Стабилизация динамических систем с использованием свойства пассивности

Московский государственный технический университет
имени Н.Э. Баумана
А.Е. Голубев
СТАБИЛИЗАЦИЯ
ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ
СВОЙСТВА ПАССИВНОСТИ
Конспект лекций
Под редакцией А.П. Крищенко
Москва
Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана
2011

УДК 51(075.8)
ББК 22.1
Г62
Рецензенты: А.А. Панкратов, А.С. Фурсов
Г62
Голубев А.Е.
Стабилизация динамических систем с использованием свойства пассивности : конспект лекций / А.Е. Голубев ; под ред.
А.П. Крищенко. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2011. –
45, [3] с. : ил.
Представлены результаты применения математической теории
управления, связанные с методами стабилизации пассивных динамических систем. Подробно изложены основные теоретические сведения, рассмотрены примеры. Материал учебного пособия соответствует программе курса «Прикладные задачи теории управления».
Для студентов 6-го курса факультета «Фундаментальные науки»,
обучающихся по специальности «Прикладная математика».
УДК 51(075.8)
ББК 22.1
c
⃝МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2011

1. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
1.1. Основные обозначения
Пусть область D ⊆Rn содержит точку 0. Непрерывную функцию V (x), V : D →R, удовлетворяющую условиям V (0) = 0,
V (x) > 0 при всех x ∈D \ {0}, называют положительно определенной (в D) и пишут V (x) > 0. Если же V (0) = 0 и V (x) ≥0
при всех x ∈D \ {0}, то V (x) называют положительно полуопределенной или неотрицательно определенной (в D) и пишут
V (x) ≥0. Функцию V (x) называют отрицательно определенной
(в D) и пишут V (x) < 0 (отрицательно полуопределенной или
неположительно определенной (в D) и пишут V (x) ≤0), если
функция — V (x) положительно определенная (в D) (соответственно положительно полуопределенная (в D)).
Далее в качестве нормы в Rn будем использовать евклидову
норму
∥x∥=

x2
1 + · · · + x2
n, x = (x1, . . . , xn)т ∈Rn.
1.2. Постановка задачи стабилизации динамической системы
Рассмотрим нелинейную динамическую систему с управлением, имеющую вид
˙
x = f(x, u),
(1.
.1)
где x ∈Rn — вектор состояния системы; u ∈Rm — управление;
отображение f : Rn × Rm →Rn локально липшицево, f(0, 0) = 0.
Задачей стабилизации динамической системы (1.1) называют
задачу нахождения такой локально липшицевой функции k(x),
k(0) = 0, определенной в окрестности точки x = 0, что при
3

u = k(x) положение равновесия x = 0 замкнутой системы (1.1)
асимптотически устойчиво. В дальнейшем будем говорить, что
найденное управление u = k(x) стабилизирует положение равновесия x = 0 замкнутой системы (1.1). В случае, если при u = k(x)
положение равновесия x = 0 замкнутой системы (1.1) асимптотически устойчиво в целом, то будем говорить, что управление
u = k(x) глобально стабилизирует положение равновесия x = 0
замкнутой системы (1.1).
1.3. Теоремы Барбашина — Красовского
Рассмотрим нелинейную динамическую систему
˙
x = F(x),
(1.
.2)
где x ∈D ⊆Rn — вектор состояния системы, область D содержит
точку 0, отображение F : D →Rn локально липшицево в D.
Теорема 1.1 (первая теорема Барбашина — Красовского).
Пусть x = 0 является положением равновесия системы (1.2), определенной в Rn, и существует непрерывно дифференцируемая, положительно определенная и бесконечно большая при ∥x∥→∞
функция V (x), производная по времени ˙
V (x) = ∂V (x)
∂x
F(x) которой в силу системы (1.2) отрицательно определена в Rn. Тогда
положение равновесия x = 0 системы (1.2) асимптотически устойчиво в целом.
Теорема 1.2 (вторая теорема Барбашина — Красовского).
Пусть x = 0 является положением равновесия системы (1.2),
определенной в области D ⊆Rn, и существует такая непрерывно дифференцируемая положительно определенная функция
V
: D →R, что
˙
V (x) = ∂V (x)
∂x
F(x) ≤0 в D, а множество
S = {x ∈D :
˙
V (x) = 0} не содержит целых траекторий системы
(1.2), за исключением x(t) ≡0. Тогда положение равновесия x = 0
системы (1.2) асимптотически устойчиво.
Теорема 1.3 (третья теорема Барбашина — Красовского).
Пусть x = 0 является положением равновесия системы (1.2),
определенной в Rn, и существует такая непрерывно дифференцируемая, положительно определенная и бесконечно большая при
4

∥x∥→∞функция V (x), что ˙
V (x) = ∂V (x)
∂x
F(x) ≤0 в Rn, а
множество S = {x ∈Rn :
˙
V (x) = 0} не содержит целых траекторий системы (1.2), за исключением x(t) ≡0. Тогда положение
равновесия x = 0 системы (1.2) асимптотически устойчиво в
целом.
1.4. Классы функций сравнения
Непрерывную функцию α : [0, a) →R+, R+ = [0, +∞), 0 <
< a ≤+∞, называют функцией класса K, если данная функция
строго возрастающая и α(0) = 0.
Функцию α(·) класса K называют функцией класса K∞, если
a = +∞и α(s) →+∞при s →+∞.
Непрерывную функцию β : [0, a) × R+ →R+ называют функцией класса KL, если при любом фиксированном t функция β(s, t)
является функцией класса K по отношению к переменной s, а при
любом фиксированном s имеем β(s, t) →0 при t →+∞.
Лемма 1.1 (лемма об оценке положительно определенной
функции). Пусть функция V (x) непрерывна в области D ⊆Rn,
содержащей точку 0, и положительно определена. Тогда для любой
замкнутой ε-окрестности Bε = {x ∈D : ∥x∥≤ε} точки x = 0
существуют функции α1(·), α2(·) класса K, определенные на интервале [0, ε], такие, что при всех x ∈Bε выполнено неравенство
α1(∥x∥) ≤V (x) ≤α2(∥x∥).
При D = Rn функции α1(s) и α2(s) можно выбрать определенными при s ∈R+. Если дополнительно функция V (x) бесконечно
большая при ∥x∥→∞, то функции α1(·) и α2(·) можно выбрать
в классе K∞.
2. ПАССИВНЫЕ СИСТЕМЫ
2.1. Определения пассивности. Примеры пассивных систем
Рассмотрим нелинейную статическую систему
y = h(t, u),
(2.
.1)
5