Теория функций комплексного переменного

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
имени  Н.Э. БАУМАНА
А.В. Абрагин, В.М. Дубровин
 ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ
КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
Методические указания к выполнению домашнего задания
Под редакцией Г.С. Садыхова
М о с к в а
Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана
2 0 0 6

УДК 517.53
ББК  22.161
          А16
Рецензент А.В. Копаев
А16
Абрагин А.В., Дубровин В.М.
Теория функций комплексного переменного: Метод. указания / Под ред. Г.С. Садыхова. – М.: Изд-во МГТУ им.
Н.Э. Баумана, 2006. – 80 с.
Изложены основы теории функций комплексного переменного. Приведены основные формулы, необходимые для выполнения типового расчета. Рассмотрены примеры решения типовых задач. Даны варианты типового расчета по курсу «Теория функций комплексного переменного».
Для студентов 2-го курса.
Ил. 8. Библиогр. 4 назв.
                                                                                                                       УДК 517.53
                                                                                                             ББК 22.161
Методическое издание
Артур Викторович Абрагин
Виктор Митрофанович Дубровин
ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
Редактор С.А. Серебрякова
Корректор М.А. Василевская
Компьютерная верстка О.В. Беляевой
Подписано в печать  28.06.2006.  Формат 60×84/16. Бумага офсетная.
Печ. л. 5,0. Усл. печ. л. 4,65. Уч.-изд. л. 4,15. Тираж 300 экз.
Изд. № 68. Заказ
Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана.
105005, Москва, 2-я Бауманская, 5.
© МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2006

Теория функций комплексного переменного является одним из
основных разделов курса вышей математики. Указанная дисциплина находит применение в различных отраслях науки и техники и
необходима современному инженеру и научному сотруднику.
Данные методические указания составлены в соответствии с
существующими учебными программами МГТУ им. Н.Э. Баумана
и призваны помочь студентам университета в изучении указанной
дисциплины.
ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ПОЛОЖЕНИЯ
И РАСЧЕТНЫЕ ФОРМУЛЫ
1.1. Извлечение корня n-й степени из комплексного числа
Корень n-й степени из комплексного числа z  имеет n различных значений, которые находят по формуле
2
2
cos
sin
,
arg ,
0, 1, ... ,
1.
n
n
k
k
k
a
z
z
i
n
n
z
k
n
ϕ + π
ϕ + π
⎛
⎞
=
=
+
⎜
⎟
⎝
⎠
ϕ =
=
−
1.2. Элементарные функции комплексного переменного
Значения показательной функции комплексного переменного
z
x
iy
=
+
 вычисляют по формуле
(
)
cos
sin
.
z
x
e
e
y
i
y
=
+
Показательная функция 
z
e  обладает свойствами 
1
2
z
z
e
+
=
1
2 ,
z
z
e e
=
 
2
,
0,
1,
2, ...,
z
ki
z
e
e
k
+ π
=
=
±
±
  т. е. 
z
e  является периодической функцией с основным периодом 2
.
i
π
Тригонометрические функции sin z  и cos z  можно выразить
через показательную функцию следующим образом:
iz
iz
e
e
z
−
+
=
sin
;
2
−
−
=
 cos
.
2
iz
iz
e
e
z
i
3

Функции 
sin
w
z
=
 и 
cos
w
z
=
 — периодические с действительным периодом 2π  и имеют только действительные нули
z
k
= π  и 
,
0,
1,
2, ...,
2
z
k
k
π
=
+ π
=
±
±
 соответственно.
Функции tg z  и ctg z  определяются соотношениями
sin
tg
;
cos
z
z
z
=
 
