z.
Символы Re и Im являются начальными буквами латинских
слов realis (действительный) и imaginarius (мнимый). Представление комплексного числа z = x + yi называют алгебраической формой записи комплексного числа. Если y = 0, то комплексное число
x + 0i считается совпадающим с действительным числом x; если
же x = 0, то комплексное число 0 + yi обозначается yi и называется чисто мнимым. Два комплексных числа z = x + yi и w = u + vi
равны тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части, т. е. z = w тогда и только тогда, когда x = u и y = v.
Комплексное число z = x + yi изображается на плоскости точкой с координатами (x; y) в прямоугольной декартовой системе
координат или ее радиус-вектором. Плоскость в этом случае называют плоскостью комплексного переменного, а координатные
оси — осями действительных и мнимых переменных и соответственно обозначают Re и Im.
Комплексно-сопряженным к числу z = x + yi называют число
¯
z = x−iy, изображаемое точкой (и вектором), симметричной точке
(и вектору) z относительно действительной оси (рис. 1).
3

Рис. 1
Суммой комплексных чисел z и w называют комплексное число
z + w = (x + u) + (y + v)i.
Произведением комплексных чисел z и w называют комплексное число
zw = (xu −yv) + (xv + yu)i.
Однако запоминать эти формулы нет надобности. Так как сложение и умножение комплексных чисел коммутативны, ассоциативны и связаны дистрибутивным законом, сложение и умножение комплексных чисел в алгебраической форме выполняется по
обычным правилам алгебры с заменой произведения ii (которое
обозначается i2) на −1 (основное свойство символа i: i2 = −1).
Операции сложения и умножения комплексных чисел обратимы.
Разность комплексных чисел z и w вычисляется по формуле
z −w = (x −u) + (y −v)i.
Таким образом, и вычитание комплексных чисел в алгебраической форме осуществляется по обычным правилам алгебры.
Частное комплексных чисел z и w вычисляется по формуле
z
w = x + iy
u + iv = xu + yv
u2 + v2 + yu −xv
u2 + v2 i.
Запоминать эту формулу также нет надобности. Необходимо запомнить правило деления комплексных чисел в алгебраической
4