cos
ctg
.
sin
z
z
z
=
Для тригонометрических функций комплексного переменного
справедливы все известные формулы тригонометрии.
Гиперболические функции sh , ch , th , cth
z
z
z
z  определяют соотношениями
−
−
−
+
=
=
=
=
sh
ch
sh
, ch
,
th
,
cth
.
2
2
ch
sh
z
z
z
z
e
e
e
e
z
z
z
z
z
z
z
z
При этом справедливы соотношения, связывающие гиперболические и тригонометрические функции:
sh
sin
,
ch
cos .
z
i
iz
z
iz
= −
=
Логарифмическая функция Ln ,
0,
z
z ≠
 определяется как
функция, обратная показательной:
(
)
Ln
ln
Arg
ln
arg
2
,
0,
1,
2, ...
z
z
i
z
z
i
z
k
k
=
+
=
+
+ π
=
±
±
Значение функции при 
0
k =
 называют главным значением и
обозначают
ln
ln
arg
z
z
i
z
=
+
.
Логарифмическая функция обладает следующими свойствами:
(
)
1
1 2
1
2
1
2
2
Ln
Ln
Ln
;
Ln
Ln
Ln
;
z
z z
z
z
z
z
z
⎛
⎞
=
+
=
−
⎜
⎟
⎝
⎠
Ln
Ln
2
,
0,
1,
2, ... ;
n
z
n
z
ik
k
=
+ π
=
±
±
1
Ln
Ln .
n z
z
n
=
4

Функции Arcsin , Arccos , Arctg , Arcctg
z
z
z
z  определяются как
обратные к функциям sin , cos , tg , ctg
z
z
z
z  соответственно. Так,
если 
cos ,
z
w
=
 то w называют арккосинусом числа z и обозначают
Arccos .
w
z
=
 Все эти функции многозначны, их можно выразить
через логарифмическую:
z
i
iz
z
z
i
z
z
2
2
Arcsin
Ln
1
;
Arccos
Ln
1 ;
i
i z
i
z
i
z
iz
z
i
1
Arctg
Ln
;
Arcctgz
Ln
.
2
1
2
⎛
⎞
⎛
⎞
= −
+
−
= −
+
−
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
+
−
= −
= −
−
+
Значения, соответствующие главному значению логарифма,
обозначают соответственно arcsin , arccos , arctg , arcctg
z
z
z
z  и
называют главными значениями этих функций.
Степенная функция 
,
w
zα
=
 где α  — любое комплексное число, определяется соотношением
Ln ,
0.
z
z
e
z
α
α
=
≠
Эта функция многозначная, 
ln z
z
e
α
α
=
 называют главным значением.
Показательная функция 
z
w
a
=
 определяется равенством
Ln .
z
z
a
a
e
=
Главное значение этой функции 
ln
z
z
a
a
e
=
.
1.3. Кривые на комплексной плоскости
Уравнение вида 
( )
( )
( )
z t
x t
iy t
=
+
определяет на комплексной
плоскости кривую, параметрические уравнения которой 
( );
x
x t
=
( ).
y
y t
=
 Исключив параметр t из этих уравнений (если это возможно), получим уравнение кривой вида 
(
)
,
0.
F x y =
1.4. Дифференцирование функций комплексного переменного
Пусть функция 
( )
w
f z
=
 определена в некоторой области D
комплексного переменного z. Пусть z и z
z
+ ∆ принадлежат области D.
5

Если 
(
)
( ),
w
f z
z
f z
z
x
i y
∆
=
+ ∆
−
∆= ∆+ ∆, 
то 
( )
f
z =
′
0
lim
z
w
z
∆→
∆
=
∆
.
Обозначим (
)
,
u x y  и (
)
,
v x y  соответственно действительную и
мнимую части функции 
( ),
w
f z
=
 т. е. 
( )
(
)
(
)
,
,
.
w
f z
u x y
iv x y
=
=
+
Тогда в каждой точке, в которой существует 
( ),
f
z
′
 выполняются
соотношения
;
,
u
v
u
v
x
y
y
x
∂
∂
∂
∂
=
= −
∂
∂
∂
∂
называемые условиями Коши – Римана. Верно и обратное: если в
некоторой точке (
)
,
x y  выполняются условия Коши – Римана, а
функции 
(
)
,
u x y и (
)
,
v x y  дифференцируемы, то функция 
( )
f z =
(
)
(
)
,
,
u x y
iv x y
=
+
 является дифференцируемой в точке z
x
iy
=
+
как функция комплексного переменного z.
Функцию 
( )
w
f z
=
 называют аналитической в точке z , если
она дифференцируема в этой точке и некоторой ее окрестности.
Если 
( )
f z  является аналитической в каждой точке области D, ее
называют аналитической в области D.
Производную аналитической функции находят по формулам
( )
.
u
v
v
u
u
u
v
v
f
z
i
i
i
i
x
x
y
x
x
y
y
x
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
+
=
−
=
−
=
+
′
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
Пользуясь условиями Коши – Римана, можно восстановить
аналитическую функцию 
( )
w
f z
=
 по ее действительной (
)
,
u x y
или мнимой части (
)
,
.
v x y
Пусть, например, 
(
)
,
cos .
x
u x y
e
y
=
 Найти аналитическую
функцию 
( ).
f z  Из условий Коши – Римана имеем
cos ;
sin
x
x
u
v
u
v
e
y
e
y
x
y
y
x
∂
∂
∂
∂
=
=
= −
= −
∂
∂
∂
∂
.
6

Проинтегрировав последнее уравнение по  x, получим
(
)
( )
,
sin
sin
x
x
v x y
e
ydx
e
y
C y
=
=
+
∫
.
Отсюда
( )
cos
cos ;
x
x
v
e
y
C
y
e
y
y
∂=
+
=
′
∂
( )
( )
0,
const.
C
y
C y
C
=
=
=
′
Таким образом,
(
)
,
sin
x
v x y
e
y
C
=
+
и
( )
(
)
(
)
cos
sin
cos
sin
x
x
x
z
f z
e
y
i e
y
C
e
y
i
y
iC
e
iC
=
+
+
=
+
+
=
+
.
Постоянная C может быть определена, если задано начальное
условие 
(
)
0
0.
f z
С
=
1.5. Интегрирование функций комплексного переменного
Пусть однозначная функция 
( )
w
f z
=
 определена и непрерывна в области D, а G — кусочно-гладкая кривая, лежащая в D,
( )
(
)
(
)
,
,
,
,
z
x
iy
f z
u x y
iv x y
=
+
=
+
 
(
)
(
)
,
,
,
u x y
v x y  — действительные функции переменных x и y. В этом случае вычисление интеграла от функции 
( )
f z  комплексного переменного z  сводится к
вычислению криволинейных интегралов от функций действительных переменных:
( )
.
G
G
G
f z dz
u dx
vdy
i vdx
u dy
=
−
+
+
∫
∫
∫
Если кривая G  задана параметрическими уравнениями
( )
( )
;
;
,
x
x t
y
y t
t
=
=
α ≤≤β
то
β
( )
( )
(
)
( )
,
G
f z dz
f z t
z t dt
α
=
′
∫
∫
где ( )
( )
( ).
z t
x t
iy t
=
+
7

Если 
( )
w
f z
=
 — аналитическая функция в односвязной области D, то интеграл не зависит от пути интегрирования, а зависит
только от положения начальной и конечной точек интегрирования.
В этом случае для вычисления интеграла можно использовать
формулу Ньютона – Лейбница:
z
2
( )
(
)
(
)
2
1 ,
z
f z dz
z
z
= Φ
−Φ
∫
1
где 
( )
z
Φ
 — первообразная для функции 
( ),
f z
 т. е. 
( )
( ).
z
f z
Φ
=
′
Если функция является аналитической в области D, ограниченной кусочно-гладким замкнутым контуром G и на самом контуре
G, то
( )
0,
G
f z dz =
∫
a для любой внутренней точки 0
z
G
∈
(
)
( )
f z
f z
dz
i
z
z
=
π
−
∫
v
0
0
1
.
2
G
1.6. Степенной ряд с комплексными числами
∞
Ряд 
(
)
0
0
,
n
n
n
c
z
z
=
−
∑
 где 
n
c  — комплексные числа, называют
степенным по степеням 
0.
z
z
−
Если степенной ряд сходится в точке 1
0,
z
z
≠
 то он абсолютно
сходится для всех z, таких, что 
0
1
0 ,
z
z
z
z
−
<
−
 при этом сходимость 
будет 
равномерной 
в 
любом 
замкнутом 
круге
0
1
0 .
z
z
r
z
z
−
≤
<
−
 Если же ряд расходится в точке 
2,
z
 то он
расходится для всех z, таких, что 
0
2
0 .
z
z
z
z
−
>
−
Таким образом, областью сходимости степенного ряда является круг с центром в точке 
0,
z
 радиус которого может быть опре8